Интеграл Дирихле: sin x/x

Подписаться 22 тыс.

Просмотров 25 тыс.

50% 1

Из этого видео вы узнаете, как найти несобственный интеграл от минус до плюс бесконечности от функции sin x/x. Такой интеграл иногда называют интегралом Дирихле.
здесь можно посмотреть, как найти приближенное значение определенного интеграла sin x/x через разложение в ряд Тейлора: • Приближенное вычислени...
здесь можно посмотреть, как найти интеграл вида e^x*sin x методом интегрирования по частям: • Возвратный интеграл si...
а здесь интеграл вида e^x*sin x без интегрирования по частям: • Два интеграла: sin(x)*...
здесь есть вывод формулы Эйлера для комплексной экспоненты: • Тригонометрическое ура...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911

Опубликовано:

24 окт 2020

Ссылка:

Скачать:

Готовим ссылку...

Добавить в:

Мой плейлист

Посмотреть позже

Комментарии : 55

@AlexeyEvpalov 5 месяцев назад

Красивое, необычное решение. Большое спасибо за видео.

@Hobbitangle Год назад

"Вот такой интересный результат - интегралы не зависят от 'а'" Очень интересный результат. Который можно было бы (и стоило было бы) получить в самом начале рассмотрения задачи, сделав подстановку у = а•х Тогда бы исходное подынтегральное выражение превратилось sin(ax)/x•dx = sin(y)/y•dy, тем самым константу 'а' во всех дальнейших вычислениях и преобразованиях можно было бы опустить, упрощая выкладки.

@user-ik5tb2bz8h 2 года назад

Спасибо! Вы отлично популяризируете математику!

@Hmath 2 года назад

рад, что нравится!

@imione1602 3 года назад

С помощью ваших видео познаю математику ! Узнал очень много на вашем канале ! Все сложные вещи доступно разъясняются ! Спасибо !

@Hmath 3 года назад

рад, что нравится! в математике много интересного получили за столько веков, буду постепенно рассказывать :)

@zhasulanaset6514 3 года назад

Как всегда на высшем уровне! 👍

@Hmath 3 года назад

спасибо!

@bestmusic9854 Год назад

Боже как же это красиво ) спасибо за ваш труд

@ajdarseidzade688 8 месяцев назад

Полностью согласен. Тоже хотел написать, что красивое решение, но увидел Ваш коммент.

@alexeyholin1044 5 месяцев назад

Спасибо !! Очень интересно ! Правда, мой уровень не дотягивает до Вашего... ) Зато я всё понимаю, как Вы объясняете. Спасибо !!

@zarash9545 2 года назад

А так супер! Все понятно и ясно!Респект

@slavinojunepri7648 Месяц назад

Fantastic result

@KambarKenzhegaliyev 3 года назад

Красивый канал 👍

@Oleg_Ivanov 3 года назад

Интересный результат,- какое бы ни было "а" что выше оси Х нивелируется тем, что ниже... В продолжение диалога о другой функции sin(π/x) - результат интеграла в пределах [0, 1] чрезвычайно интересен тем, что такая сумасшедшая функция сходится! на таком промежутке.

@Hmath 3 года назад

ну в интеграле можно сделать замену сразу (t=pi/x) и тогда функция в интеграле сразу будет иметь приличный вид ;)

@user-gk3sn4hz8g 3 месяца назад

Отлично, это совсем новый способ, хотя и похож на метод Фейнмана.

@b1stari 3 года назад

Мощно

@a.osethkin55 2 года назад

Огонь

@user-fk6qy6dm8n 7 месяцев назад

Когда-то и я умел так интегрировать.Жаль,это было давно

@VSU_vitebsk 3 года назад

очень круто

@robertmonroe9728 2 года назад

Не проще ли сразу ах заменить на переменную и тогда сразу видно что не зависит от а и равно двойному интегральному синусу от бесконечности.

@user-dk1fj3pe5b 6 месяцев назад

Вот это способ, балдеж

@dmitryramonov8902 3 года назад

Красиво, и лучше чем примочка Фейнмана! А интеграл модуля sin(x)/x расходится? Отрицательные площадки принципиальны, получается?

@Hmath 3 года назад

да, интеграл от модуля расходится

@dmitryramonov8902 3 года назад

@@Hmath расскажите еще про несобственный интеграл от sin(1/x). Подозреваю, что он расходится... Что нужно на него навесить по минимуму, чтобы получить красивый результат? Например, /x или /x2? Плиз.

