WE-Learn é un progetto nato dalla collaborazione di studenti universitari che hanno voglia di condividere le proprie conoscenze e idee con gli altri. L'obbiettivo é quello di fornire delle spiegazioni, il più possibile intuitive, su degli argomenti che gli studenti più giovani non hanno compreso a pieno in aula o magari hanno semplicemente voglia di approfondire e consolidare. Siamo aperti a qualunque consiglio, richiesta, proposta e critica costruttiva, da parte di chiunque abbia voglia di dare il suo contributo. Siamo dell'idea che non c'è istruzione senza confronto e dialogo!
A quale esempio specifico ti riferisci? Comunque si', in generale quello che conta e' la variazione delle componenti e non se le componenti sono positive o negative. Quindi anche se Uy e' negativa, puoi avere una divergenza positiva, se all'aumentare di y il modulo di Uy diminuisce e cioe' Uy aumenta visto che e' negativa (chiaramente supponendo Ux e Uz invariate). Spero di non averti confuso le idee, alla fine basta guardare la formula che ti dice che l'unica cosa che conta e' la derivata, e quindi conta solo il delta di velocita' (la differenza) e non il segno della velocita'.
Scusa la risposta tardiva, comunque sinceramente non avrei consigli su che libro utilizzare. Le basi di queste cose le ho studiate da appunti dell'universita', poi il resto l'ho appreso andando a ricevimento dal prof. e cercando online.
Ottimo video. 👏👏Chiaro come il sole. Attenzione al lapsus sul Rotore delle palline di dx che è uguale a zero e non diverso da zero… se ho capito la spiegazione.
Si esatto, intendevo dire pari a zero, infatti è scritto nella descrizione del video. Una volta c'era anche una nota come pop-up sul video, ma purtroppo youtube ha tolto questa feature. Devo trovare un altro modo per segnalarlo.
Ho messo un link al canale su cui ho potuto scrivere "ROTORE PARI A ZERO" ma appare solo sulla versione desktop (per quanto ho visto). Peccato che youtube ha tolto sta feature delle note, perchè andava veramente bene in queste situazioni.
Nel video dici che metti come componente x la derivata parziale rispetto x perché così consideri nella formula la direzione dove la funzione sta crescendo di più, quindi è più una cosa matematica? Perché intuitivamente non riesco a comprendere il senso di avere un vettore che ha come componenti le derivate parziali. Considerando che le derivate parziali in un punto sono dei numeri alla fine vengono considerate come delle componenti di un vettore per tenere conto della direzione lungo gli assi dove la funzione sta variando maggiormente? Però come fa il modulo del vettore a rappresentarmi la variazione della funzione al variare in quella direzione?
Scusa per il ritardo nella risposta. Penso di non aver capito perfettamente la tua domanda ma provo comunque a rispondere. Metto la derivata parziale rispetto a x nella componente x per tenere conto della direzione in cui ho questo incremento, però non significa che la funzione sta crescendo di più verso x. Infatti lo scopo del gradiente è proprio quello di indicarti la direzione lungo cui la funzione cresce di più, e quindi non è detto che sia solo lungo x. Immaginati di essere in un punto (x,y) e di volerti spostare nella direzione con incremento maggiore. Se ti dico che la derivata rispetto a y è pari a 5 e quella rispetto a x è 0, in che direzione ti sposteresti? Direi lungo y visto che lungo x non hai aumento. Però se invece la funzione avesse una derivata rispetto a x pari a 1, ha senso spostarsi solo lungo y, e perdersi l'aumento che hai lungo x? Allora ti conviene spostarti un po' in x e un po' in y. Ma quanto in x e quando in y? Beh visto che in y avresti un incremento 5 volte maggiore rispetto a quello che hai in x, ha senso spostarsi in y 5 volte di più rispetto a come ti sposti in x. Ed è proprio questa direzione che ti rappresenta il vettore (5,1) che costruisci con il valore delle derivate parziali. Riguardo al modulo, supponiamo di avere una funzione che in un