Натуральные строи. Волчьи квинты. Пространство кратностей (ПК). Мажор и минор. Тональность. 

Мы занимаемся исследованием комбинационных тонов - это очень интересная тема. Если у вас есть материалы по этой теме и/или вы можете предложить дизайн экспериментов, пожалуйста, напишите нам здесь или на почту.

@@Science4Music Комбинационный тон - важнейший элемент в понимании гармонии созвучий. Очень хорошо, что вы исследуете эту тему. Проводя акустические опыты, не следует использовать синусоидальный звуки. Во-первых, при одинаковой амплитуде звукового давления синусоида звучит намного "тише" музыкального звука. В этом легко убедиться в вашей лаборатории. Громкость звука определяется не только его амплитудой, но и крутизной фронта звуковой волны. Этот момент обычно упускается из виду. Что касается определения комбинационного тона (КТ), как разностного и суммарного, то эта формула взята из отвлеченной математики в отношении сложения синусов. В реальной музыкальной акустике никакого суммарного КТ не существует, это подмечают все музыканты. Но и разностная модель КТ далеко не всегда работает. Например, в терции С4-E4 (264 Гц-330 Гц) КТ равен 66 Гц (С2), но в сексте С4-А4 (264-440) КТ равен не 176 Гц (F3), а равен 88 Гц (F2), - что на октаву ниже "разностного" тона. Формула КТ, данная Д.Тартини, многократно критиковалась и корректировалась. Последняя формула КТ была дана, по-моему, Хиндемитом (см. у Холопова). Но и она не совсем точна. КТ - это не порождение человеческого слухового аппарата или мозга. КТ - физическая (акустическая) реальность, это вторичный тон. Послушайте женский хор, поющий (а капелла) на два голоса с разницей в терцию. Вы явно услышите могучий гремящий бас, при том, что в хоре нет низких голосов. Если вы в своей программе запишите фрагмент наложения двух музыкальных звуков чистой квинты, то увидите на осциллограмме, как крутые пики одной звуковой волны периодически совпадают с такими же крутыми пиками другой звуковой волны. В моменты этих совпадений амплитуда звука удваивается, порождая вторичный тон с импульсами удвоенной амплитуды. Этот вторичный тон и есть КТ. Представьте себе танцоров, когда на три шага одного из них приходится два шага другого. В момент совпадения "притопов" рождается общий синхронизирующий громкий "притоп". Его частота кратна частотам первичных шагов, но не всегда равна разнице исходных частот. Например, при соотношении шагов 5 к 3 общий притоп равен не двойке, а единице. При соотношении 8 к 5 КТ равен 1, а не 3. Если в музыкальном созвучии КТ октавно кратен одному из исходных тонов, то именно этот вторичный тон и воспринимается, как опорный. В квинте это нижний тон, в кварте - верхний, в б. терции - нижний, а в малой терции КТ октавно не кратен ни одному из исходных тонов. Поэтому в м. терции ни один из исходных тонов не является опорным. В м. терции E4-G4 КТ равен С2, то есть КТ у м. терции E4-G4 такой же, как у б. терции С4-Е4. При этом КТ у квинты С4-G4 равен С3. Смотрите, у всех трёх парных созвучий мажорного аккорда C-E-G вторичные тона (КТ) октавно кратны одному и тому же тону С. Мажорный аккорд однороден по порождаемому вторичному тону (КТ). В этом и состоит акустическая сущность мажорного трезвучия. Оно не весёлое и не грустное, оно - тонально однородное. Совсем другая картина в минорном трезвучии. Например, в E-G-B.

