¿POR QUÉ L=2πR ? No querrás saberlo 😈. Longitud de una circunferencia. Demostración. 

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Es lo máximo, Qué gran profesor, Estoy muy emocionada por la explicación, Desde principio a fin toda su energia me impactó,Que tenga muchas grandes satisfacciones!!!!!!

Nunca había visto una demostración así, es fabuloso motiva mucho

Hay un problema en el minuto 24:28. Dices que si sen(t)=1, entonces t=pi/2. Pero no puedes utilizar pi porque pi es la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro, que es lo que estamos buscando.

Muchas gracias Juan por intentar hacer que la Matemática sea sencilla y comprensible, pero está fórmula que creo que todos sabemos no la entendemos por explicarla así. Hace más de 15 años que he dejado la enseñanza como segunda ocupación una vez jubilado y a los alumnos que habían terminado su carrera universitaria y les daba un master, les intentaba inculcar que razonasen y lo peligrosa que les podía resultar su lógica, para ello les ponía un problema de la circunferencia y en 10 años solo un alumno encontró la solución. El problema te lo brindo porque de esa manera comprenderán los alumnos la maravilla del numero Pi y su relación entre la longitud de la circunferencia y su radio. En su momento creo que en el 1990 lo puse en Internet. La propuesta es tomar un balón de baloncesto y tomar una cuerda y atarle para conocer la longitud de su circunferencia una vez determinada ( más o menos 1 metro, no es necesario el valor) cortamos la cuerda y le añadimos una cantidad cualquiera que llamaremos m con esta nueva longitud hacemos una circunferencia alrededor del balón separada uniformemente de él, lo mismo le hacemos la tierra ( sabemos que es aproximadamente 40.000.000 m.) y le añadimos la misma cantidad que al balón y volvemos a ponerle el cinturón ampliado y lo separamos uniformemente de la tierra y por último se lo hacemos al sol (cuyo diámetro 1.392.700.000 m *2*3.14 será la longitud del cinto que le abrochemos) y le añadimos el mismo tramos que al balón y se lo volvemos a poner de forma que este separado por igual en todo el contorno. La pregunta es ¿ que podrán pasar entre el balón y su nuevo cinturón, lo mismo con la tierra y lo mismo con el sol? ¿Podrá pasar alguna bacteria en todos, una hormiga, un gato, o que es lo máximo que puede pasar en cada uno de los tres etc.? Un abrazo Juan espero que te guste, algo basado en el mismo concepto pero con otro planteamiento encontré una vez jubilado en un nuevo libro de problemas de primero de física de facultad de Burbano Ercilla y su hija, el fue profesor en la facultad de Zaragoza

Sr. Profesor Juan: excelente la forma en que explica su clase. Lo hace todo muy sencillo. Me hubiese gustado haber tenido un profesor como UD cuando hice el secundario al comienzo de la década del 60. Felicitaciones Sr Profesor con mayúscula.

En realidad el conocimiento de esa fórmula es muy anterior al cálculo infinitesimal e incluso de la trigonometría. El radíán por ejemplo se define a partir de la longitud de la circunferncia de radio 1. De hecho todo se basa en que es el número pi el que se define a partir de la longitud de la circunferencia y no al revés. La demostración clave era demostrar que la relación entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia es un valor constante al que luego se le llamó pi. Esa demostración se supone que la completaría Arquímedes a partir Euclides que lo hizo con el area del círculo, e incluso obtuvo alguna aproximación del número pi. Muchas otras culturas incluso anteriores conocían también esa relación que no deja de ser algo bastante visualmente evidente aunque lo que más podía diferenciarse entre ellas era la aproximación del valor que lograron aproximar.

Maestro es usted excelente,que maravilla que comparta este contenido tan importante e interesante,le agradezco

wow, la mejor explicación que he visto en mi vida de por qué la longitud de un circulo es 2πR, yendo desde la aritmética, geometría, cálculo diferencial e integral para definir la respuesta paso por paso de una forma increíble.

¡Magistral! 👏👏👏👏 Estaba "oxidado" sobre ciertos conceptos, pero cuando has empezado a medir con el rotulador, ya adiviné que todo iba encaminado al cálculo diferencial y de ahí a la suma de infinitos términos, es decir, al cálculo integral (Bendito Piskunov).