punto ha df/dx=4 e df/dy=3. Quindi il gradiente sarà pari al vettore (4,3). Ciò significa che se mi muovo di un infinitesimo (che chiamerò c) lungo x avrò un incremento della funzione pari a 4 mentre lungo y otterei 3. Però come detto, per avere l'incremento massimo dovrò spostarmi di un infinitesimo c lungo la direzione (4,3). Quindi il nostro spostamento c lo possiamo definire come c = sqrt(d^2 + e^2), dove d è lo spostamento che faremo lungo x ed e lungo y. Pertanto, visto che stiamo seguendo la direzione (4,3), sappiamo che d=4e/3. L'incremento della funzione che otteremo spostandoci di un c lungo (4,3) sarà q=4*(d/c) + 3*(e/c), questo perchè sappiamo che lungo x otteniamo 4 se ci spostiamo di una quantità c, ma noi nel nostro caso lungo x ci spostiamo solo di d, quindi l'incremento lungo x sarà pari a 4*(d/c), cioè una semplice proporzione lineare. Quindi q = (4d+3e)/c = (16e/3 + 3e)/c = (25e)/3c = (25e)/(3*sqrt(d^2+e^2)) = (25e)/(3*sqrt(16/9*e^2+e^2)) = (25e)/(3*sqrt(25/9*e^2)) = (25e)/(sqrt(25*e^2)) = (25e)/(sqrt(25)*e) = sqrt(25) = 5 Ma 5 è proprio il modulo del nostro vettore gradiente (4,3).
Ho visto il video, io però non ho ancora capito il nesso tra calcolare l'area con le somme e farlo invece con la primitiva. Qualè il nesso della primitiva tra a e b con l'a e b della funzione.
Non ho capito bene la domanda, ma proverò comunque a chiarire qualche concetto spiegato nel video. Per calcolare l'area sotto la curva, devi sommare tutti i piccoli rettangoli di area pari a f(x)*dx per ogni x da a a b. Ma f(x)*dx è comunque una quantità infinitesima che possiamo chiamare dU. Ovviamente questo dU dipende dal valore di f(x) e quindi dipende da x. Quindi abbiamo un dU(x) che rappresenta l'area di ogni rettangolino sotto la curva f(x). Quindi possiamo sommare tutti i dU(x) da a a b per ottenere l'area sotto f(x). Possiamo vedere i dU anche come le variazioni di una certa funzione U(x), quindi la somma di tutti i dU tra a e b è pari alla variazione totale di U(x) tra a e b e cioè U(b) - U(a). Se questo è chiaro, allora l'unica cosa che ci manca è trovare questa funzione U(x) le cui variazioni dU sono proprio l'area dei rettangolini sotto al curva f(x). Ma siccome dU(x) = f(x)*dx allora dU(x)/dx = f(x) e cioè la derivata di U(x) è proprio la nostra f(x). Pertanto U(x) è una primitiva di f(x). Spero questo aiuti a capire meglio. Se no dimmi pure nello specifico che parte non ti è chiara e cercherò di spiegarla meglio.
@@we-learn6734 Non riesco a capire perché la primitiva calcolata in a e b da il risultato dell'area sottesa a f(x), mi manca una dimostrazione grafica (non con la somma delle aree perché li si usa la f(x)),per capirlo.
@@Aleko64 E' la differenza tra la primitiva calcolata in b e la primitiva calcolata in a che ti dà l'area sotto f(x). Il motivo è, come detto, dovuto al fatto che sommare tutti di f(x)*dx tra a e b è come sommare tutti i dU tra a e b. Ma la somma di tutti i dU tra a e b ti dà la variazione totale di U tra a e b, e quindi U(b) - U(a). Graficamente lo vedi come la distanza sull'asse delle ordinate tra il punto U(b) e U(a). L'ho disegnato al minuto 11:00. Ovviamente sia f(x) che U(x) le ho disegnate generiche, ma puoi prenderti tu un caso specifico e disegnartele.
@@Aleko64 Capito, quindi ti mancava proprio il perché sommando i vari f(x)*dx si ottiene l'area sotto la curva. Effettivamente io qua do per scontato la nozione di infinitesimi di cui ho parlato nel mio altro video sugli integrali: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE--Jo7IOfChsc.html Anche se ammetto che il video non è incentrato sul calcolo dell'area sotto una curva, ma più in generale delle applicazioni pratica degli integrali definiti, tra cui anche l'area sotto la curva. Comunque è un bel video anche quello. La spiegazione è semplice e la si può capire anche senza sapere cosa sono gli infinitesimi. Son contento che alla fine hai trovato quello che cercavi, io purtroppo come detto non capivo cosa non ti era chiaro.