@Hmath 3 года назад

sin(1/x)*(1/x^2) с пределами от 1 до бесконечности в 2 действия находится ;)

@Hmath 3 года назад

ну поэтому я и написал: "с пределами от 1.... " :) а так понятно, что в интеграле, где в аргументе синуса стоит какая-нибудь муть, нужно сначала попытаться от нее избавиться заменой, а уж потом смотреть, что получится

@dmitryramonov8902 3 года назад

@@Hmath Согласен, 1/x2 легко заносится под знак дифференциала, интеграл получается cos(1/x). Но в нуле и рядом он не определён... А вот sin(1/x)/x - это наш поциент!!! И не берется просто так, и красивый ответ - пи/2. Хотя... он легко преобразуется в sin(1/x)/(1/x) d(1/x). Получается, график совершенно дикий, а интеграл берется, как если бы это был sin(x)/x

@mathbyautistdimag.9330 3 года назад

Вот на моментах "возьмем функцию ..." и тд, в принципе в любых задачах, возникает чувство какой то искусственности происходящего. Можно ли конструктивно прийти к целесообразности именно таких действий? Или это просто результат гениальности тех, кто впервые додумался до этого

@Hmath 3 года назад

да в интегралах, как с любыми другими заменами: методом проб и ошибок :) тут, например, степенная функция в знаменателе - от нее явно нужно избавиться, а дальше уже думают, как это сделать. Я как-то смотрел на формулы, полученные Рамануджаном, и способы, каким он это делал - вот там прямо восхищение: как до такого можно было только догадаться? :) Спасибо, кстати, за рекламу на другом канале! ;)

@Oleg_Ivanov 3 года назад

Мой препод, в своё время сказал: "Чтобы решить интеграл, надо чувствовать как он берётся. Чтобы чувствовать как брать интегралы, нужно прорешать их большое количество"... Только бы вот так в бесконечную рекурсию не замкнуться... 😵😂😂😂

@mathbyautistdimag.9330 3 года назад

@@Oleg_Ivanov Слышал еще такое высказывание: "Дифференцирование-это ремесло, интегрирование-искусство"

@cicik57 2 года назад

а этот интеграл имеет отношение к технике Феймана где тут бы ввели I(t)= integral sin(ax)*e^-xt / x ?

@Hmath 2 года назад

да, так тоже можно

@user-lp9tv3ir9n Год назад

Не ожидал такого ответа

@Germankacyhay Год назад

Вспомнился мультфильм про Винни-Пуха.

@aranarus 7 месяцев назад

А зачем на 9:50 приводить к общему знаменателю? Это же элементарные функции получается сумма логарифмов.

@totkolpovwatch 4 месяца назад

Я конечно понимаю что мой уровень не стоит даже рядом с вашей тенью, но я тоже хочу так интегрировать😅

@AdelVarlington 3 года назад

Хороший способ, но, мне кажется, трюк Фейнмана здесь лучше работает.

@Hmath 3 года назад

да это по сути почти то же самое, только оформлено иначе. :) Не все же интегралы одним способом решать, должно быть разнообразие.

@BukhalovAV 10 месяцев назад

Не совсем понятно, по какому правилу мы можем вот так спокойно выносить внутренний интеграл наружу на 4:38?

@user-cr2lq7lb4z 7 месяцев назад

Ни по какому. Ни теорема Фубини (требует абсолютной сходимости), ни перестановка порядка интегрирования в интеграле Римана (требует равномерной сходимости по t>0) в лоб не применимы. Можно отступить от нуля по t, изменить порядок интегрирования, обосновать переход к пределу по нижнему пределу интегрирования. А дальше как угодно - то ли по частям, то ли производная по параметру и диф. уравнение...

@BukhalovAV 7 месяцев назад

@@user-cr2lq7lb4zто есть, автор данного видео сделал какое-то допущение, не обосновав его? Просто я не настолько силён в интегралах, потому и спрашиваю.

@zarash9545 2 года назад

Как получилось 2 в начале видео? Двойка возле интеграла с границами от нуля до плюс бесконечности

@Hmath 2 года назад

функция четная, значит интеграл от -бесконечности до +бесконечности будет в 2 раза больше, чем интеграл от 0 до бесконечности. Представьте график функции: если он симметричен относительно оси ОY, тогда площадь под ним справа от оси равна площади слева.

@zarash9545 Год назад

@@Hmath спасибо🌼 Поняла

@zarash9545 Год назад

Обожаю ваш канал

@dee3mon 2 месяца назад

А здесь нельзя как-то на этот интеграл Фурье натравить? С учетом того, что Фурье-преобразование линейное, то с заменой порядка интегрирования проблем быть не должно. А Фурье-образ от sinc - это одна из базовых вещей - прямоугольник, площадь под ним легко считается. А потом обратно пробросить?

@Hmath 2 месяца назад

можно

@romansharafutdinov5262 2 года назад

А в чём проблема подставить вместо a 1

@Hmath 2 года назад

нет никакой проблемы - подставьте, если нужно

@meerable 10 месяцев назад

Меня смущает, что область определения х для исходного интеграла вся числовая ось, включая ноль, а область определения х в подстановочном интеграле строго больше 0. Это противоречие не было устранено даже оговоркой.

@Hmath 10 месяцев назад

не включайте тогда ноль и сразу пропадут противоречия. Зачем он нужен? интеграл не изменится, если у функции выкинуть значения в каких-то точках.