Mir hat es gefallen. Ich bin Ingenieur, habe einige Leute aufs Mathe Abitur vorbereitet und behaupte deshalb: Der Taschenrechner hilft nicht, wenn ich verstehen will, wie genial Mathe ist. Kopfrechnen, Brüche kürzen und schriftliches Multiplizieren und Dividieren sind die Basis für alles. Und dann einfach mal ein Verfahren ausprobieren um wurzel 3 zu berechnen .... geil.
Ich verstehe im ganzen Video nur Bahnhof. Schriftlich dividieren und multiplizieren kann ich nicht, genau so wenig wie was ausklammern oder so. Ist absolut abstrakt und undurchsichtig für mich. Aber trotzdem hab ich irgendwie Abitur, frag mich nicht wie das ging!
Also ich war ja derjenige, der den Anstoß zu diesem Video gegeben hat. Dicken Dank dafür. Es gab ja zu Newtons Zeiten (und noch bis ins 20. Jahrhundert ...) Angestellte ("Rechenknechte"), die nix anderes getan haben, als handschriftliche Berechnungen der 4 Grundrechenarten. An der Stelle wird das Verfahren klar. Super Video, allerdings nur für Leute, die bei RU-vid nicht das neueste "lustige-Katzen-Video" suchen :)
Schön zu sehen, daß sich die Summanden in der Klammer immer um 1 unterscheiden, egal wie groß sie werden. Da ja im Newon-Verfahren immer der Mittelwert aus dem letzten Näherungswert und dessen Kehrwert * Radikand berechnet wird, sieht man, daß die Genauigkeit mit der Länge des Nenners wächst, d.h. sie verdoppelt sich mit jedem Schritt, da der Nenner (größenordnunsmäßig) quadriert wird.
Das ist mir auch schon als Allererstes aufgefallen! Unser Mathe-Prof trichterte uns (fast militärisch) ein: BEVOR man Zähler und Nenner beschreibt - ZIEHT man den Bruchstrich und erst DANN schreibt man die Inhalte von Z+N... Das wahrt die Form und bildet zudem das Sicherheitsfundament in weiteren - ggf. viel komplexerem Herumgerechne.
Danke für den handschriftlichen Rechnungsweg. Es ist faszinierend anzusehen, wie die Menschen vor Jahrhunderten, ohne Hilfsmittel, gerechnet haben. Leider ist mein Mathe-Schulwissen wohl schon etwas eingerostet - die schriftliche Division am Ende des Videos hab ich nicht mehr ganz verstanden. Trotzdem schönes Video.
Die ersten 15 stellen der Wurzel aus 3 hab ich in ca. 2 min berechnet ohne Nebenrechnungen notieren zu müssen. Bei meiner verwendeten Methode kann man die Quadratwurzel jeder Zahl einfach Ziffer für Ziffer berechnen. Du verwendest mit dem Heron-Verfahren auch eine Methode, die selbst mit den schriftlichen Methoden viel zu aufwändig ist.
@@Fircasice Da hast du natürlich recht und so könnte es natürlich im ersten Moment wirken. Ich habe auch schon einige daran teilhaben lassen, mithilfe von Google findet man diese Beiträge sicherlich noch. Hab auch schon ein Video dazu gemacht aber ist mittlerweile bereits 10 Jahre her. Wer sich wirklich dafür interessiert könnte es ja versuchen anhand der gestreuten Informationen selber herauszubekommen. Es gibt doch nichts Langweiligeres, als einfach nur den Knochen zugeworfen zu bekommen.
Das Heron-Verfahren ist ein Spezialfall des Newton-Verfahrens. Verrückt ist dass die Babylonier scheinbar bereits vor über 3700 Jahren wussten wie das geht.
Hi! Schönes Video. Danke. Mir ist noch aufgefallen, dass die Zähler bei den zwei Brüchen immer exakt eine Differenz von 1 aufweisen, also (3,2) (49, 48) (4909, 4908) usw. Wie kann man sich das erklären? Hängt dies vom Startwert ab? Und das lässt sich doch bestimmt zum Vorteil nutzen! Bin gespannt auf Kommentare hierzu. Danke!