Il determinante di una matrice 2x2 rappresenta l'area della figura geometrica che si forma, mentre il determinante di una matrice 3x3 rappresenta il volume delle figura geometrica che si forma. Domanda : e per una matrice 4x4 o superiore, cosa rappresenta il determinante ?
Quando si va oltre le 3 dimensioni è difficile dargli un'interpretazione geometrica. Teoricamente per estensione del concetto 3D, rappresenterrebbe il volume del parallelepipedo 4D. E quindi come il volume del parallelepipedo formato dai 3 vettori colonna che calcoli con il determinante ti dice quanto si deforma il volume cambiando le coordinate, così puoi pensare che il determinante di una matrice 4D ti indica quanto si deforma il "volume" cambiando coordinate. Però come detto oltre le 3 dimensioni mi risulta difficile visuallizare, infatti anche solo i vettori 4D non li visualizzo, quindi non ho una buona risposta per questa domanda.
Grazie mille! Son contento che anche questi video sulle matrici siano piaciuti. Questa interpretazione geometrica in particolare non capisco perché non venga spiegata in tutti i corsi di geometria/algebra lineare, essendo così semplice da capire e soprattutto utile.
Cercavo proprio la risposta a questa domanda, non avendo trovato la dimostrazione negli appunti, la formula era data così, senza spiegazioni ed io ho trovato questa magistrale esposizione...complimenti.
Non mi sorprende, anche a me l'avevano data così senza spiegazioni. Ho dovuto chiedere al professore e poi rifletterci su parecchio per arrivare a questa spiegazione. Per questo ho deciso di farci un video, perché dovrebbe essere la normalità spiegare esattamente perché ci va di mezzo il determinante della matrice Jacobiana, ma purtroppo spesso non è così. E son molto contento che la spiegazione è stata ben apprezzata. Grazie per il feedback.
Quindi un campo di velocità ( per un fluido ad esempio ) e le sue variazioni in termini della velocitá stessa puó essere descritto tramite in gradiente? Che ci permette anche di visualizzarlo graficamente ?
Sì e no. Cioè puoi sì calcolare il gradiente della velocità ma essendo la velocità un campo vettoriale il gradiente della velocità sarà un campo tensoriale. Tieni conto che nella definizione classica (e come anche ne ho parlato nel video) il gradiente va applicato ad un campo scalare. Quindi il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale. Infatti data f:R3->R, avrai grad(f):R3->R3 che è definito come (df/dx,df/dy,df/dz), quindi vedi come da un valore scalare di f in un determinato (x1,y1,z1) ottieni un vettore con tre componenti. Se invece vuoi fare il gradiente di un campo vettoriale, parti già con 3 componenti, e per ognuna di queste dovrai calcolarti le 3 derivate parziali e quindi otterrai un tensore con 9 componenti. Non mi addentro troppo sui tensori anche perchè non è il massimo cercare di spiegarli tramite commenti su youtube, hahaha. Comunque se ti interessa questo è un ottimo video che spiega cosa sono i tensori: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-f5liqUk0ZTw.html Potresti volendo fare il gradiente sulle singole componenti di velocità, ed avere una rappresentazione grafica del gradiente della componente x della velocità, e cosi' anche per y e z, ma sinceramente non lo vedo molto intuitivo. Penso sia più intuitivo rappresentare il campo di velocità stesso essendo un campo vettoriale. Ultima nota importante, non so cosa intendessi di specifico come "variazioni in termini della velocità stessa", ma volevo solo precisare che il gradiente ti mostra le variazioni nello spazio, non nel tempo (deriviamo rispetto a x,y,z e non rispetto a t). Infatti nel video dico che il vettore gradiente ti indica la direzione in cui devi spostarti per avere il massimo incremento del campo scalare, e quindi capisci che si parla di variazioni ottenute muovendoti nello spazio.