Excelente, las demostraciones son lo mas hermoso de las matemáticas y aparte la única forma de entender 😊

Saludos Juan. Cuando se postuló la fórmula del largo de la circunferencia, entiendo q no se había inventado el cálculo diferencial. Por tanto , la explicación de L sin cálculo debe ser la suma de todos los ^L (delta L) los cuales se acercarían a Pi Podrías presentar o probar la fórmula sin cálculo integral. Gracias IBZAN

Profesor Juan, como dices, es una MARAVILLA, cuan hermoso es el conocimiento de las cosas. Dios te pague, yo ahora no puedo colaborar económicamente contigo, pero en verdad que lo haría con muchísimo gusto, tal vez más adelante lo pueda hacer. LO FELICITO, ERES LO MÁXIMO ! UN AMIGO DESDE VENEZUELA .................. Manuel.

Cuando a alguien le apasiona su trabajo o lo que hace, lo hace más fácil y Feliz, gracias por las enseñanzas, bien entendible paso por paso, así deberían de ser todos lo que enseñan en las escuelas en Guatemala

Profesor Juan me encanto el video , la explicación veo mucho tus clases , un fuerte abrazo.... Saludos

Y no es más fácil decir que la definición empírica de pi es L/D? Porque en realidad para decir que sen t =1 ; t = pi/2 has tenido que usar esta definición. Ya que al decir que 2pi equivale a 360° estamos usando la definición empírica de pi (L/D =pi). Por qué de dónde viene que sen pi/2 =1????

Que bonito. Muito legal a demonstração. Quase um milagre. Perfeito. Parabéns!!

Simplemente impresionante. Es maravilloso el conocer y entender de donde vienen estos conceptos que damos por hecho. Gracias.

Felicitaciones profesor Juan. El mundo en lugar de estar repleto de tanto polítiqueros repuercos y rebrutos, deberían tener más mentes brillantes como la suya.

Buenísimo. Muchas gracias. Espectacular la demostración.

me ha gustado mucho el camino de la demostración, tiene mucho aprendizaje entre medio! pero la ecuación la deduje mirando la circunferencia y el concepto de radian, en un minuto! pero me ha encantado el camino escogido! es una repaso a mil cosas!!

Buen día, Excelente video, podría hacer una explicación de los fractales y el conjunto de Mandelbrot

Excelente explicacion y da mas apertura a enterderlo... gracias

La integración en coordenadas cartesianas es relativamente pesada, si se plantea en coordenadas polares es casi inmediato. En coordenadas polares r=R sería la ecuación de esa circunferencia. Como: x=Rcos(q) y=Rsin(q) Tenemos que pasar ahora sí o sí por el teorema de pitágoras con: dx=-Rsin(q)dq dy=Rcos(q)dq Y claro, es necesario pasear un poco por derivadas y explicar el asunto del diferencial como hiciste. Luego: L=∫√dx²+dy² Que pasa a ser: L=∫√(R²cos²(q)+R²sin²(q))dq=∫√R²dq Como R>0 L=∫Rdq Y ahora integramos para la circunferencia completa, o sea ángulo q de 0 a 2π radianes. L=Rq = R(2π-0) = 2πR

Excelente Juan muchas gracias x la explicación de deducir la fórmula de la longitud de una circungerencia

Puedes demostrar de donde sale el valor de la constante "pi"= 3.1416

Podrías hacer un video sobre integrales de linea, como calculadora y para que se utilizan?

Saludos Profe Juan desde Mérida-Venezuela, excelente demostración. Gracias por compartie tus conocimientos.

Muy buen video Juan, para repasar cálculo y para ver cómo transformar un problema geométrico en uno de cálculo diferencial!

Juan..eres un muy buen profesor matemático .para mi el mejor que tuve...lastima no te conocí antes..tengo 80 años..

Excelente, vídeo me encanta. Penoso que han comentado criticando el vídeo con un sentido pedantoso, expresado que saben matemáticas también

muy bacano su desarrollo, gracias !!!! me encanto la sencillez como maneja el asunto, la pregunta es hay un método mas intuitivo que no use calculo?

