Красивый подарок дочери! я как-то не додумался и решал с теоремой косинусов. Сумма высот, опущенных с точек А и С на BD как на основание двух понятных треугольников, равна в конечном счёте R(1+cosb), где b -- центральный угол между АО и продолжением высоты СО. Но по теореме косинусов AC^2 = 2R^2*(1+cosb) ...= 2S(ч.).
🎉 Берём кривоватый тортик на День Варенья, отрезаем от С перпендикулярно к АД и пристраиваем сверху. Так как угол ВСД прямой то получим ровно квадратный торт с диагональю 6 и площадью 18. Прошу к столу, вскипело... (С) Жванецкий.
А ведь это реальная история: неграмотные гости неверно нарезали торт, и для помещения остатка в квадратный контейнер (в холодильник) пришлось отрезать так, как завещал автор.
После док-ва того, что угол BDC=45, нужно треугольник BAC повернуть вокруг т.С до слияния BC и CD. В результате получится равнобедренный прямоугольный треугольник с двумя катетами по 6. С Днём Рождения дочери! Всяческих благ!
Все дело в том, что сумма высот, опущенных из точек В и Д на АС равна самой хорде АС по причине углов в 45 градусов. Этот факт легко доказывается, откуда искомая площадь равна 0,5х6х6=18.
Идея замечательная! Но мне не удалось очень уж легко доказать это факт. BB1 и DD1 - высоты, AB1=BB1, AD1=DD1. Но почему D1C=AB1? У меня это сложно получилось. Чего -то не вижу.
Спасибо. Не проще. Ученику важно показать как можно мыслить в общем, какова физика задачи. Это же математика. Решение задачи - не самоцель. Важно рассуждение. Как может 8-класснику придтив голову строить прямоугольник? Это же доп. построение, да еще за пределы. Вот, если дать даже вам эту задачу на листике с текстом без чертежа, то я думаю, если вы не знакомы с такой конфигурацией (разрезания такого 4-ка, а он хорошо известен), то вряд ли бы быстро вышли на прямооугольник. Обычно вначале пытаются решить внутри без доп. построений. Но, собственно говоря, именно это я и сделал. Но чуть другим путем. В вашем предожении много синтеза, знания конечного, опыта. У ученика этого нет. А площадь зарубежка через диагонали вовсе не знает. Рад общению.
типичный пример как бы неоднозначности задачи - раз оба вписанных угла опираются на дуги вдвое больше центральных углов по 90⁰ , то ВД - диаметр, ВС = СД, и ∠ВСД прямой. А вот далее мы можем ставить т. А куда угодно, углы все равно останутся по 45⁰, а длина АС выражена в у.е. Если расположить т. М прямо напротив т. С, получим квадрат с диагональю 6. Тогда ВС = √6²\2, и S = ВС² = 18. А если т. М будет чрезвычайно близко к т.В, получим почти треугольник, вроде S желтого уменьшится, но ведь и "цена" у.е. тоже, и что же - "в попугаях" мы получим тот же результат? S = ВС х СД\2 = 6 х 6\2 = 18. Валерий форева, как всегда. Кстати, просьба, Валерий, для тех комментаторов, кто хочет текстом написать свое решение , вы, в своем первом, авторском комменте к каждой задачке, не пожалейте 4 см строчки для копипаст общеупотребительских значков и символов, значительно упрощающих текст - писать - угол, треугольник, корень, в квадрате. градус значительно длиннее значка - можете понасобранные мною, можете свои 4²√4⊥45⁰ ½∠▲∆α β γ