Als Schüler ohne Taschenrechner hatte ich ein sogenanntes Büchlein namens "Tafelwerk" in der Schule ...da standen sehr viele Wurzeln, Trigonometrische Werte, Formeln und Logarithmen drin. Sowas dürfte es auch zu Newtons Zeiten gegeben haben ... der hat also einfach nachgeschlagen und eine kurze Multiplikation zur Probe gemacht. Die Pi Formeln dagegen standen nicht im Tafelwerk, aber später in der weit fortgeschritteneren Version des Autors Bronstein drin ... samt jede Menge Integrallösungen etc
Das Video ist nett gemacht. Aber zwei Anmerkungen (oder drei) dazu. Das Zeigen von Mulitiplikation und Division hat zwar den Zweck, den Aufwand darzustellen, ist aber leider in der heutigen Zeit ohne Lehreffekt. Aber trotzdem nett gemacht. Zweitens: eine wesentliche Darstellung fehlt: wie rasch konvergiert der erzielte Wert zu Wurzel 3. Also 15 Stellen bei der vierten Iteration. Wieviele Iterationen wurden für 50 Nachkommastellen berücksichtigt. Ich vermute 7-8. Aber toll ist die relativ rasche Annäherung. Drittens: es ist nett, auch die eigenen Rechenfehler darzustellen. Das macht es gleicht viel menschlicher. Gratulation!
Ich bin mir ziemlich sicher, dass Newton auch in nur 2 Tagen 50 Nachkommastellen berechnen konnte. Zum einen braucht es vermutlich nur 2-3 weitere Iterationen, um auf 50 Nachkommastellen zu kommen und zum anderen wurden Logarithmus Tabellen verwendet. Damit ist der rechen Aufwand von Multiplikationen und Divisionen wesentlich geringer.
Teste doch mal ob Dein Taschenrechner richtig rechnet. Er fuehrt Rechnungen mit sogenannten "double" Zahlen durch (IEEE 754). Du verwendest Ganzzahlen (Integer, heute darfst Du 64 Bit verwenden) und berechnest damit das gleiche Ergebnis das der Taschenrechner mit double errechnet. Du bekommst einen extra Punkt wenn Du auch noch die Status Flags berechnest.
97*97=97²=(100-3)²=(90+7)²=90²+2*90*7+7²=8100+1260+49=8100+1260+(49+1)-1=8100+1260+50-1=9410-1=9409 Mal ein anderer Weg um 97² auszurechnen...mit der 1. Binomischen Formel. Nur mal so als #funfact :-)
Das mache ich mit allem so und dann wundern sich ständig Leute warum ich so schnell multiplizieren und dividieren kann schätzen, binomische Formeln und Primafaktoren schnell zu erkennen sind da extrem hilfreich. Auch bei Produkten wie 64*56 geht binomisch gut dieses Mal die dritte 60²-4²=3584.
Na ja, dafür braucht man eigentlich noch nicht mal das Newton-Verfahren - was hier gemacht wird, ist ja einfach das Heron-Verfahren, das schon fast 3500 Jahre vor Newton bekannt war, und das auch ohne Kenntnisse von Tangenten und Ableitungen begründet werden kann.
That was very interesting. 1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806 (wikipedia, OEIS: A002194) Excel shows only nine decimals but they are identical starting with the 4th iteration.
Die schriftliche Division ist selbst schon etwa so aufwändig wie das Ziehen einer Wurzel. Deswegen ist es gar nicht so clever, die Wurzelberechnung mit dem Newton-Verfahren auf wiederholte Divisionen zurückzuführen. Besser ist es, die Wurzel direkt zu berechnen, mit einer Art Bisektion. Zur Vereinfachung kann man während der Berechnung negative Ziffern erlauben und diese am Ende wieder herausrechnen.
50 Stellen fehlerfrei. Also zwei mal komplett unabhängig rechnen, merken, dass beides nicht passt ...noch eine Rechnung machen und merken, dass es wieder nicht passt. Bis man es hat :D
Wo genau sollte denn da die 97 gekürzt werden? Etwa die 97 im Zähler des einen Summanden mit der 97 im Nenner des anderen? Dazu sagte meine Physiklehrerin immer: Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen ;-)
ich habe, nach wenigen Sekunden 1,73205 im Kopf rechnen können, wobei der Algorithmus, den ich benutze sehr schnell zu Kopfrechnen führt, das... ...gehoben ist ( ähnlich des vorgestellten Algorithmus von Newton... ), sodass man entweder auf das schriftliche Multiplizieren ausweicht, oder sein Kopfrechnen verbessert ( ...immer eine Freude... )... Le p'tit Daniel, der gerne ein kleines Buch über die Geschichte der Differentialrechnung schreiben möchte, indem diese gewissermaßen Grundlage aller wissenschaftlichen Arithmetik von heute ist und Newton ihr Schöpfer... ...jemanden vergessen? nö... ...ach Leibniz...
Alles prima, aber warum kann man nicht ein kleines bisschen sauber arbeiten und das Gleichheitszeichen und den Bruchstrich verdammt nochmal auf die gleich Höhe schreiben???!
Wenn Sie Mathematiker sind, dann ist Pi eine irrationale Zahl, unendliche Dezimalzahlen und das war’s. Wenn Sie Ingenieur sind, dann ist Pi = 3,1416 oder so. Wer braucht 50 - 1 Million Dezimalstellen? Wenn es ein Hobby ist, ok. Aber es gibt noch interessantere Hobbys.
