ОГЭ по математике Задание 21. Прототип №324502. Решите систему уравнений. Поддержать Проект: donationalerts.ru/r/valeryvolkov Мои занятия в Скайпе: id224349278 Новая Группа ВКонтакте: volkovvalery
Нельзя короче. Наши "эксперты" считают, что все надо расписывать, они же ленятся сами считать. Берут бланк с ответами и просто читают твое решение. Если они сами не поняли, как ты получил этот ответ (тупенькие), то виноват в этом еще и ты. Короче, недосочинение.
Vladimir D только что Мне кажется можно было бы попроще: второе умножить на 2 и сложить с первым получаем квадрат суммы, затем вычесть из первого - получаем квадрат разности. Извлекаем корни - получаем модуль суммы и модуль разности а затем складываем и вычитаем и мгновенно получаем все четыре решения. Мне кажется так изящней.
Пришло в голову такое решение: можно возвести в квадрат обе части второго уравнения и найти пару чисел, которые в сумме дадут 37, а произведении их будет 36. Это 36 и 1. Как уже было замечено, уравнение симметричное. Берем корень и получаем пару чисел - ±6 и ±1. Соответственно, ответ: (6; 1), (1; 6), (-6; -1), (-1; -6). Как по мне, такое решение более элегантно, чем другие предложенные. Не обессудьте, если были ошибки, я только вчера пошел в детский сад.
Alternate method: after you find (x+y)^2 = 49, do something similar to find (x-y)^2 xx - 2xy + yy = (x -y)^2 = 37 - 2*6 = 25 x + y = +- 7 x - y = +- 5 add the two equations to get: 2x = (+-7) + (+-5) This yields four possibilities, 2x = -12, -2, 2, 12, which means x = -6, -1, 1, 6 using xy=6, it is trivial to solve for y And then you have your 4 solutions
меня конечно закидают тазиками истинные математики но я решил его всего в 3 действия: вычел из левой части первого уравнения 2xy а из правой 12. из полученного квадрата разности извлек корень и получил модуль подумал когда у нас два числа дают в сумме +-7 а при перемножении 6. - по сути это почти то же самое что решение теоремы виета только без дополнительных 5 шагов со всеми этими системами )))
Прибавляем к 1-му 2-ое умноженное на 2. Получаем х^2 + 2ху + у^2 = 37 + 13. (х + у)^2 = 49 х + у = +-7. Ну и по теореме виета, х и у легко можно переставить местами можно найти, что х = 1, у = 6. х = - 1, у = -6. Ну и наоборот. Всего 4 пары
Заметим, что x и y - взаимозаменяют друг друга. Методом подбора получаем пару 1 и 6, замечаем, что отрицательные их пары дают такой же результат. Методом подбора получаем пары плюс-минус 1 и 6 и плюс минус 6 и 1. Заметим, что ОГЭ по математике проще, чем ЕГЭ, поэтому усложнений быть не должно. Задача решена методом замечательного подбора.
Ребята, вы тут, наверное, все умные такие. Я так вообще, не ни разу не математик. Бабуля 60+, которая начала вязать на пенсии. В ютубе смотрю всякие повязушки...и вдруг вижу в рекомендуемых пример на Вашем канале. Заинтересовалась. Посмотрела Ваше об'яснение. Ничего не поняла, но интересно. И думаю, зачем городить тёмный лес.!? Пример то простой. За минуту простым подбором вижу 6 и 1 что с +, что с минусом. Есть, конечно у Вас и сложные задачи... интересно стало на старости лет. Всем всего доброго 🌞
Решение уравнения требует не только нахождения подходящих корней, но и доказательства того, что другие отсутствуют. Можно подбором найти всевозможные решения, но если не доказать отсутствия других тем или иным способом, то решение не будет являться математически строгим.
