on ne peut pas faire comme suit? Rn-1[X] est un espace vectoriel de dimension n, or la famille (P(X),P(X+1),...,P(X+n)) est liée car contient un élément de plus que la dimension de l'espace.
J'ai l'impression que tu démontres la propriété où nos quantificateurs sont inversés. Tu vas trouver pour chaque polynôme un n-1-uplet mais pas forcément un qui correspond pour tout le monde.
sinon ca donne envie de faire un récurrence mais bon en prenant la somme en n+1 il faut distinguer plusieurs paquets et je ne suis pas sur que ça simplifie tellement. Autre idée rigolote pour trouver un lien avec la formule du crible en probabilités : en notant m=Min(x1,...,xn), M=Max(x1,...,xn), k=(M-m) (on suppose M>m sinon ca n'a pas un grand intérêt). Alors en notant pi=(xi-m)/k, tous les pi sont des réels compris entre 0 et 1. On peut imaginer une expérience aléatoire ou les pi sont les probabilités associées à des évènements emboités, alors en substituant les pi au xi dans la relation, le terme à droite de l'égalité est la probabilité de la réunion des évènements et le terme de gauche est la formule du crible. On remultiplie par k et on ajoute m et on est pas mal.
Bonne vidéo. Toutefois, ne fallait-il démontrer que les changements de variables étaient bien des C1-diffémorphismes de ... sur ... dans un oral X ? Et l'inversion séries-intégrales, ne demanderait-il pas quelques explications supplémentaires, du genre convergence séries géométriques et je pense qu'il faudrait expliquer ce qu'il se passe en v=1(presque partout ou on joue sur [0;1[...) ou est ce que ces résultats sont considérés comme évident. Par contre , Fubini-Tonelli, je suppose avec mesure de comptage, ne serait-plutôt à Beppo-Levi que vous pensiez dans l'anecdocte ?
Pour la première intégrale le changement de variable u = 1/t fonctionne très bien. Cela nous donne intégrale sur R+ de u²/(1+u²)² du. Puis par linéarité de l'intégrale, 2I = integrale sur R+ de 1/(1+u²) du. On reconnaît l'arctan donc 2I = π/2 d'où I = π/4
"Cet exercice de malade ment(al)" coupé sur le final, cela redouble l'effet surréel genre Griffins et ça rajoute quelque chose de méta 🤔 Bref, j'ai beaucoup aimé
Bonheur cette petite vidéo ! Merci pour ça. J'aurais aimé une petite propriété du roi pour conclure concernant J l'intégrale de cos²(u) sur le segment [0, pi/2] :( Ainsi 2J vaut l'intégrale de cos²(u) + sin²(u) sur [0, pi/2], donc on intègre juste 1 entre 0 et pi/2. En résulte 2J = pi/2, donc J = pi/4 !
Très bonne vidéo. Néanmoins, petite question à l'exercice 2 : Pourquoi ne peut-on pas développer directement en série entière 1/u^2-1 avant de faire le cdv u=1/v ? Merci d'avance
Pour la deuxième integrale, on pouvait poser 1+t = exp(u), puis faire apparaitre 1/(1-exp(-u)), que l'on développe en série entière, on intervertit la somme et l'integrale (on utilise les gros théorème d'analyse en spé), et on tombe sur le résultat plus rapidement.
Pour la deuxième intégrale, comme je n'aime pas manipuler des séries plus que nécessaire, je commence par remarquer que integrale de log(x)/(x^2-1),x=0,1 est égal à intégrale de log(x)/(x-1),x=0,1 moins integrale de x*log(x)/(x^2-1),x=0,1 dans la seconde intégrale on fait le changement de variable u=x^2, à la fin on se retrouve avec 3/4 fois integrale de log(x)/(x-1),x=0,1. Soit on sait que cette dernière intégrale vaut Pi^2/6 soit on se tape le développement en série entière pour montrer que cette intégrale est égale à zeta(2). Mais il faudra bien admettre une valeur à un moment donné.