С днём рождения дочку!) Я не увидел квадрата и решал чисто алгебраически. Начну с того места, где BC = CD с углами CBD и CDB равны 45°, поскольку до этого момента рассуждения одинаковы. Пусть BC = CD = x, AB = y, AD = z, тогда S_ABCD = (yz+x²)/2 как сумма площадей двух прямоугольных треугольников. BD = xsqrt(2), значит, по теореме Пифагора для ABD y² + z² = 2x² Подставляя в формулу для площади, получаем S = (y+z)²/4. Теперь из свойства биссектрисы для BAD имеем BH = xysqrt(2)/(y+z), HD = xzsqrt(2) / (y+z) где H - точка пересечения диагоналей. Далее, треугольники ВНС и АВС подобны, значит, BH/AB = BC / AC, откуда BH = xy/6. Но BH = xysqrt(2)/(y+z), значит, y + z = 6sqrt(2). Искомая площадь равна (6sqrt(2))²/4 = 18 P.S. Для произвольной диагонали AC = d площадь ABCD равна d²/2, что и означает инвариантность площади относительно радиуса окружности
@@GeometriaValeriyKazakov А я усложнил, т.к. не могу поступиться принципами обойтись без доп. построений, особенно ЗА пределами фигуры. Установил все возможные углы и обозначил стороны АВ, ВС, СD и АD соотв. как b, a, a и c, а дальше решил алгебраически на основе теорем Птолемея и Пифагора, найдя соотношения 6asqrt(2)=ba+ac, 6sqrt(2)=b+c, затем возвёл в квадрат 72=b^2+c^2+2bc, меняем b^2+c^2=2а^2, получаем значение площади, равное 18: 72=2а^2+2bc - 36=а^2+bc - S=(а^2+bc)/2=18.
Простое алгебраическое решение : Перпендикуляр СН к АД=h. Обозначим НД=у. АВСН-трапеция. Легко увидеть, что АВ=h - у. Площадь трапеции ((h+h - у)*h)/2= ((2h - y)*h)/2. Площадь треугольника СНД равна: h*у/2. Сумма этих площадей равна искомой площади: S(ABCD)=(h/2)*(2h-y+y)=h^2! По т. Пифагора h^2=18 ---------> S=18.
Задача интересная. Но. Эта диагональ - биссектриса прямого угла, имеющая постоянную величину. Любой прямоугольник имеет постоянную для него окружность с диаметром равным гипотенузе. А значит конец этой гипотенузе будет бегать по этой окружности. Поэтому из условия задачи достаточно поставить прямой угол в середину. И подсчитать. ( 3×3:2)×4=18 . Главный вывод.
Возможно, я неправа, но у меня 18 получилось. Понесло меня не в ту степь, разрисовала себе всю дежурную тетрадку, попутно доказав, что вокруг четырехугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна 180, но спасло меня не это, а то, что биссектриса вписанного угла, как оказалось, делит дугу под ним пополам. И тогда я поделила этот кривой четырехугольник на 4 части. Получилось два подобных равнобедренных прямоугольных и два равных прямоугольных. треугольника. Дальше дело техники.
Опускаем из С перпендикуляр к АД. Получаем точку К и треугольник СКД. Проводим из С перпендикуляр к продолжению АВ. Получаем точку М и треугольник САМ. Вдруг выясняется, что эти треугольники равны, ибо СМ=СК=6: корень из 2, углы СКД и СМВ по 90 градусов, и углы ДСК и ВСМ равны. Следовательно можно "отрезать" СКД и приставить его вместо САМ. Получим кварат с диагональю 6 и площадью 18.
Дочку с днём рождения! Удачи и счастья! Вариант. Понятно, что BD диаметр, угол BCD=90° и BC= CD. Опустим перпедикуляры BH1 и DH2 на AC. ∆CBH1=∆DCH2 (по двум прилежащим углам и гипотенузе). Сл-но H1C=DH2, Далее AH1=BH1 (равнобедренный ∆-к, с углами 45°). Сл-но 6=AC=AH1+H1C= BH1+DH2. Площадь S четырёхугольника равна S=AC*(BH1+DH2)/2=6*6/2=18.