Era esattamente quello che stavo cercando ( studiando ingegneria è proprio quello che serve a me ) , potresti fare un video sul laplaciano e l’operatore nabla ?
Son contento ti sia trovato bene. Il video sul laplaciano c'è già, dovresti trovarlo sul canale. Ma ti consiglio vivamente di vedere prima il video sulla divergenza, visto che il laplaciano è definito come la divergenza del gradiente.
Riguardo l'operatore nabla, non ho fatto video a riguardo perché più della definizione stessa non saprei cosa dire. Dovrei pensarci. L'ho sempre visto come una notazione comoda per esprimere questi operatori differenziali, ma personalmente credo che non aggiunga niente all'intuizione degli operatori stessi. Cioè ad esempio per il gradiente è sicuramente comodo scrivere nabla(f), ma per capire il significato fisico/pratico devi ragionare sulle varie derivate parziali (df/dx, df/dy, df/dz). Non so se mi son spiegato. Ma se hai dei dubbi particolari riguardo nabla, scrivi pure, magari mi dai qualche spunto.
Ciao, grazie son contento sia stata apprezzata. Beh il gradiente è un campo vettoriale, e quindi come tale puoi calcolarci il flusso attraverso una superficie. Di flussi ne parlo nei video della divergenza e in particolare il teorema della divergenza se ti interessa. Il flusso indica la quantità che passa attraverso la superficie. Ad esempio se il tuo campo vettoriale rappresenta la velocità di un fluido, allora calcolando il flusso puoi calcolarti quanto fluido passa attraverso la superificie, cioè la portata volumetrica (m^3/s infatti la velocità è m/s e poi siccome il flusso è un integrale di superficie dimensionalmente è come moltiplicare per un'area quindi m^2). Tornando al gradiente, ti faccio un esempio fisico. Avendo il campo di temperatura di un solido, che è un campo scalare, puoi calcolarti il gradiente. Il calore scambiato per conduzione è proporzionale al gradiente di temperature (abbastanza intuitivo, maggiore è la differenza di temperatura, maggiore è il gradiente e maggiore sarà il calore che andrà dal punto più caldo a quello più freddo). Moltiplicando il gradiente di temperatura per la conducibilità termica del materiale si ottiene la potenza termica per unità di superficie dovuta alla conduzione. Cioè ottieni i W di potenza termica per m^2. Quindi sapendo il gradiente, calcolando l'integrale su una superficie (il flusso), ottieni la potenza termica [W] che viene scambiata su quella superficie. Per essere precisi c'è un segno meno nella formula q = -k*grad(T), ed è logico perchè il calore va dal punto più caldo a quello più freddo. it.wikipedia.org/wiki/Conduzione_termica
Scusa ma non ti seguo, a quale uguaglianza ti rifersci di preciso (minuto?). Se intendi quella al minuto 9:50, è il rotore della divergenza e non il rotore del rotore (da cui verrebbero fuori tutt'altre derivate miste).
@@we-learn6734 mi spiego meglio. Se è vera l'uguaglianza delle derivate parziali seconde miste (cioè se è vero che esse sono uguali), allora anche l'operatore che descrive il rotore del rotore di una funzione dovrebbe essere nullo. Poiché il rotore è un prodotto vettoriale le cui componenti sono tutte quante differenze tra derivate parziali miste, allora tutte le sue componenti dovrebbero essere nulle. Stesso dicasi per il rotore del rotore.