Lo que se ha hecho es demostrar la fórmula para calcular la longitud de una curva, no necesariamente una circunferencia... Aunque a los fines educativos es muy útil, la demostración es correcta pero innesesaria ya que en la antigua Grecia esto ya se lo sabia muchisimo antes de que newton, Leibniz y compañía sentarán las bases del cálculo,... No es necesario demostrar nada, solo basta pensar de dónde viene Pi. Es solo la razón entre el perímetro y el diámetro. Es decir pi=P/D... Pero sabemos que el diámetro es igual a dos veces el radio, entonces pi=P/2r. ... Solo basta despejar P para que nos quede que P=2.pi.r.

Felicitaciones desde Venezuela profesor Juan muy clara y concisa su demostración explicada de una forma muy sencilla, esto explica porque en ningún libro secundaria aparece de donde proviene dicha formula

Estupenda demostración Juan!! Muchas Gracias !! Saludos desde Chile!

Esta es una explicación recursiva. Ya que solo resulta si se cree que el valor del cálculo trigonométrico está en relación a pi y ya ahí está entramado. Basta con decir cuál es la definición de pi sin demostrar el valor de pi para saber porque L es 2πr dónde se establece que la relación entre la circunferencia y el diámetro es pi (sin decir cuánto es pi) y por definición de el diámetro y radio se calcula que L es 2πr y ahí queda solo saber cuánto es pi pero eso es otro asunto.

Estimado Juan, no entendí como metes incremento de X dentro de la raíz elevándolo a la segunda potencia? podrías orientarme por favor, saludos

Muy guapo el video, me queda la dudilla, de si diferencial de x, es el número de veces que hay que poner la nanomicropicoregla de valor diferencial de y, cuando de aproxima al valor del arco comprendido, para hallar el valor de la longitud de la semicircunferencia. Muchas gracias, un saludo.

Esta "demostración" es un círculo virtuoso, en ella vemos que todo cuadra, pero en realidad no demuestra la fórmula, pues al poner los límites en el cambio de variable estamos usando la fórmula que pretendemos demostrar.

Listo, Esa demostración esta genial, ¿Podría intentar para obtener una expresión analítica para una elipse?, ¿Como resolvio Kepler su segunda ley, si tener una expresión analítica para el cálculo de la longitud de un segmento de una elipse?, De antemano, Gracias profesor 🤝🏻

Excelente explicación profe, saludos desde México

Juan, es muy clara la logica que seguis. Una duda: al hacer el cambio de variable debes cambiar los limites de integracion.. Hasta ahi muy bien. Pero definis los limites en funcion de que la longitud de la circunferencia en 2 PI R ....que es lo que querias demostrar.; En min 29 decis seno T = 1 implica T = pi /2 Dicho de otra forma: si definis sen 90grados = 1 te creo....es por definicion de seno. Pero lo cambias a radianes....y alli esta implicita la longitud de la circunferencia..

Cuando llegaste a la parte de la integral definida, la resolví por mi cuenta de otra manera, sin cambios de variable ni nada así por el estilo. Lo que hice fue simplemente hacer algunos trucos para llegar a una integral de la forma du/sqrt(1-u^2), y lo resolví directamente con arcoseno. Me pareció excelente la demostración, la parte más fácil es resolver la integral, pero para poder llegar a esa integral sencilla, hay que tener mucha imaginación. Saludos y muchas gracias por compartir tu conocimiento.

Excelente Juan!!! También se puede demostrar esta fórmula mediante el concepto de límite.

Tiene razón Profe Juan. Maravillosa demostración.

MUY MUY CLARA EXPLICACIÓN MUCHAS GRACIAS!!!! Profesor por naturaleza!!!’nnnn

Excelente, me gusto mucho la demostración. Definitivamente complejo el asunto. Muchas gracias!!

Juan creo entiendes bien las matemáticas 😅😅 que envidia ! Voy poco a poco aprendiendo tengo 52 años ! Soy Bioquímico enamorado de la física !

¿Cómo se puede usar pi si su definición es la relación entre la circunferencia y el radio? no se puede usar lo que queremos encontrar en la formula porque se condicionaría el resultado, no?

Saludos maestro juan que bonita clase esplicar de donde bienen las operaciones ...siga enseñando maestro...

