09. Топология 

С помощью ИИ я попытался сделать единый рассказ из этого конспекта: " Давным-давно на разных поверхностях жили два двумерных клеща. Один клещ жил на поверхности сферы, а другой - на поверхности тора. Они были любопытными существами и хотели узнать, живут ли они на одинаковых или разных поверхностях. Однажды они услышали о двумерном полноценном аналоге гипотезы Пуанкаре, которую доказал Перельман. Эта гипотеза утверждала, что любое просто связное замкнутое трехмерное многообразие топологически эквивалентно трехмерной сфере. Клещам стало интересно, может ли это помочь им выяснить, живут ли они на одной и той же или разных поверхностях. Они решили обратиться за помощью к Эйлеру. Эйлер был известным математиком, который внес много важных вкладов в топологию. Он порекомендовал им прочитать книгу Прасолова "Визуальная топология", чтобы узнать больше об этом предмете. Клещи последовали совету Эйлера и узнали о триангуляционных сетках и о том, как вычислить характеристику Эйлера поверхности. Они нарисовали триангуляционную сетку на своих поверхностях и подсчитали количество вершин, ребер и граней сетки. Затем они вычислили характеристику Эйлера как В-Р+Г. На сфере они обнаружили, что характеристика Эйлера равна 2. На торе, однако, они обнаружили, что характеристика Эйлера равна 0. Это было важное открытие, поскольку оно означало, что характеристика Эйлера является инвариантом поверхности. Другими словами, она не меняется, даже если поверхность деформируется каким-либо образом. Клещи смогли доказать этот факт, осторожно разрушая по одной вершине за раз и наблюдая, как это влияет на количество вершин, ребер и граней решетки. Они обнаружили, что независимо от того, сколько вершин они уничтожали, характеристика Эйлера оставалась неизменной. В конце концов, они смогли максимально упростить свои сетки и получить сетку только с двумя гранями, разделенными замкнутой границей. Это означало, что их первоначальный расчет характеристики Эйлера был правильным. Для тора они не стали повторять эти рассуждения, а вместо этого показали живой пример с другим расчетом В-Р+Г. Они "связали" тор двумя нитями, состоящими из 2 вершин и 2 ребер каждая, и добавили два ребра вдоль внешней и внутренней полуокружностей тора. В этом случае они обнаружили, что В=4, Р=8, Г=4, поэтому В-Р+Г = 0. Клещи были очень довольны своим открытием и поняли, что они действительно живут на разных поверхностях. Они также узнали о других интересных поверхностях, таких как бутылка Клейна и лист Мёбиуса, которые являются неориентируемыми поверхностями. Для любой ориентируемой поверхности они узнали, что В-Р+Г=2-2g, где g - количество отверстий в поверхности. Итак, благодаря своей любознательности и целеустремленности, два клеща смогли узнать много интересного о топологии и открыть для себя новые способы понимания окружающего мира. "

дохуя интуционист

Наоборот, ты был бы идиотом с такими преподами, которые просто тупо подменяют понятия.

Объясни мне, пожалуйста, 14:01 ("соответственно минус четыре, а не минус пять)

@@alexandera.7616смотрите, мы удалили 5 рёбер. Вместе с ними мы, казалось бы, удалили 5 граней. Но это не так, поскольку на месте 5 удалённых граней образовалась одна новая большая грань. Поэтому-то граней не -5, а -4 (т.к. -5 граней +1 новая = -4)

Возможно наш трёхмерный ориентируемый мир на самом деле поверхность четырехмерного объекта.

ну учитывая что у любой точки многообразия есть окрестность гомеоморфная некоторой области евклидового пространства соответсвующей размерности, то я бы поспорил , что наше многообразие в котором мы живем ориентируемо. к тому же в физике уже давно ясно , что наше пространство- время - четырехмерное псевдориманово многообразие

Эйлерова характеристика доля таких клещей будет одинакова, но то что они разные, можно будет узнать только если второй клещ увидит ползающего на внутренней поверхности тора клеща-антипода которому так и не сможет лапу пожать.

В магическом мире современной науки возможно всё 🤷‍♂️

спасет. группы гомологий различны же все таки. преобразование тора ( ориентируемого многообразия) в бутылку клейна( неориентируемого многообразия) ? не смешите меня

она задает понятия непрерывности сходимости связности. это очень важные понятия пространства

Хороший вопрос, но он для физиков. У Veritasium было видео об этом

Мне кажется, что "правильные" заплатки - это такие заплатки, которые не имеют внутри себя пустот, которые можно изготовить из тянущегося, но не склеивающегося материала. Тор с вырезанным треугольником, по-моему, не получится растянуть в плоский лоскут без дыр.