So ein Unsinn in der Formulierung! Wurzel(3) ist eine reelle Zahl und keine Rechenaufgabe!!!! Man kann eine möglichst gute rationale Näherung bestimmen. Und um nichts Anderes handelt es sich hier.
Theodorus-Konstante mußte Newton gar nicht berechnen, da sie schon um 440 vor Chr, von Theodoros von Kyrene (Phytagoräer) in Annäherung errechnet wurde! Übrigens stammt auch von ihm die erste Theorie bzw. die Nomenklatur zwischen reellen Zahlen und Irrationalen Zahlen.
Die Zahl Pi Eigentlich sollte diese Zahl „rational“ sein. DENN: pi = U/d. Das ist doch ein Bruch, oder? Es gibt aber kein Zentimetermaß, welches exakt den Umfang bzw. Durchmesser messen kann. Dabei gilt: Einer von beiden Werten des Kreises ist irrational. Dreht das Rad (eines Autos) EXAKT einmal, so ist die zurückgelegte Stracke nicht genau bestimmbar. Und umgekehrt. Die Strecke geht unter die Plancklänge - die kleinste theoretische Strecke im Universum. Es gibt nichts kleineres. Das ist Subquark-Bereich!!! Unter der Plancklänge (10^-37) existiert nichts mehr. Mit Pi hat man demnach einen praktischen Ansatz der Heisenbergschen Unschärferelation, der hinauf bis in unseren Alltag reicht. Wie berechnet man also Pi auf Billionen Stellen genau? In der Bibel gibt’s sogar eine Rechenanleitung. Dort wird der Wert 3 angegeben. Mit „Nachmessen“ kam man nicht näher ran. Archimedes(+ 212 v. Chr) wurde da schon präziser: Pi ~ 3,14. Diese Zahl galt bis Ludolph van Ceulen, (+ 1610) der mit dieser Methode Pi bis auf 36 Zahlen hinter dem Komma berechnete. (hinten kamen die Zahlen …29 < …pi < …31 heraus) Die sogenannte „Ludolphsche Zahl“ Er hing 30 Jahre an der selbstgestellten Aufgabe dran… Wieder ein Beispiel eines verprassten Lebens im Sinne der Mathematik. Immerhin: Auf seinem Grabstein wurde diese Pi-Zahl verewigt. Dieser Stein hatte wohl so eine Anziehungskraft, dass man ihn stahl. Der Grabstein wurde danach erneuert und fest in den Boden einbetoniert. Auch Isaak Newton hing 1666 - also 50 Jahre nach Ludolph mit einer eigenen Berechnungsformel an dem „Pi-Problem“ und gab nachher zu; „I feel ashame, to tell you, that I have afforded so much computations, having no other business at this time.“ Er kam mit seiner selbstentdeckten Reihe auf 15 Nachkommastellen. Wilhelm Leibnitz (+ 1716) entdeckte die Reihe Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 … Aber die Berechnung wird nachher zu kompliziert und benötigt 10^35 Summanden, um auf Ludolphs 35 Nachkommastellen zu gelangen. Mit mathematischen Tricks (Reihen mit arcTan) gelangte über John Machin (100 Stellen - 1706; Thomas Lagny 112 Stellen - 1719; William Rutherford auf 152 Stellen - 1841 usw) Im Januar 1853 stieß William Shanks dann auf den menschlichen Rekord von 527 Nachkommastellen. Shanks selber sagte, dass er die Zahlen zu jedem Frühstück berechnete und am Nachmittag ihre Richtigkeit überprüfte. Klar: Wenn EINE ZAHL nur falsch war, dann war jede darauf folgende Arbeit für die Katz. So errechnete Shanks in Wahrheit zwanzig Jahre später insgesamt 707 Nachkommastellen, die ab Position 527 aber falsch waren. Computer und Pi: Ein lustiges Stelldichein von Supercomputern lieferte über die Neuzeit immer höhere Nachkommastellen. Google hält derzeit (seit 2022) den Rekord und berechnet 100 Billionen Stellen und brauchte dafür 157 Tage. Wobei schon 2012 die Japaner mit 15 Bio Stellen in diesen Bereich eindrangen. Die Schweizer TFH Graubünden war 2021 mit 62 Bio Stellen ein Jahr lang Rekordhalter. Berechnungszeit: 108 Tage. Aber alles noch kilometerweit von o.g. Plancklänge entfernt! Fazit: Ob Rosetta, Enigma oder Riemann, der Mensch kriegt ALLES geknackt. Nur Gott nicht. Und DAS ist doch ein Indiz für ihn, oder?
Sorry, ich kann das Video - obwohl es mich echt interessiert - nicht zu Ende schauen, weil mein innerer Monk absolut nicht damit klar kommt, dass Du die Bruchstriche nicht in der Zeilenmitte machst.