La fórmula L=2*pi*R no necesita demostración ... viene de la definición del número pi, ya que de define como la proporción entre la longitud de una circunferencia y su diametro

Hola Juan acabo de verlo. Me gustó. No se puede resolver con limite? Se me ocurre con triangulos como los de lado delta L y vertice en el centro de la circunferencia. Haciendo una sumatoria en la que al achicar los triangulos te de como resultado la longitud que estas buscando. Seria más apto colegio, aunque es probable que este equivocado.

Gracias, despues de muchos cursos de cálculo diferencial e integral porfin logré entender se relación

Alguna recomendacion de libro de calculo diferencial e integral que sea intelectualmente asequible?

Excelente JUAN, muy clara la explicación.

No sé si entiendo bien el cambio de variable que se hace. Creo entender que si no se hace aparecerían divisiones por cero y no se podría resolver, y una forma de evitarlo es utilizando el cambio de variable con expresiones trigonométricas, ¿es así?

Podria hacer un video de las ramas de las matematicas que hay y tambien reconosco todo el trabajo duro que hace y gracias por subir todos esos videos

Juan, he seguido tu explicacion atentamente y tienes razon, no es para alumnos del secundario.Lo que me ha llamado la atencion y te pido disculpas por tocar este tema personal pero que quizas te sirva, es la pequeña protuberancia que tienes en el labio inferior del ojo izquierdo y la mancha negra que se encuentra muy cerca de alli.Si es que aun no lo has considerado ,convendria que visitaras al Oftalmologo.Me disculpo nuevamente por esto y buena suerte y muchas gracias por tus videos.

Maestro Juan, excelente, lo entendí, muchas gracias.

Que hermosa demostración han sido los mejores 30 minutos y más grande profe es el mejor por eso voy a estudiar un lic. En mate me encanta las demostraciones Dios lo bendiga es el mejor

Supe ver una demostración de la longitud de la circunferencia, empleando un sector circular y empleando Pitágoras. ¿Podrías hacerlo Juan? Maravilloso lo tuyo. Saludo desde Argentina.

Es correcto lo que hace ,PERO MUY COMPLICADO , basta tomar un arco muy pequeño ds , que abarca un angulo muy pequeño dw , y por teorema proporcion arco/angulo , ds =R*dw ; s =L = R*Integral(dw) de 0 a 2pi =2piR, y se acabò cierto que partimos de que ds/dw =R , teorema demostrable en calculo , al igual que lo es el teorema de Pitagoras que aplica en su demostracion , tambien correcta, pero muy larga

Excelente explicación, no obstante quiere decir que la longitud de la circunferencia recién se pudo demostrar después de la invención del cálculo infinitesimal.?

Excelente, lo felicito profe por su gran paviencia ...si

Me gustaría saber mucho acerca de funciones vectoriales como surgen

Disculpa el atraso en responder, recién vi el video. Impresionante la demostración. Pero no explica de donde sale PI . En la escuela se hace un experimento lindo : se relaciona el diámetro con la medida de la circunferencia y como tu dices, se corta la circubfere6y se compara con la longitud del diámetro ( 2R) y se observa que son 3 D y y trocito y que esa relación se cumple siempre en cualquier circunferencia, ese trocito es una constante inconmensurable ( un irracional) y eso muestra de donde salió esa fórmula. Tu dirás que es física, de la mina manera que cuando tu con el marcador formaste segmentos cada vez más chicos entendiendo a la circunferencia como un polígono de infinitos lados.

Tremendo trabajo didáctico!!! Felicitaciones desde Venezuela. Eres excelente

Buenas tardes, me ha ayudado un monton el video, pero hay una cosa que no entiendo para nada, y es como de la derivada de t, pasas a [(π/2) -(-π/2)]. Muchas gracias

Hay una duda que he tenido por mucho tiempo y me gustaría que pudiera explicarla ¿Qué son las funciones geométricas y las funciones hipergeométricas? ¿Cuál es la razón de que se denominen así?

hermosa demostración de la formula del perímetro de la circunferencia.

Excelente demostración, gracias!

Gracias Profe..!! Brillante..!!!