@@KolyNCo , верно, но как проверить, что каждая заплатка без дыр? Порезать её на подзаплатки и посчитать В-Р+Г? Но сами подзаплатки тоже нужно все проверять. Переходя к нашей вселенной - где гарантия, что где-то на микроуровне не существуют какие-нибудь "кротовые норы"? Где-нибудь в недоступных местах, скажем, во вращающихся чёрных дырах, где сингулярность - кольцо. И всё, благодаря этому, наша вселенная уже не сферична.

@@MikleQuits , понял вашу мысль) Остается только клещу на торе взять нитку и проверять, стягивается ли она при прохождении по контуру заплатки. Наверное это также нереально, как в нашем мире взять огромную "простыню" без отверстий и "прочёсывать" ею всё пространство)

@@KolyNCo , да, можно даже оставить только одну заплатку, и проверять стягиваемость от неё в обе стороны - внутрь и наружу. Но трудно представить это на практике.

Видимо тут нехватает определений: что такое ребро, что такое грань... - они заменены "интуитивностью" или "очевидностью" этих понятий. Оставшийся тор не должен отвечать определению грани. Видимо подразумевается, что "грань" гомеоморфна части плоскости и если после вырезания треугольника этого еще не видно по остатку - надо вырезать, или рисовать на дальше.

нет. фундаментальные прямоугольники различаются ( это тоже инвариант)

@@adfsf2970 «Труба Мёбиуса» это не более чем слова. Назвать бутылку Клейна можно как угодно. Как можно подтвердить или опровергнуть предложенное наименование? Ведь из наименования никак не получается описание этого многообразия.

@@Micro-Moo для большинства многообразий определено название. трубой мебиуса нельзя назвать просто потому что название будет нести неккоректный характер

@@adfsf2970 «трубой мебиуса нельзя назвать просто потому что название будет нести некорректный характер» Я же вовсе не поддерживаю название «труба Мёбиуса», оно звучит просто достаточно глупо, да и надобности нет. Да название вообще редко имеет «корректный» характер. Этого трудно требовать от названия хотя бы потому, что оно короткое. Обычно приводят такой пример: «бином Ньютона» придуман не Ньютоном и биномом не является. И т. п.

@@Micro-Moo ладно мне не к чему докапатся

Забавно как законы оптики и перспектив интерпретированы в геометрию) Если такой взгляд принять за основу, получится интересная картина мира

@@user-gz2mn1xb9b Наше пространство конечно!! Тк безконечность пространства противоречит закону вложенности - если носитель безконечен, то предноситель должен быть безконечностью в квадрате - а это абсурд!!...

ну в данном случае у нас первая бесконечность - континуум. вторая бесконечность континууум в квадрате. но эти величины равны, так как существует изоморфизм между группами действительных чисел@@allexqzn2060

он двумерен в данном случае. может быть одномерен нульмерен и тд

да но сфера и тор - 2 мерные многообразия. Эйлерова характеристика( про которые говорит Савватеев) это сумма чисел Бетси, являющихся рангом групп гомологий . Вы не способны понять , что такое четырехмерная сфера или гипертор, однако это не отменяет того факта что это 2 разных многообразия. тут по инвариантам судить надо. не думаю что клещ сможеть взять нитку и ее как бы сжимать в точку. поэтому тут предпочтительней использовать эйлерову характеристику

Он может понять что такое 3 мерное пространство также как и мы можем понять что такое 4 мерное пространство Да, мы не можем представить объекты из него, однако мы научились их описывать и оперировать ими

В компьютерной графике, алгоритмы, всевозможные преобразования моделей, я после лекций пришел сюда собственно

Короткий ответ: везде. Но математика это не агрономия и не металлургия. Она полезна именно тем, что практическую пользу никто не ищет. Можно долго объяснять, почему именно такая польза в конечном итоге наиболее полезна, но это именно долго, нужно приводить примеры и т. д.

он и так верит в бога. это абсракции

Нет, это бессмысленное выражение, потому что на каждом шаге редукции выполняется инвариант, даже на нулевом (когда ни один шаг не сделан). Ничего не редуцируется «до инварианта», инвариант есть в самом начали.

это любит и не любит одновременно

соответственно - это как бы переход от одного утверждения в другое. тривиально логичный переход

да но большинство его открытий было в России ( точнее статей)

Смотри Вики. Он пол жизни провел в России и умер в С-П

Так вы математик или нет? Должны же понимать, что понятие «русский» или «швейцарских» требует точного определения. А вы такого определения дать не можете. В случае Эйлера уж точно. Если вы захотите принять, что тот, кто всего-навсего просто родился в Швейцарии, и есть швейцарец, к вам появится вопрос: а на каком основании?

нормальный?

Что за бред, как ты поймешь, что ты находишься на внутренней стороне тора?))

Ну так он по сути дела тоже самое на торе и нарисовал

тор может бы и такой , что "дырки " в трех мерном пространстве еле видно. бред лишь вы говорите