@@DaveHelios99 continuo a non capire a quale uguaglianza ti riferisci. Per la dimostrazione ho usato il fatto che dF/dxdy = dF/dydx, in pratica sfrutto il fatto che puoi invertire l'ordine con cui derivi (a patto che le derivate siano continue: math.stackexchange.com/questions/740593/changing-order-of-partial-derivatives). Questo non ti dice niente per il rotore di una funzione, in cui derivi una sola volta. Mentre per il rotore del rotore, se chiamiamo G=curl(F) allora la componente x del rotore di G sarà dGz/dy - dGy/dz, ma siccome curl(F)=(dFz/dy-dFy/dz, dFx/dz-dFz/dx, dFy/dx-dFx/dy), allora dGz/dy - dGy/dz = dFy/dydx -dFx/dydy - (dFx/dzdz - dFz/dzdx) che non è uguale a zero. Purtroppo qua nei commenti non è facile scrivere formule, spero si capisca
@@we-learn6734 Cerco di spiegarmi ancora meglio, perdonami. Per la dimostrazione tu hai posto la condizione seguente "Uguaglianza delle derivate miste". 😂 significa una sola cosa, no? Secondariamente, prendiamo la prima componente del rotore di una funzione f. Essa sarà uguale a dFz/dy-dFy/dz Ora, se è vero che Fz=df/dz e che Fy=df/dy, allora la componente che ho scritto prima è una derivata seconda. In pratica, la domanda si riduce semplicemente a: è vero che Fz=df/dz e così via? Perche se è cosi, allora posso invertire l'ordine di derivazione e il rotore di una funzione dovrebbe venire sempre zero
@@DaveHelios99 se la domanda è: "è vero che Fz=df/dz" allora la risposta è "no, non necessariamente". Riprendendo il tuo esempio, se abbiamo un campo vettoriale F per cui F:R3->R3, la prima componente del rotore di F sarà dFz/dy - dFy/dz, e fin qui ci siamo. Se poi tu dici che c'è un'altro campo scalare chiamato f per cui f:R3->R tale che Fx=df/dx, Fy=df/dy e Fz=df/dz, allora è vero che il rotore di questo campo vettoriale F sarà nullo, ma non tutti i campi vettoriali li puoi scrivere in quel modo. Un campo vettoriale di quel tipo (cioè Fx=df/dx, Fy=df/dy e Fz=df/dz) è in realtà il gradiente di un campo scalare, e come mostrato in un altro video, il rotore del gradiente è sempre nullo (sempre con la stessa ipotesi di derivate continue etc.). Esempio banale, il campo vettoriale F(x,y,z) = (y, 0, 0) non lo puoi scrivere come il gradiente di un campo scalare. Verrebbe da dire f(x,y,z) = xy per avere Fx=df/dx=y, ma poi avresti Fy=df/dy=x e non 0.
1:18 è sbagliato dire la somma di tutti gli x moltiplicati per dx, dx nin significa una moltiplicazione, è solo una nozione, impara la matematica prima poi insegna e fai i video online.
Non sarà formalmente corretto, ma il concetto intuitivo/pratico/fisico è quello. Infatti se devi calcolare numericamente un integrale l'approssimazione che si fa è far diventare quel dx un valore finito piccolo e poi fai la somma moltiplicando. In ogni caso, se non sei d'accordo, accetto il non mi piace e il commento (magari spiegando meglio il tuo dissenso) ma non accetto di essere insultato dicendo che devo imparare la matematica perchè è una mancanza di rispetto nei miei confronti per il lavoro che ho dedicato a questo canale.
(W)e-learn ma in fin dei conti non hai spiegato la relazione tra il definito e lintegrale l’indefinito, hai solo spiegato che cos’è il lintegrale definito e basta lololol.
Grazie, son contento di ricevere finalmente feedback su questo video perché sinceramente quando ho capito questa cosa e ho deciso di fare il video mi aspettavo che fosse più apprezzato.
@@we-learn6734 Mi dispiace che non abbia ricevuto il feedback che meritava, per me è stato utile soprattutto nella parte 'intuitiva' che ho capito bene ; )
@@we-learn6734 Purtroppo penso poche persone siano interessate a Divergenze, Gradienti e Rotori ;) Però a me che serviva questa spiegazione è stata utilissima, grazie mille!!!
Si vero, però tra avere tante visualizzazioni o commenti come i vostri mi tengo i commenti. Alla fine gli argomenti sono questi perchè sono gli argomenti su cui avevo fatto anch'io fatica, e quando sono riuscito a capirli ho voluto condividere c'ho che avevo trovato. Comunque sono contento che ti è stato utile anche a te questo video.