В начале можно прикинуть какие уравнения входят в систему. После небольшого преобразования первого уравнения получим: x² + y² = (√37)² Графиком такого выражения является окружность с центром в точке 0, 0 и радиусом величиной √37. Теперь немного преобразуем второе уравнение: y = 6 • (1/x) Графиком этого выражения является масштабированная гипербола, ветви которой расположены в 1-м и 3-м квадрантах. Решением задания являются точки пересечения этих графиков. Всего возможны 3 случая: 1) Графики пересекаются в 4-х точках - 2 точки пересечения будут в 1-м квадранте и 2 точки пересечения в 3-м 2) Точек пересечения всего две - это когда графики касаются друг друга - одна точка касания будет в 1-м квадранте и одна в 3-м 3) Точек пересечения нет. Так будет в том случае, когда радиус окружности будет мал. Тогда окружность не достанет до ветвей гиперболы. Ближе всего к началу координат гипербола будет, когда значение x будет равно значению y. В этом случае удаление ветви гиперболы от начала координат будет равно √6 (примерно: 2,5), что значительно меньше радиуса заданной окружности √37 (это > 6). Из этого следует, что имеем 1-й вариант - должны получиться 4 точки пересечения графиков. Способов решения данной задачи великое множество. Можно решать так. Возведём обе части второго равенства в квадрат. Равенство от этого не изменится. x²y² = 36 Тогда: y² = 36 / x² Подставим полученное значение y² в первое выражение, перенесём всё в левую часть: x² - 37 + 36/x² =0 Умножим всё уравнение на x²: x⁴ - 37x² + 36 = 0 Сделаем замену переменной: t = x² Тогда равенство перепишется в виде: t² - 37t + 36 = 0 Откуда (решая квадратное уравнение) получаем 2 корня : t1 = 1 и t2 = 36 Делаем обратную замену и получаем 4 значения x: x = √1 x = √36 --------------------------------------------------------------------------------------------- x1 = -1 x2 = 1 x3 = -6 x4 = 6 Подставляем полученные значения x в первое равенство и получаем 4 соответствующих значения y: y1 = -6 y2 = 6 y3 = -1 y4 = 1 Ответ: (-6; -1), (-1; -6), (1; 6), (6; 1).
Напрашивается более простой способ. Так же как вы получили уравнение (х+у)^2=49 можно получить второе уравнение (х-у)^2=25. После извлечения корней имеем дело уже с системой линейных уравнений х+у=±7, x-у=±5. Дальнейшее элементарно. Например сложением этих уравнений найдем все значения x, а вычитанием все значения y.
@@sashanevatos1403 С удовольствием! Итак, по шагам: 1) Складываем первое уравнение с удвоенным вторым: х^2+2xy+у^2=49. В левой части уравнения угадывается квадрат суммы (х+у)^2=49. После извлечения корня квадратное уравнение заменяется линейным х+у=±7. 2) Вычитаем из первого уравнение удвоенное второе: х^2-2xy+у^2=25. В левой части уравнения угадывается квадрат разности (х-у)^2=25. После извлечения корня квадратное уравнение заменяется линейным х-у=±5 3) Итак наша система принимает вид х+у=±7, x-у=±5. Складывая эти уравнения, получим уравнение для x: 2x= ±7+ ±5, откуда x= (±7+ ±5)/2 Вычитая второе уравнение из первого, получим уравнение для y: 2у= ±7- ±5, откуда y= (±7- ±5)/2. 4) Поочередно перебираем знаки в выражениях x= (±7+ ±5)/2, y= (±7- ±5)/2 получаем 4 пары решений: {x=6, y=1}; {x=-1, y=-6}; {x=1, y=6}; {x=-6, y=-1}
@@stvcia Всё очень красиво, но фраза "поочерёдно перебираем знаки" ломает строгость на финальном шаге. Это даёт 4х4=16 комбинаций, в том числе не являющихся решениями (например: {1,-1}, {6,6} и др.)