Espectacular Profe..... no recordaba cómo era......creo que alguna vez me lo enseñaron en la facu......Ud notó algo? lo increíblemente perfecta que le salió dibujada la semicircunferencia a los 4:07 min !!!! jaja parece hecha con un compás..... un saludo de su seguidor desde Buenos Aires.... PD me estoy "empachando" de sus videos..... uno mejor que el otro

En primària y secundaria se explica que el número pi es el resultado de dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro. Si se aísla la longitud, esta pasa a ser, pi por el diámetro, es decir, pi por el doble del radio. Esta demostración con integrales se hace en segundo de bachillerato como aplicación de la integrales. Yo lo veo más como una comprobación que una demostración en si mismo.

hola Juan!,muchas gracias, yo era un alergico a las matematicas cuandi estaba en la escuela secundaria me he perdido disfrutar de ellas pero con tigo he aprendido a gozar de aprenderlas

Cuando π/2

Hola solo tengo una duda . por que supuso que X/R = sen t ? por que precisamente esta suposicion?? Gracias

Juan, eres un MAQUINON !! ENHORABUENA !!!!

sos un genio !!!! el mejor profe de RU-vid

Muy bien. Excelente refrescar conocimiento

Genial Juan muy didáctico y divertidisimo explicando

que amables son los matematicos simplificando tanto calculo en una formula tan sencilla

Fascinante. Didática muito boa

Hola profe, gracias por la explicación, me encantó. Un beso desde Argentina.

Excelente demostración!!!!!!! Eres un genio maestro , saludos

Muy ameno llegar a Roma dando un rodeo: Madrid - Via Tokio - New York - Londres - Madrid - Roma. Cuando la definición de Pi es: Pi = L (longitud de la circunferencia) / D (diámetro de la circunferencia), Pi = L / D; L = Pi * D; y D = 2 * R (radio circunferencia); L = 2 * Pi * R. Salu2

Disculpa no entiendo el paso donde incremento de x divide a lo que está dentro de la raíz pero ese incremento porque es al cuadrado

Genial demostración Juan, gracias. Saludos cordiales

Hace mucho que dejé los estudios 1977 y como m Maestría Industrial Rama Eléctrica ( la electricidad es que todo matemáticas) que hice, nunca me habían explicado de dónde salía matemáticamente la L=2"pi"R. Derivadas, Diferenciales y mucha trigonometria tuve que estudiar en la Asignatura de Tecnología Eléctrica. En la primera evaluación (entonces teníamos 5) de esta asignatura era Trigonometria Diferenciales y Derivadas. La electricidad la cogí más a gusto por las matemáticas. Agurrak y Osasuna=Saludos y Salud

Muy claro y conciso, buen video 👍🏻

Esta demostración me hizo recordar el problema de cuadrar una circunferencia. ..llevo siglos ver que no se puede usando regla y compás. Por lo que si lo vemos desde un punto de vista más simplista, la relación entre la longitud de una circunferencia y su radio es el número pi, osea una de las constantes más enigmáticas que hay.

Grande maestro!!!!! Muy completo..

explica súper bien con animo

La magia aparece con las identidades trigonométricas. Si no tienes claro ese concepto no haces el reemplazo de R/X por sin t. Muy buena explicación.

Genial profesor, impecable como siempre, pero me acaba de asaltar una duda. Porqué sabían los griegos esta fórmula si no conocían el cálculo infinitesimal, ni el cálculo integral?. Siempre me dijeron que ARCO=ÁNGULO*RADIO, y solían decirme los profesores que eso era así por definición pero. De dónde viene la definición?, he experimentado y no me queda muy claro porque mi transportador de ángulos es impreciso. Podría aclararme eso?. Muchas gracias de antemano profesor Juan. Un saludo.

Una demostracion fantástica nunca la habia visto, sinceramente genial

Qerido Juan: de manera excepcional y con mi mejor intención, me vas a permitir una corrección: No se dice "a grosso modo", sino "grosso modo", o sea, sin preposición. Un saludo :) Por cierto qe mencanta Euclides.

Juan te felicito, mil gracias!!!! Ahora queremos saber cómo calculo el número pi.....

Me encanta saber de donde vienen las fórmulas. Que no es algo que sale de casualidad.

gracias Alba y gracias Juan