Matematica - Gradiente - Spiegazione Intuitiva della Formula 

Grazie a te per il feedback.

grazie mille! L'obbiettivo era proprio quello di essere pratici ma mantenere comunque la struttura matematica. Sono contento sia stato recepito in questo modo.

Grazie, spero che ti troverai bene anche con gli altri video.

grazie a te per il feedback! Spero che anche gli altri video ti siano piaciuti/ti piaceranno.

Scusa per il ritardo nella risposta. Penso di non aver capito perfettamente la tua domanda ma provo comunque a rispondere. Metto la derivata parziale rispetto a x nella componente x per tenere conto della direzione in cui ho questo incremento, però non significa che la funzione sta crescendo di più verso x. Infatti lo scopo del gradiente è proprio quello di indicarti la direzione lungo cui la funzione cresce di più, e quindi non è detto che sia solo lungo x. Immaginati di essere in un punto (x,y) e di volerti spostare nella direzione con incremento maggiore. Se ti dico che la derivata rispetto a y è pari a 5 e quella rispetto a x è 0, in che direzione ti sposteresti? Direi lungo y visto che lungo x non hai aumento. Però se invece la funzione avesse una derivata rispetto a x pari a 1, ha senso spostarsi solo lungo y, e perdersi l'aumento che hai lungo x? Allora ti conviene spostarti un po' in x e un po' in y. Ma quanto in x e quando in y? Beh visto che in y avresti un incremento 5 volte maggiore rispetto a quello che hai in x, ha senso spostarsi in y 5 volte di più rispetto a come ti sposti in x. Ed è proprio questa direzione che ti rappresenta il vettore (5,1) che costruisci con il valore delle derivate parziali. Riguardo al modulo, supponiamo di avere una funzione che in un punto ha df/dx=4 e df/dy=3. Quindi il gradiente sarà pari al vettore (4,3). Ciò significa che se mi muovo di un infinitesimo (che chiamerò c) lungo x avrò un incremento della funzione pari a 4 mentre lungo y otterei 3. Però come detto, per avere l'incremento massimo dovrò spostarmi di un infinitesimo c lungo la direzione (4,3). Quindi il nostro spostamento c lo possiamo definire come c = sqrt(d^2 + e^2), dove d è lo spostamento che faremo lungo x ed e lungo y. Pertanto, visto che stiamo seguendo la direzione (4,3), sappiamo che d=4e/3. L'incremento della funzione che otteremo spostandoci di un c lungo (4,3) sarà q=4*(d/c) + 3*(e/c), questo perchè sappiamo che lungo x otteniamo 4 se ci spostiamo di una quantità c, ma noi nel nostro caso lungo x ci spostiamo solo di d, quindi l'incremento lungo x sarà pari a 4*(d/c), cioè una semplice proporzione lineare. Quindi q = (4d+3e)/c = (16e/3 + 3e)/c = (25e)/3c = (25e)/(3*sqrt(d^2+e^2)) = (25e)/(3*sqrt(16/9*e^2+e^2)) = (25e)/(3*sqrt(25/9*e^2)) = (25e)/(sqrt(25*e^2)) = (25e)/(sqrt(25)*e) = sqrt(25) = 5 Ma 5 è proprio il modulo del nostro vettore gradiente (4,3).

Bella domanda, la risposta è che muovendoti in diagonali hai un incremento maggiore. Infatti siamo interessati alla direzione in cui il campo cresce maggiormente. Se ci pensi, siccome: db = db/dx * dx + db/dy * dy (dovrebbero essere derivate parziali ma su youtube non ho alternative) Quindi se tu ti sposti lungo la direzione atan(2/1), con uno spostamento infinitesimo che possiamo chiamare ds, allora dx = ds * cos(atan(2/1)) e dy = ds * sin(atan(2/1)) . Se fai il calcolo vedrai che db ti viene più di 2*ds. Ma per rimanere sull'intuitivo, immaginati che il tuo gradiente in quel punto sia (1,1), ciò significa che la freccia sarebbe di 45°. Se ti spostassi di 1 in direzione x o y avresti un incremento di 1 (in realtà bisogna ragionare a livello infinitesimo ma è più semplice pensare di spostarsi di 1). Se invece ti spostassi di uno in diagonale di 45°, allora avresti che aumenti di 0.707 grazie a x e 0.707 grazie a y, quindi in totale decisamente più di 1.