Pour la seconde intégrale c'est un changement de variable important à connaître u=1/(1+x) qui permet de ramener l'intervalle d'intégration [0,infini] à [0,1]. Les changements de variable u=x/(1+x), u=x/(1-x) et surtout u=(1-x)/(1+x) sont, selon moi, indispensables à connaître. Le dernier changement de variable laisse invariant l'intervalle [0,1] et u=(1-x)/(1+x) implique x=(1-u)/(1+u).
Pour la deuxième intégrale votre justification de la continuité de l'intégrande en 0 est un peu fausse me semble-t-il. la fonction x->log(1+x)/x peut être prolongée continûment en 0 car la limite en 0 de cette expression est égale à un nombre dérivé (celui de la fonction x->log(1+x) en 0 c'est-à-dire que ce nombre dérivé est 1) et le facteur 1/sqrt(1+x) n'a pas de problème de continuité sur l'intervalle [0,infini]
Pour l'intégrale 1/(1+x^2)^2,x=0,infini, on commence par couper l'intégrale en deux, sur l'intervalle 0 à 1 et sur l'intervalle de 0 à l'infini dans la seconde intégrale on fait le changement de variable u=1/x, ce qui veut dire que la seconde intégrale vaut intégrale de u^2/(1+u^2)^2,u=0,1 et la première intégrale est égale à, intégrale de 1/(1+x^2),x=0,1 moins l'intégrale de x^2/(1+x^2)^2,x=0,1 ce qui veut dire que l'intégrale initiale est égale à intégrale de 1/(1+x^2),x=0,1 qui vaut Pi/4 par un calcul simple de primitive. La technique dans le début de mon message est ultra-classique dans ce domaine-là.
Des techniques de calcul d'intégrales il en existe tellement que ce serait fastidieux d'en faire la liste et je pense qu'elle ne serait jamais exhaustive. Une technique usuelle qui n'est pas mentionnée dans votre vidéo mais très utilisée: l"introduction d'un paramètre.
Salut, on a un théorème de cours sur les intégrales impropres qui permet l’échange série intégrale (même avec une borne infinie), je ne comprends donc pas l’intérêt du changement de variable u=1/t. Peux-tu m’éclairer ?
La série ln(1+t) = ∑ (-1)^(k+1) t^k / k converge uniquement si |t|<1 ou t=1 or t varie entre 0 et +∞. En revanche avec le changement de variable u=1/t, on aura u entre 0 et 1 donc la série sera convergente.
Un débat passionant dès le début de la vidéo : une suite est-elle un objet dynamique ou objet statique ? Je vous renvoie à cette vidéo ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-bPm71S8oQcQ.html&pp=ygUQamFjcXVlcyB2YXV0aGllcg%3D%3D (à partir de 10mn15) qui explique le problème ou à la page wikipédia concernant les systèmes dynamiques.
Bonjour, merci. J'utilise une tablette graphique XPen et ensuite je travaille sur Word en m'enregistrant sur OBS. Pour le montage, c'est Wondershare Filmora.