Я решил эту задачу и получил ответ 18, но у меня выходит, что ABCD и есть квадрат. Треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу не лежащему между ними. Эту теорему мы не проходили в школе, но можно самим доказать. Дальнейшими рассуждениями приходим к тому, что все стороны равны и углы 90.
C помощью т. косинусов 1. Углы А и С прямые. BC=DС=x, BD=y, 2x²=y². 2. Теор. косинусов для ABC и ADC. После сложения и сокращений получ. AB+AD=6√2. 3. Возвести в квадрат, получ. y²+2AB·AD=2x²+2AB·AD=72. То есть 4·Площадь_BCD+4·Площадь_ABD=4·Площадь_ABCD=72, след. Площадь_ABCD=18.
Ещё вариант.BD диаметр . Из т.А и С проведём линию в центр окружности , получим два равнобедренный тр. Примем угол между AC и АО равный @ тогда угол AOD равен 90+ 2@ а угол пересечения AC и BD равен 90+ @. АО равна 3: cos@ . Площадь равна AC ×BD × Sin 90+@ разделить пополам , равна 18 .
Присоединяюсь к поздравлениям! Можна и алгебру подключить в помощ , АВ=х , АD=y, BC=CD , вражаем их квадраты по т. косинусов и складываем , получяем квадрат BD , его-же получяем из ABD х*х+36-2*х*6*√2/2+у*у+36-2*у*6*√2/2=х*х+у*у получяем 12√2(х+у)=72 и х+у=6√2 и находим площадь ABCD как сумму площадей ABC+ACD через синус 1/2*6*х*√2/2+1/2*6*у*√2/2 =3*√2/2*(х+у)=3*√2/2*6√2=18.
Проведем касательную AX в точке A к хорде BA. Мы также знаем, что угол, составленный этой касательной с хордой AB, равен вписанному углу ADB, соответствующему этой хорде AB. Итак, BDA=45°, а AOD - прямой угол. BD и AC - диагонали квадрата ABCD и AD = 6/√2 = 4,24264. Площадь поверхности ABCD равна 18 см².
Ты прав. Касательная не перпендикулярна AC. Но... должно быть, потому, что мы пришли к правильному результату. Однако это нужно будет доказать. Большое спасибо. Привет из Франции.@@GeometriaValeriyKazakov
извини, я вернусь к тебе. Если я не ошибаюсь, две веревки BA и AD образуют угол 90°, а AC - биссектриса. Тогда эта биссектриса перпендикулярна касательной в точке A, а угол XAB равен 45 °, как и ADB. Итак, диагонали, как объяснялось ранее, действительно перпендикулярны, а ABCD - квадрат. Мне кажется, я не ошибаюсь. С наилучшими пожеланиями.
Проведите диаметр BD, вылезут ещё пара равных дуг и соответственных хорд, а за ними и его сиятельство квадрат собственной персоной. @@GeometriaValeriyKazakov
Угол BAD прямой, то ABD - прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна диаметру BD. BCD также является прямоугольным треугольником с такой же гипотенузой. ABD=ACD как углы, вписанные в одну хорду AD. BCA=BDA как углы, вписанные в одну хорду AB. BAC = BDC = 45° и CBD = 90-BDC = 45, следовательно, CBD=BDC и BCD - равнобедренный прямоугольный треугольник. Пусть AB = a, BC = b, CD = c и DA = d. BD² = b² + c² = 2 b² и BD = b √2 Теорема Птолемея позволяет нам написать AC BD = bd + ac = bd + ab = 6 b√2 = b (a+d), следовательно, a+d = 6 √2 (1) В треугольнике ABC имеем b² = a² + 6² - 2 6 a cos 45 = a² + 6² - 2 6 a √2/2. И b² = a² + 36 - 6 а √2 В треугольнике ADC имеем b² = d² + 36 - 2 6 d √2/2. И b² = d² + 36 - 6 d √2 Итак, a² + 36 - 6 a √2 = d² + 36 - 6 d √2. а² + 36 - 6 а √2 - d² - 36 + 6 d √2 = 0 a² - d² - 6 √2 (a - d) = 0 (a - d) ((a + d) - 6 √2) = 0 2 решения: a - d = 0 и a = d a + d = 6 √2, что подтверждается теоремой Птолемея (1) Итак, a = d и BAD - прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза которого общая с треугольником BCD. Два равнобедренных прямоугольных треугольника BCD и BAD, вписанные в одну окружность диаметром BD и их общей гипотенузой, образуют квадрат ABCD, диагональ которого равна 6 см. Следовательно, сторона этого квадрата равна 6/√2 и площадь его поверхности равна (6/√2)² = 18 см².