Ciao scusami non ho capito perché si parla di divergenza maggiore di 0 sulla componente x ad esempio se la derivata parziale rispetto a x é maggiore di 0, cioè perché la derivata parziale maggiore di zero indica che il vettore uscente è maggiore del vettore entrante nel volumetto infinitesimo
Non capisco bene la domanda, riusciresti a dirmi a che minuto in particolare ne parlo? Comunque riguardo a "perché la derivata parziale maggiore di zero indica che il vettore uscente è maggiore del vettore entrante nel volumetto infinitesimo", è proprio la definizione di derivata parziale, cioè se la derivata parziale rispetto a x è maggiore di zero, allora vuole dire che spostandomi (infinitesimamente) lungo x il vettore aumenta. Più precisamente se hai dFx/dx >0 (dove Fx è la componente lungo x del campo), vuol dire che la componente x del campo aumenta spostandomi lungo x, quindi per questo nel volumetto ho il vettore uscente più grandi di quello entrante.
Ho un dubbio irrisolto. La terza equazione di Maxwell afferma che il rotore del campo elettrico sia pari alla derivata temporale del campo magnetico. Integrando entrambe le grandezze si ottiene che il flusso del rotore su una generica superficie è pari alla variazione del flusso del campo magnetico. Questo equivale a dire che la circuitazione del campo elettrico sul bordo di una superficie chiusa è pari alla variazione del flusso del campo magnetico. Supponiamo adesso che la superficie sia un paraboloide. Il bordo di detta superficie sia la curva ottenuta dalla intersezione del del paraboloide con un piano a distanza enorme dal vertice. Generiamo quindi un campo magnetico variabile intorno al vertice del paraboloide. Secondo la terza equazione di Maxwell dovrebbe nascere un campo elettrico intorno al cammino chiuso di cui sopra. Ma come è possibile, se il campo magnetico è stato applicato a distanze enormi?
C'ho pensato e in breve, secondo me, la risposta è semplicemente che c'è un campo elettrico ma è irrisorio. Quello che non capivo è come fosse possibile che, nel caso in cui avessimo una variazione locale del campo magnetico attorno al vertice, si avrebbe del flusso attraverso il paraboloide ma nessun flusso attorno al cerchio (l'intersezione tra il paraboloide ed il piano a distanza enorme). Ma in realtà credo che non si può avere una variazione solamente locale, e la variazione deve essere vista come il campo magnetico di una spira (o di un dipolo) e pertanto il campo varia in tutto lo spazio secondo questa legge: www.physicsinsights.org/dipole_field_1.html (equazione 16 in fondo). Il campo quindi varia come 1/(distanza)^3, dunque si avrebbe un flusso anche attraverso il cerchio ma veramente irrisorio. Con l'immagine del campo di una spira bene in mente (images.app.goo.gl/SZwbJ369RQykVZm7A), nel caso del paraboloide, se posizioniamo un dipolo che rappresenta la variazione del campo giusto sotto il vertice del paraboloide, allora avremo un flusso entrante nel paraboloide molto elevato vicino al vertice, ma allo stesso tempo avremo tantissime linee di flusso uscenti dal paraboloide nei "lati" del paraboloide (la parte più in alto) che quindi vanno a sottrarsi con il flusso nella zona bassa vicino al vertice. Quindi la somma sarà piccola, proprio come nel cerchio in alto. Mi sarebbe piaciuto fare degli esempi numerici, ma purtroppo non mi pare un calcolo semplice. Io l'ho pensata così, ma fammi sapere cosa ne pensi.
Ciao, intanto grazie per la risposta. È una bella pezza, ma resta una pezza! Anche la formulazione che vede il campo magnetico ridursi in modulo con il cubo della distanza (cade col cubo a causa dell'effetto contrastante dell'altro dipolo, un monopolo avrebbe una legge quadratica), ebbene anche quella formulazione è incompleta, in quanto la propagazione del campo B deve osservare una dinamica anche temporale. Quello che ho scoperto, è che così come sono formulate, le equazioni di Maxwell sono dolorosamente incomplete. Esistono modelli più raffinati (di cui al momento non mi sovviene il nome) che computano anche la componente transitoria dei campi. Un po' come in Navier Stokes per intenderci, dove la derivata materiale fa nascere una componente transitoria e una convettiva. Ebbene, maxwell considera solo la componente convettiva. Non c'è similitudine fisica ovviamente, è solo un disegnino "mentale" per capirci inter nos. Comunque sei simpaticissimo, ti sei ricordato dopo mesi ahah Cari saluti!