Riguardo ai due massimi, alla fine il gradiente lavora a livello infinitesimale quindi ti dice solo dove spostarsi infinitesimamente per avere il massimo incremento, quindi i massimi di per se non c'entrano. Piuttosto esiste una tecnica per trovare un massimo che sostanzialmente segue la direzione del gradiente, ma così facendo arriverai ad un massimo locale che dipende da dove parti. Per quanto riguarda "se la funzione ha lo stesso incremento in tutte le direzioni", cosa intendi per tutte le direzioni? Se per esempio prendiamo una funzione f(x,y) che rappresenta un campo scalare, per tutte le direzioni intendi lungo x e lungo y oppure tutte le infinite direzioni sul piano x,y?

@@we-learn6734 allora, per "due massimi" intendevo due incrementi massimi. Cioè nel caso in cui l'incremento massimo lo si ha in due o più direzioni. Riguardo la tua domanda, per "tutte le direzioni" intendo in tutte le infinite direzioni nel piano. Per rendere meglio l'idea mi viene in mente l'esempio banale di un cono. Se io sono sulla punta del cono, ed ho un campo scalare che mi indica l'altezza, in tutte le direzioni a partire dalla mia posizione (la punta del cono), la pendenza è la medesima, quindi il gradiente dove punta? Spero di essermi spiegato bene

@@Brad3dd991 in quel caso la tua funzione scalare non è differenziabile e quindi non riesci a definire il gradiente in quel punto. Alla fine se ci pensi è come chiedersi la derivata di y = |x| in x = 0, non esiste perchè il limite del rapporto incrementale sinistro è diverso dal destro. Come avrai visto, nei miei video tratto sempre casi "pratici/fisici" e quindi solitamente non considero questi casi "speciali".

@@we-learn6734 giusto, ho fatto un esempio sbagliato non considerando che non è differenziabile. E se invece il cono avesse la punta arrotondata sarebbe differenziabile, giusto? e rimarrebbe comunque con la stessa pendenza in ogni direzione

@@Brad3dd991 se l'arrotondi non avrebbe la stessa pendenza in tutte le direzioni ma avrebbe molto probabilmente pendenza zero (un po' come la parabola). Se vuoi avere la stessa pendenza in tutte le direzioni, è come dire che nel caso 1D, vuoi avere lo stesso incremento sia che ti sposti a destra o a sinistra, cioè vuoi lo stesso dy sia per un dx positivo che negativo, e pertanto le derivate destra e sinistra non sono uguali, quindi non è derivabile. Quindi perchè sia differenziabile devono essere uguali, e l'unico modo è che arrotondi ed hai derivata nulla in quel punto (perchè per passare dal positivo al negativo devi passare per zero).

Ciao, grazie son contento sia stata apprezzata. Beh il gradiente è un campo vettoriale, e quindi come tale puoi calcolarci il flusso attraverso una superficie. Di flussi ne parlo nei video della divergenza e in particolare il teorema della divergenza se ti interessa. Il flusso indica la quantità che passa attraverso la superficie. Ad esempio se il tuo campo vettoriale rappresenta la velocità di un fluido, allora calcolando il flusso puoi calcolarti quanto fluido passa attraverso la superificie, cioè la portata volumetrica (m^3/s infatti la velocità è m/s e poi siccome il flusso è un integrale di superficie dimensionalmente è come moltiplicare per un'area quindi m^2). Tornando al gradiente, ti faccio un esempio fisico. Avendo il campo di temperatura di un solido, che è un campo scalare, puoi calcolarti il gradiente. Il calore scambiato per conduzione è proporzionale al gradiente di temperature (abbastanza intuitivo, maggiore è la differenza di temperatura, maggiore è il gradiente e maggiore sarà il calore che andrà dal punto più caldo a quello più freddo). Moltiplicando il gradiente di temperatura per la conducibilità termica del materiale si ottiene la potenza termica per unità di superficie dovuta alla conduzione. Cioè ottieni i W di potenza termica per m^2. Quindi sapendo il gradiente, calcolando l'integrale su una superficie (il flusso), ottieni la potenza termica [W] che viene scambiata su quella superficie. Per essere precisi c'è un segno meno nella formula q = -k*grad(T), ed è logico perchè il calore va dal punto più caldo a quello più freddo. it.wikipedia.org/wiki/Conduzione_termica

Grazie moltissimo per l’esauriate e Chiara risposta