11.07.2024
Алгебраическая геометрия, посвященная первоначально изучению квазипроективных многообразий над полями, в середине 20 века под влиянием гения Александра Гротендика претерпела монументальную унифицирующую концептуализацию, «схемную революцию». С современной точки зрения (которая также выросла из идей Гротендика, последовавших за первоначальным более сложным понятием схемы как локально окольцованного пространства) она формулируется в двух тезисах
1. Каждое коммутативное кольцо следует рассматривать как кольцо функций (уникально соответствующего ему) аффинного пространства.
2. Произвольное пространство определяется тем, как в него отображаются аффинные.
Схемная революция обеспечила не только систематические и концептуально простые трактовки множества разрозненных результатов классической алгебраической геометрии, но и (радикально расширив понятие алгебраического многообразия) открыла новые глубокие связи в математике (например, так возникла область арифметической геометрии, неразрывно связанная с теорией чисел). В совокупности она привела к колоссальному прогрессу (начиная непосредственно с доказательства гипотез Вейля, мотивировавших школу Гротендика и Серра). В первое время функториальная точка зрения Гротендика (как она изложена выше) не играла большой роли в схемной революции (достаточно было понимать схему как локально окольцованное топологическое пространство), но позже она становилась все значимее. В наши годы идея топосов пространств уже воплощается в полной форме, с такими влиятельными примерами как конденсированная математика Шольце и Клаузена.
Естественно идеи схемной революции вдохновили пересмотреть другие разделы геометрии аналогичным образом. Что является аналогом коммутативного кольца для гладкой геометрии?
Кольцо гладких функций гладкого многообразия имеет естественную дополнительную структуру: к набору элементов a₁, .., aₙ можно применить не только целочисленный многочлен p : ℤ[x₁, .., xₙ] (что в точности составляет структуру кольца), а любую гладкую функцию f : C^∞(ℝⁿ). Категория C^∞-колец - это обычная алгебраическая категория
Дульная ей категория гладких локусов Locus - это естественный сетттинг для дифференциальной геометрии. Она единообразно включает, например, гладкие многообразия с углами / стратификациями, комплексы (кусочно-гладкие пространства), инфинитезимальные пространства. Со всеми релевантными геометрическими понятиями (например, касательные расслоения и, более обще, расслоения струй являются просто пространствами отображений из соответствующих инфинитезимальных пространств; т.е. эти функторы становятся представимыми).
Но категория Locus не содержит такие естественные и представляющие большой классический интерес объекты, как пространства гладких отображений Hom(M, N). Эта потребность реализуется вложением Locus в топос гладких пространств Space. Изложение дифференциальной геометрии на внутреннем языке таких гладких топосов это и есть то что называется синтетической дифференциальной геометрией.
Цели курса
1. Изложение основ гладкой геометрии, как она представлена выше. В частности, мы покроем основные идеи из (1991) и (2020). Доступ к инфинитезималям позволяет особенно ясно и элегантно обсуждать фундаментальные геометрические сущности, такие как связности на расслоениях. Мы покажем как органично включаются в этот контекст гладкие множества/диффиологические пространства, diffiety Виноградова, гладкая D-геометрия, естественные расслоения и операции
2. Изложение приложений этого языка к бесконечномерным гладким пространствам, естественно возникающим в классической дифференциальной геометрии, геометрическом и глобальном анализе (классически изучающиеся с помощью функционального анализа, через такие понятия как многообразия Фреше). В частности, будет представлено Арнольдовское понимание гидродинамики как дифференциального уравнения на пространстве автодиффеоморфизмов гладкого многообразия (мыслимого как пространство состояний жидкости) см. Alexander Schmeding - An Introduction to Infinite-Dimensional Differential Geometry (2022).
I. Moerdijk, G. E. Reyes, «Models for smooth infinitesimal analysis», (1991)
A. Kock, «Synthetic Geometry of Manifolds», (2009)
P. Iglesias-Zemmour, «Diffeology», (2013)
I. Khavkine, U. Schreiber, «Synthetic geometry of differential equations: I. Jets and comonad structure» (2017)
M. Bunge, F. Gago, А. М. San Luis, «Synthetic Differential Topology», (2018)
G. Giotopoulos, H. Sati, «Field Theory via Higher Geometry I: Smooth Sets of Fields» (2023)
I. Kolar, P. W. Michor, J. Slovak, «Natural operations in differential geometry», (1993)
L. W. Tu, «Differential Geometry Connections, Curvature, and Characteristic Classes», (2017)
Jet Nestruev, «Smooth manifolds and observables», (2020)
A. Schmeding, «An Introduction to Infinite-Dimensional Differential Geometry», (2022)
I. S. Krasil'shchik, A. B. Sossinsky, A. M. Verbovetsky, «The Diverse World of PDEs, Algebraic and Cohomological Aspects», (2023)
10 июл 2024