Если мы сразу нарисуем квадрат ABCD вписанный в окружность с диагоналями равными 6, то этим мы не нарушим условие задачи - углы BAC и CAD будут по 45º, AC=6 и ABCD - четырехугольник. Т.е. мы выполнили условие задачи. Тогда поиск площади этого квадрата не составит большого труда: AB=3√2; S=AB²=(3√2)²=18. Ответ: 18.
@@GeometriaValeriyKazakov Тогда в условии задачи нужно прописать, что четырехугольник - не квадрат или, например, ∠В≠90º. В начале решения было выяснено, что увеличивая радиус окружности можно добиться момента, когда т.А сольется с т.В, и тогда у получившегося прямоугольного треугольника BCD с катетами равными 6 легко считается площадь. Но можно поступить иначе. Будем не увеличивать радиус, а наоборот уменьшать до тех пор, пока диагональ АС станет диаметром окружности. В результате получим квадрат с диагоналями AC=BD=6, площадь которого легко считается.
Ничего прописывать не нужно. Вы должны сами доказать, независимо от того квадрат это, или не квадрат, все равно площадь будет одна и та же. Рассмотрение частных случаев является в математике лишь поиском гипотезы. Остальное - доказывается. Такая наука. А я сказал, что использовния преобразований ведет к функции, доказательству ее непрерывности, нахождению предела в точке. Сложная работа. Поэтому мы привели геометрическое док-во. Я же сбросил вам ссыку на ролик , где явно показано подобное заблуждение. Взяв там заранее прямоугольный, мы совершаем ошибку. Думаю лучше вернуться к другим задачам, постепенно придет понимание. Иначе мне придется прочесть лекцию о сущности математических решениий в геометрии. Возможно это было бы и полезно, но мало будет просмотров. Но очень хорошо и правильно, что вы пытаетесь разобраться. @@alexanderchentsov8113
@@GeometriaValeriyKazakov увы, так и не понял, откуда ноги растут( Понятно, что угол BCD прямой, т.к. опирается на диаметр, а дальше мне выводы не понятны(
Обозначаем AB = x, BC = y, AD = z, тогда BC = CD = y, BD = ysqrt2, по теореме косинусов x^2 + 36 - sqrt2*6*x = y^2, z^2 + 36 - sqrt2*6*z = y^2, вычитаем из одного другое, получаем x^2 - z^2 + 6sqrt2(z-x) = 0, (x+z)(x-z) - 6sqrt2(x-z) = 0, (x-z)(x+z-6sqrt2) = 0, либо x = z, либо x + z = 6sqrt2, в первом случае - квадрат с площадью S = 18, во втором S1 = xz/2, S2 = y^2/2, S = S1 + S2 = y^2/2 + xz/2, (x+z)^2 = x^2 +z^2 +2xz = 72, делим на 4, y^2/2 + xz/2 = 18,
Если сделать дополнительные построения, а именно: -- соединить прямой B и D, -- продлить вверх сторону АВ, -- опустить перпендикуляры из (.) С на продленую сторону АВ и на сторону АD, обозначив точки пересечения соответственно с В1 и D1, -- из (.) В вправо параллельно АD провести прямую до пересечения с СD. Точка пересечения с СD -- С1, то окажется, что АВ1СD1 -- квадрат, площадь которого равна площади исходного четырехугольника АВСD. Поскольку нам из условия задачи известно, что диагональ АС=6, то площадь S построенного квадрата АВ1СD1, а, следовательно, и площадь 4-хугольника АВСD S=(6√2/2)^2=18 Теперь нужно обосновать, как мы пришли к таким выводам. 