Ciao! Avrei una domanda...è assodato che il gradiente ha la direzione del massimo incremento, ma se la funzione ha lo stesso incremento in tutte le direzioni, oppure ci sono due massimi, il gradiente che direzione ha?
Riguardo ai due massimi, alla fine il gradiente lavora a livello infinitesimale quindi ti dice solo dove spostarsi infinitesimamente per avere il massimo incremento, quindi i massimi di per se non c'entrano. Piuttosto esiste una tecnica per trovare un massimo che sostanzialmente segue la direzione del gradiente, ma così facendo arriverai ad un massimo locale che dipende da dove parti. Per quanto riguarda "se la funzione ha lo stesso incremento in tutte le direzioni", cosa intendi per tutte le direzioni? Se per esempio prendiamo una funzione f(x,y) che rappresenta un campo scalare, per tutte le direzioni intendi lungo x e lungo y oppure tutte le infinite direzioni sul piano x,y?
@@we-learn6734 allora, per "due massimi" intendevo due incrementi massimi. Cioè nel caso in cui l'incremento massimo lo si ha in due o più direzioni. Riguardo la tua domanda, per "tutte le direzioni" intendo in tutte le infinite direzioni nel piano. Per rendere meglio l'idea mi viene in mente l'esempio banale di un cono. Se io sono sulla punta del cono, ed ho un campo scalare che mi indica l'altezza, in tutte le direzioni a partire dalla mia posizione (la punta del cono), la pendenza è la medesima, quindi il gradiente dove punta? Spero di essermi spiegato bene
@@Brad3dd991 in quel caso la tua funzione scalare non è differenziabile e quindi non riesci a definire il gradiente in quel punto. Alla fine se ci pensi è come chiedersi la derivata di y = |x| in x = 0, non esiste perchè il limite del rapporto incrementale sinistro è diverso dal destro. Come avrai visto, nei miei video tratto sempre casi "pratici/fisici" e quindi solitamente non considero questi casi "speciali".
@@we-learn6734 giusto, ho fatto un esempio sbagliato non considerando che non è differenziabile. E se invece il cono avesse la punta arrotondata sarebbe differenziabile, giusto? e rimarrebbe comunque con la stessa pendenza in ogni direzione
@@Brad3dd991 se l'arrotondi non avrebbe la stessa pendenza in tutte le direzioni ma avrebbe molto probabilmente pendenza zero (un po' come la parabola). Se vuoi avere la stessa pendenza in tutte le direzioni, è come dire che nel caso 1D, vuoi avere lo stesso incremento sia che ti sposti a destra o a sinistra, cioè vuoi lo stesso dy sia per un dx positivo che negativo, e pertanto le derivate destra e sinistra non sono uguali, quindi non è derivabile. Quindi perchè sia differenziabile devono essere uguali, e l'unico modo è che arrotondi ed hai derivata nulla in quel punto (perchè per passare dal positivo al negativo devi passare per zero).
Se spostandomi in maniera infinitesimale lungo y ho un incremento 2 volte maggiore rispetto a se mi spostassi lungo x, perché mi sposto in maniera obliqua anziché spostarmi semplicemente lungo y?
Bella domanda, la risposta è che muovendoti in diagonali hai un incremento maggiore. Infatti siamo interessati alla direzione in cui il campo cresce maggiormente. Se ci pensi, siccome: db = db/dx * dx + db/dy * dy (dovrebbero essere derivate parziali ma su youtube non ho alternative) Quindi se tu ti sposti lungo la direzione atan(2/1), con uno spostamento infinitesimo che possiamo chiamare ds, allora dx = ds * cos(atan(2/1)) e dy = ds * sin(atan(2/1)) . Se fai il calcolo vedrai che db ti viene più di 2*ds. Ma per rimanere sull'intuitivo, immaginati che il tuo gradiente in quel punto sia (1,1), ciò significa che la freccia sarebbe di 45°. Se ti spostassi di 1 in direzione x o y avresti un incremento di 1 (in realtà bisogna ragionare a livello infinitesimo ma è più semplice pensare di spostarsi di 1). Se invece ti spostassi di uno in diagonale di 45°, allora avresti che aumenti di 0.707 grazie a x e 0.707 grazie a y, quindi in totale decisamente più di 1.