А можно рассмотреть квадрат суммы и квадрат разности, при этом получим интересную, линейную зависимость: x+y=|7| и x-y=|5| Так же система однозначно симметрична, то есть x_i=y_j
У вас ошибка. Не x+y=|7| и x-y=|5|, а |x+y|=7 и |x-y|=5. А то получается, что модуль вообще не нужен, потому что |7|=7, а |5|=5, и ещё идёт потеря половины корней.
На самом деле, можно с помощью теоремы виета. Представим, что X и Y это корни квадратного уравнения, и с помощью теоремы виета мы можем вычислить сумму квадрат корней квадратного уравнения. Это будет p^2-2q (p-это второй коэффициент, а q-свободный член) XY это будет q. У нас получится система : p^2-2q=37 p^2-12=37 q=6 q=6 Получаем что p^2=49=>p=7 и p=-7 То есть, мы получили что второй коэффициент и свободный член квадратного уравнения соответственно равен (7 и -7) и 6 После подстановки мы получим две квадратные уравнения которых можно решить по теореме виета. Получаем корни, и так находим решении системы.
Очень хорошое решение, пробовал и гораздо легче получается. Никогда не задумывался на счёт этого, так и с суммой кубов можно решать. И в правду красивое решение
Another way to solve (pleas ignore if this method has already been proposed. I haven't gone through all the comments): x²+y² = 37 -- (i) xy = 6 -- (ii) From (ii), we get: y = 6/x -- (iii) Using this in (i), we get: x² + (6/x)² = 37 x² + 36/x² = 37 we can multiply both sides by x² (because we know that x can never assume a value zero) to get: x⁴+36 = 37x² i.e, x⁴-37x²+36 = 0 i.e, (x²-36)(x²-1) = 0 i.e, x²=36 or x² = 1 i.e, x=±6, or x=±1 From (iii), we get the values for y. Hence the solutions: x = 6, y = 1 x = -6, y = -1 x = 1, y = 6 x = -1, y = -6
Очень сложный и долгий путь решения, непонятно зачем. Я решила за 2 минуты с мин количеством действий, вычтя из первого уравнения второе, умноженное на 2.
Я учусь в пятом классе в данном случае и у меня получилось решить пример, не смотря видео. x²+y²=37 xy=6 Рассмотрим возможные способы: 6=3×2, 6=6×1 Проверим сначала первый возможный способ: 3²+2²=9+4=13, а не 37, попробуем 6 и 1: 6²+1²=36+1=37, получается, что x=6, а y=1. Ответ: x=6, y=1 или x=1, y=6, а можно использовать отрицательные числа. Минус и умножение - это умножение, я смотрел кучу познавательных видео!
Спасибо. Но , можно чуть иначе . (1) x^2+y^2=37 ; (2) x*y=6 . Прибавляем и вычитаем удвоенное (2) к (1) . Получаем : (3) (x+y)^2=49 ; (4) (x-y)^2=25 . Получаем ЧЕТЫРЕ системы уравнений вида : (5) { x+y=a ; x-y=b } . Где (6) { a=+-7 , b=+-5 } . Решение системы (5) : (7) { x=0.5*(a+b) ; y=0,5*(a-b) } . Подставляем все ЧЕТЫРЕ варианта (6) в (7) , получаем Ваши ответы. ( хоть и у Вас легко). С уважением ,lidiy27041943
Можно было второе умножить на два, прибавить к первому, потом отнять от первого, в первом случае квадрат суммы, во втором квадрат разности, извлекаем корень и получим x+y=±5 и x-y=±7
Зачем решит трудным способом, когда можно из второго уравнения системы выразить одно переменное через другое и подставить в первое уравнение и решить. Решается легко . Спасибо.