@@Science4Music Ещё два слова о мажорном трезвучии C4-E4-G4 (264-330-396). Интервал C4-E4 это большая терция, а интервал E4-G4 это малая терция, но тем не менее, ступень Е делит квинту C4-G4 точно пополам. С4-Е4 = E4-G4 = 66 Гц. Таким образом, неравные терции формируют равные частотные приращения, когда малая терция следует за большой. Ступень Е является частотным центром симметрии квинты C-G, а мажорное трезвучие это симметричная звуковысотная конструкция. А теперь переходим к анализу минорного трезвучия E-G-B (330 Гц - 396 Гц - 495 Гц). Частотной симметрией здесь и не пахнет: м. терция E4-G4 = 66 Гц, а б. терция G4-B4 = 99 Гц. И, тем не менее, минорное трезвучие тоже обладает симметрией. Дело в том, что длительность одного полного колебания звука G4 (3,1565 мсек) является средней величиной по отношению к длительностям колебаний звуков E4 (3,7878 мсек) и B4 (2,5252 мсек): 3,1565 = (3,7878 + 2,5252)/2. Если кому-то длительность одного колебания (период колебания) мало что говорит, то полезно вспомнить, что длительность одного колебания струны пропорциональна её длине. Это значит, что при одинаковом материале струн и одинаковой силе их натяжения, длина струны со звуком G4 будет средней по отношению к длинам струн со звуками E4 и B4. Для древних греков симметрия на основе длин струн была даже более наглядной, чем симметрия по высоте звучания. Комбинационные тона всех трех интервалов, образующих минорное трезвучие E4-G4-B4, различны. КТ квинты E4-B4 равен 165 Гц (Е3). KT м. терции E4-G4 равен 66 Гц (С2). КТ б. терции G4-B4 равен 99 Гц (G2). (Частота КТ натурального интервала определяется, как наибольший общий делитель к значениям частот верхнего и нижнего звуков. Если числитель и знаменатель звуковысотной пропорции выражены несокращаемой целочисленной дробью, то КТ всегда соответствует единице. Для 3/2 это 1, для 5/4 это 1, для 5/3 и 9/5 это опять 1.) В отношении комбинационного тона, минорное трезвучие неоднородно, оно, можно сказать, политонально. Помимо главной тональности (Е), менее ярко проявлены также тональные звуки G и C. При том, что в самом минорном трезвучии E4-G4-B4 звук С отсутствует. Политональность или тональная многоликость - главное отличительное качество минорного трезвучия. Музыканты нередко характеризуют минорное трезвучие как грустное, но это уж слишком «человеческое» качество. Скорее можно говорить о тональной полихромности минора в противоположность тональной монохромности мажора. Надо заметить, что сочность и выразительность КТ присуща в особой степени музыкальным созвучиям с натуральной пропорцией. При этом «сила» КТ зависит от кратности музыкального интервала. Чем меньшими целыми числами выражается звуковысотная пропорция созвучия, тем большей энергией обладает КТ. Наиболее ярким тональным эффектом обладают октава, квинта и кварта. На втором месте терции, сексты и тритон. Аутсайдерами в плане КТ являются секунды и септимы. При небольшом отклонении музыкального созвучия от натуральной пропорции, КТ сразу не исчезает, но теряет амплитудную стабильность. Во вторичном звуке появляется легкое вибрато, что характерно, например, для квинты в РТС. При большем расхождении с натуральной пропорцией КТ созвучия перестает быть однородным не только по амплитуде, но и по частоте. Именно таким недостатком обладает КТ темперированной м. терции. Например, м. терция С4 - Еb4 (РТС) порождает неустойчивый КТ, частота которого большую часть времени соответствует тону Аb1, с регулярными сваливаниями к тону F1. Несмотря на то, что пропорция м. терции в РТС всего лишь на ~1% меньше натуральной пропорции 6/5, КТ двузвучия не уменьшается по частоте на этот ~1%, а колеблется между двумя значениями звуковой высоты, одна из которых в 5 раз ниже первичного тона С4, а другая ниже С4 в 6 раз. В результате такого метания вторичного тона по частоте и по амплитуде, образ КТ оказывается размыт, что отрицательно сказывается на всём музыкальном образе темперированной м. терции. Именно поэтому такое важное значение имеет строгое соответствие пропорций всех музыкальных интервалов целочисленным пропорциям натурального ряда. Для правильного понимания сущности КТ и для его объективного анализа следует учитывать причину рождения басового вторичного тона, которая не связана с согласованием или рассогласованием обертонов. Причина кроется исключительно в забытых сегодня унтертонах Римана. Незаслуженное преувеличение роли обертонов можно проиллюстрировать на примере квинтового двузвучия. В квинте С4-G4 (264-396) третья гармоника нижнего звука соответствует тону G5. Этому же тону соответствует вторая гармоника верхнего звука. Сложение одинаковых гармоник должно приводить к двухкратному усилению гармоники и того из первичных тонов, который октавно кратен общей гармонике. В нашем примере - это верхний тон G. Но в реальности, вопреки обертоновой модели, усиление в квинте получает нижний тон (С). В унтертоновой модели каждый второй звуковой импульс нижнего тона квинты совпадает с каждым третьим импульсом её верхнего тона. В результате этих регулярных совпадений рождается вторичный тон(бас), высота которого на октаву ниже нижнего тона квинты. Октавная кратность этого комбинационного тона с нижним тоном естественным образом приводит к усилению нижнего тона, что и подтверждается на практике. Аналогично и в отношении к кварте. С позиции совпадения обертонов, усиление должен получать нижний тон кварты. В реальности, тональное усиление получает верхний тон кварты, что полностью согласуется с унтертоновой моделью.