Ovvio che i vettori uscenti hanno modulo maggiore rispetto a quelli entranti, ma se i vettori rappresentassero la velocità di un fluido allora avresti più fluido in uscita che in entrata. Infatti si dice che un punto dove la divergenza è positiva è una "sorgente" mentre un punto a divergenza negativa è un "pozzo". Ovviamente se il fluido è incomprimibile, questa situazione è impossibile. Se la pensi al contrario, cioè divergenza negativa, non puoi avere più fluido entrante rispetto a quello uscente a meno che non lo puoi comprimere. Ed è per questo che per flussi incompribili, a partire dall'equazione della conservazione della massa, si può vedere che la divergenza del campo di velocità deve essere nulla ovunque. Guarda le prime due formule: it.wikipedia.org/wiki/Flusso_potenziale_incomprimibile#Equazione_di_trasporto_della_vorticit%C3%A0
Buongiorno visto che i pianeti sono assimilabili al vortice 1 si può dire che i pianeti hanno campi di forza rotazionali? Grazie per la risposta e bel video
Sinceramente non ci ho mai pensato, e non so esattamente la meccanica dei pianeti, cioè non so se ci sono delle forze che li fanno ruotare o semplicemente vanno avanti per inerzia. Detto questo, bisogna stare attenti a non confondere cause con effetti. Il vortice 1 è rotazionale indipendentemente dal fatto che ci sia in mezzo una pallina che gira, cioè è una proprietà del campo stesso che ha poi per effetto quello di far girare una pallina se questa viene messa dentro il campo. Ma la pallina potrebbe muoversi in quel modo anche per delle semplici forze "singole" senza dover avere un campo di forze di per se. Cioè con una coppia di forze la metti in rotazione, e poi la fai girare con una forza centripeta verso l'interno. E penso che questo è il caso dei pianeti
il campo gravitazionale è radiale e quindi conservativo: significa che è un campo "gradiente" che è irrotazionale proprio perchè così è identificabile un campo di questo tipo (in pratica l'essere gradiente per un campo di forze comporta che eisista un campo scalare che sia l'integrale della forza e tale integrale esiste se il campo di forze manifesta delle regolarità: derivate perziali continue e quindi derivate miste UGUALI. Se nella formula vista sopra consideri che sussista l'uguaglianza di queste derivate miste, cioè che dAy/dx = dAx/dy, e così per ogni coppia possibile di variabili, ottieni ZERO cioè nessun effetto torcente locale). Tieni conto che il rotore dà conto, come nel video ti viene detto, di proprietà locali (infinitesime).
Grazie mille, mi fa molto piacere che l'hai apprezzato. Infatti mi aspettavo di ricevere molto più feedback positivo per questo video, perchè quando ho scoperto questa cosa per me è stata una rivelazione, perchè prima non riuscivo veramente a comprendere come erano legati gli integrali indefiniti con quelli definiti.
@@we-learn6734 Questo video è esattamente quello che cercavo, anche per me è stata una rivelazione. E' molto soddisfacente capire questo concetto, grazie del video
Si hai perfettamente ragione, me l'avevano già fatto notare, avevo aggiunto una nota per correggere, però purtroppo RU-vid ha deciso di eliminare le note e quindi si è persa. Devo trovare un modo alternativo per segnalare questo errore senza dover ricaricare il video.
Allora, per favore: il titolo è oltremodo fuorviante per il tipo di argomento e bisogna essere precisi. A 0:07 dici "il rotore del gradiente DEL CAMPO scalare è sempre nullo" il titolo dice genericamente che il gradiente è sempre nullo. Il gradiente può anche non essere conservativo: non sarà gradiente di un potenziale scalare, ma sempre gradiente resta, seppur di qualcos'altro. Quindi per favore sii più preciso in futuro.
scusa ma non capisco bene il problema, volevi che il video si fosse intitolato "Rotore del gradiente di un campo scalare" oppure mi stai dicendo che ci sono campi scalari il cui gradiente non è conservativo? (perchè io non ne ho mai visti/sentiti)