1) Диагональ ВD является диаметром окружности, в которую вписан 4-хугольник ABCD, т.к. по условию задачи ^BAD=90°. Следовательно, и ^BCD=90°, как опирающийся на диаметр окружности. 2) Т.к. угол ^ВСD=90° и CD1 перпендикулярен по построению ВС1, то ^D1СD=^CBC1. Т.к. ВС1 || В1С, то ^В1СВ=^СВС1. А тогда и остальные углы в прямоугольных ∆-ках ВВ1С и DD1С равны. 3) Поскольку из условия ^ВАС=^САD=45° и по построению угол ^CD1A=90°, то ^ACD1=45°, т.е. ∆-к АСD1 - равнобедренный и AD1=CD1, а 4-хугольник AB1CD1 - квадрат. Т.к. В1С=AD1=CD1, то, с учётом пункта 2), равны и ∆-ки ВВ1С и DD1С. Поэтому равны и площади 4-хугольника ABCD и квадрата AB1CD1. Тогда их площади S равны S=[AC×√2/2]^2=[6√2/2[^2=18 ☑️☑️
@@GeometriaValeriyKazakov нравиться ваш канал. А то старею забываю уже. А тут такая радость ставишь на паузу и в уме решаешь- не решил тогда подсматриваю у вас
Ответ 18. Решение - полминуты в уме. Не нашел своего решения в комментариях. Проведём диагональ ВД. Треугольник ВСД прямоугольный, равнобедренный. Центр окружности тО на середине ВД. Проведём второй диаметр, перпендикулярно ВД через точки О и С. Из т.А опустим на него перпендикуляр - т.Р. обозначим h - OP, R - радиус описанной окружности. Для треугольника АРС запишем тПифагора (h+R)²+(R²-h²)=AC². После расскрытия скобок и деления на 2 получим h*R+R²=AC²/2 С левой стороны имеем площади двух треугольников, в сумме - площадь нашего четырех угольника. Ответ S=AC²/2=18.
Есть теорема: "Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой". Угол BAC опирается на дугу BC. На эту же дугу опирается угол BDC. По теореме они равны между собой. Но угол BAC = 45 по условию. Значит, и угол BDC =45.
@@GeometriaValeriyKazakov я 78 года рождения - в 96 вы бы за мною тоже не угнались в решении. Я и сейчас до 40 процентов ваших задач на канале решаю в уме ставя на паузу. Но многие аксиомы начинают забываться. «Этот навык со временем утрачивается»(к/ф «Джеки Ричер)
Еще раз извините, не хотел обидеть. Делов том, что когда я начинаю детализировать, начинают ругать очень олимпиданики и даже уходят с канала. Говорят. Так подробно нам не нужно. А задачи именно для них. Что поделать. Успеха. @@alexslater506
Отличная задача! Обозначим как О точку пересечения АС и ВD, из точки В проведем отрезок ВЕ до пересечения с окружностью в точке Е перпендикулярный АС и пересекающий его в т. Т. Рассмотрим тр-к АСЕ, он равен тр-ку АСД по общей стороне АС и 2 углам < АDC =
Поначалу я тоже решил "порассуждать", но не проникся, и решил как Вы, перестановкой тр-ков. Авторское решение короткое, чёткое, оптимальное, всё остальное (типа "кручу - верчу") - от лукавого. Алгебра, на мой взгляд, здесь вообще неуместна.