ON peut le faire d une maniere tres simple d utiliser la formule des differences finis d une fonction et puit aplique la formule generale pour la composition n ieme de cette operateur et puit remarque que apres chaque composition le degre du polynome obtenue diminue de 1 dans ce cas on peut expliciter les coefficient
Égalité ssi c'est vrai pour P = X^k; de proche en proche on trouve que (a_k)=v est solution si cest la solution de Av =b avec A de type Vandermonde V(0,1 2,....,n-1) et b = (1, n, n^2, n^3,..., n^(n-1)). A est invertibl, donc v solution existe. En plus on trouve que a_k = (n sur k) (-1)^(n-k-1)
Il y une erreur à 3;38 on ne peut affirmer que l=1 est absurde car ce serait mal comprendre la notion de limite , prendre un = 1+1/n+1 qui tend vers 1 sans jamais "l'atteindre"
@@paol3642 l va être supérieure ou égal à 1 et on pourrait raisonner pa l'absurde dans le cas l = 1 pour conclure mais on ne peut pas conclure directement comme il l'a fait
Bon, u(n+1)=u(n)+ln(u(n)) Tu peux l'écrire comme un encadrement : u(n)+ln(u(n))<=u(n+1)<=u(n)+ln(u(n)) Supposons u(n) tend vers l fixé dans R Alors u(n)+ln(u(n)) tend vers l+ln(l) Par theoreme des gendarmes, on a u(n+1) qui tend vers l+ln(l) Or on a supposé que u(n+1) tendait vers l (j'avais posé u(n) tend vers l mais ça implique u(n+1) tend vers l évidemment) Donc par unicité de la limite l=l+ln(l) Maintenant tu sauras pourquoi on peut passer à la limite dans les égalités ^^
La suite est croissante donc la limite est supérieure ou égale à u0 qui est strictement supérieur à 1 donc l > 1, ce n'est pas un passage à la limite dans une inégalité stricte qu'il a fait (je t'accorde qu'il est peut être passé un peu vite sur la justification)
On a clairement Un+1~Un. On à (Un+1-Un)/ln(Un) = 1 On regarde I_n = integrale (Un à Un+1) de 1/ln(t) On a, par décroissance de x|->1/ln(x): (Un+1-Un)/ln(Un+1) < I_n < 1 Or le terme de gauche tend clairement vers 1, car ln(Un+1)~ln(Un) Donc I_n ~ 1 En sommant pour n = 0 à k-1, par sommation des relations de comparaison (au programme de SPÉ), on a: Integrale (U_0 à U_k) 1/ln(t) ~ k Par IPP, et par intégration des relations de comparaisons, on montre que l’intégrale est équivalente en + inf à Uk/ln(Uk) D’où Uk/ln(Uk) ~ k, puis Uk = ln(Uk)*k + o(ln(Uk)*k) D’où, ln(Uk) = ln(ln(Uk)) + ln(k) + o(1) Or ln(ln(Uk)) = o(ln(Uk)) et o(1) = o(ln(k)) D’où, ln(Uk) ~ ln(k) Ainsi, Uk ~ ln(Uk)*k ~ ln(k)*k.
Pourquoi on peut composer à gauche par la racine à la fin. Normalement on a pas le droit mais j’imagine qu’il y a un sous entendu que maîtrisent les MP
Bonjour, en calculant (AB)^2 on remarque que c'est égale à AB + 2 I ensuite on multiplie par B à gauche et par A à droite dans l'égalité ce qui fait apparaître un polynôme annulateur de BA qui est scindé et à racines simples d'où le fait que BA est diagonalisable.
Oui parfait ! On peut même observer que C = AB + I est une matrice qu’avec des 1 donc de rang 1 (dim(Ker(C))=2) avec la somme des lignes toutes égales à 3. Ce qui signifie que C est diagonalisable avec X(X-3) comme polynôme annulateur et donc AB est annulé par (X+1)(X-2) = Xˆ2 - X - 2. Cela permet de retrouver ce que vous aviez remarqué sur (AB)ˆ2 sans avoir à le calculer. Moralité : Si on cherche à calculer les v.p. ou à diagonaliser une matrice A, ne pas hésiter à faire ce travail sur la matrice A + aI si c’est plus simple car les v.p. seront juste décalés (et les espaces propres aussi) PS: Toutefois la méthode présentée dans la vidéo apporte énormément de renseignements et est donc très utile pédagogiquement.
@@Vincent1971Tlse Si si c’est complètement vrai tu peux vérifier si tu ne me crois pas. De plus ton argument n’a aucun sens, avoir deux matrices différentes peuvent complètement avoir meme polynome caractéristique, semblable ne veut pas dire égal..