Система из уравнений x+y=7 и xy=6 - это и есть теорема Виета. Нам уже дано, что произведение корней равно 6 и сумма корней равна 7 (или -7, в другой системе). Совершенно незачем преобразовывать это в квадратное уравнение, а потом решать по теореме Виета. Нам уже дана теорема Виета, корни легко угадываются, совершенно незачем преобразовывать её в квадратное уравнение. Вот если бы корни легко не угадывались, тогда был бы смысл теорему Виета преобразовать в квадратное уравнение и решить его через дискриминант(делённый на 4), а так - бессмысленное действие.
Не рационально. Я такое задание решал построением графиков и нахождением точек пересечения. Ведь сразу видно что первое это уравнение окружности, а второе гипербола. Ну просто такой способ сразу напрашивается
Есть ещё один способ решить, но увы, в данном случаи оно здесь не так красиво выглядит, т.к ничего не сокращается (метод решения в общем виде). x^2+y^2=b { xy=c выражаем из 2 ---> y=c/x, подставляем в 1 -------> x^2+c^2/x^2=b x^2+c^2/x^2=b замена: x^2=t t+c^2/t=b t^2-bt+c^2=0 ------------------- D=b^2-4c^2 ВАЖНО! ------------------- t1=(b+sqrt(b^2-4c^2))/2 t2=(b-sqrt(b^2-4c^2))/2 Вернемся к замене x^2=(b+sqrt(b^2-4c^2))/2 x1=sqrt((b+sqrt(b^2-4c^2))/2) x2=-sqrt((b+sqrt(b^2-4c^2))/2) x3=sqrt((b-sqrt(b^2-4c^2))/2) x4=-sqrt((b-sqrt(b^2-4c^2))/2) ну и далее просто подставить во 2 уравнение (при необходимости). ------ после чего в b и с подставляем нужные числа
Не впервые вижу у Вас сочетание "плюс_минус".Если это не в формуле корней квадратного уравнения или не в приближённых вычислениях, то это дурновкусие (простите за прямоту).
Ну элементарно же решается методом подбора, четыре пары из 1 и 6, с учётом того что - * - = +! Или простым выражением переменной из второго уравнения и подстановкой в первое! Зачем усложнять? Чтобы кто то на экзамене запутался?
Такие навороты девятиклассникам? Совокупность двух систем? Вы не шутите? Вот решение от пожилого гуманитария, давно забывшего, чему учили в школе. Для начала избавляемся от системы, то есть выражаем y как 6/x. Получаем: x^2+(6/x)*(6/x)=37 x^2+36/x^2=37 Дальше для простоты избавляемся от квадрата в знаменателе. то есть умножаем все на x^2: x^4+36=37x^2 Исключительно для простоты записи обозначаем x^2 как n: 36:n+n^2=37 Очевидно, что n может быть только целым числом и полным квадратом (или это надо доказывать?) и есть только два способа получить таким путем 37 из 36: либо n=1, либо n=36. Отсюда четыре корня.
Нашёл четыре вещественных пары и четыре комплексных. Просто решаете кВ. уравнение относительно xy и x+y, потом рассматривайте четыре системы.Разнообразных пар решений - 4, в остальных x и y просто поменялись местами. Вещественные пары корней: (sqrt3; -sqrt3); ((1+sqrt13)/2; (1-sqrt13)/2); Комплексные пары: (i; -i); ((1+i*sqrt3)/2; (1-i*sqrt3)/2);
Aliya Aldamova Для удобства. Если умножить(разделить) уравнение на одно и то же число, отличное от нуля, то получится эквивалентное уравнение. Однако не следует умножить или делить уравнение на переменную.
Для оф ответа бы добавил: х2 + у2 = 37 является окружностью с радиусом 37, центр которой находится в точке 0:0 второе уравнение преобразовывается до вида у = 6/х что дает нам гиперболу. Следовательно уравнение не может иметь более четырех корней. (схематичный рисунок) Следовательно если у нас есть 4 корня, которые подходят, значит они и только они являются ответом.