@@Science4Music Роль комбинационного тона особенно велика в народной песенной традиции, с характерными для неё малыми звуковысотными шагами. Считается, что музыканты с особо развитым музыкальным слухом обладают даром распознавать высшие гармоники вплоть до седьмой и даже восьмой. Этим якобы объясняется тяготение к звуковысотному движению мелодии с шагом в один тон. Но как тогда объяснить не меньшую "популярность в народе" полутона, для распознавания гармонии которого необходимо улавливать 15-ю и 16-ю гармоники. Между тем в модели одного из древних тетрахордов (полутон-тон-тон) можно обнаружить другую основу акустической гармонии, которая опирается на природу комбинационного тона. Итак звуковысотная структура тетрахорда E4 - F4 - G4 - A4 соответствует частотам 330 - 352 - 396 - 440 (Гц). Если привести данные частоты к ряду несокращаемых целых чисел, то получим 15 - 16 - 18 - 20 (полутон - тон - тон) или 16/15 - 9/8 - 10/9. Комбинационный тон E4 - F4 равен Е0 (22 Гц) и он на четыре октавы ниже первичного тона Е4. Комбинационные тона F4 - G4 и G4 - A4 равны Е1 (44 Гц). То есть, комбинационные тона всех соседних ступеней данной музыкальной фразы - октавно кратны одному и тому же первичному тону F. Именно это и определяет гармонию и тональное родство всех четырех ступеней данного тетрахорда. Обратите внимание, что тон F-G (9/8) и тон G - A (10/9) имеют разные пропорции, но при этом они формируют два одинаковых частотных шага (44 Гц). Полутоновый шаг E - F образует частотный шаг, вдвое меньший (22 Гц), но за счет октавной кратности, он идеально вписывается в мелодический ряд. Еще один интересный момент: интервал E4 - G4 имеет пропорцию 6/5, а интервал F - A -пропорцию 5/4. А ведь это малая и большая терции чистого строя, которых, якобы, не знали древние греки.

Для музыканта более подробная информация всегда - это собственная практика. Взять - и попробовать, создав предварительно определенные условия. В учебниках истории музыки информация всегда частична (неполна)... и номинально (по нотам рояля) и акустически (по физико-математическим законам). Есть ещё учебники теории музыки, но и там примерно то же самое. Так что, самый прямой путь, это выучить азы теории - и пробовать самому. Графический язык здесь очень ограничен. Придётся вечно нырять в разные параллельные сферы, и, в конце концов, запутаться в информации.

На нашем канале в цикле видео про Пространство Кратностей (ПК) есть примеры звучаний разных базовых интервалов (в том числе дуодецимы), а в данной лекции мы опираемся на ранее рассказанные результаты. В этом же цикле видео подробно разобран вопрос наименования миноров. Если останутся вопросы - пожалуйста, пишите, будем разбираться.

В физике обычно рассматривается модель идеальной струны постоянной длины. Но в реальности частота колебания струны действительно может немного плавать, но это очень малые изменения почти незаметные на слух. Тема микроотклонений от основной частоты интересная, её изучение потенциально может открыть какие-то новые музыкальные эффекты.

по большей части, ибо мы привыкли. Но там есть связь с приближением гармоник колебаний струны. Рекоммендую посмотреть цикл этих видео. Тут разъяснят. Более того, мне демонстрировали результаты подбора эмпирической формулы приятности/неприятности созвучия двух звуков по большой статистике - там формула interval roughness (или чего-то такое). Зависит от частоты, высоты и громкости. Так что они тоже влияют, и существенно.

Посмотрите нашу лекцию "Микрохроматические строи и тональности. Классика", в ней мы подробно останавливаемся на этом и похожих вопросах.

Запись новая, отрывок, а 10 сентября 2022 выйдет полная версия лекции.

@@Science4Music это хорошо.. Я тоже работаю над своими концептами.. Интересуюсь силой влияния распределения и соседства нот в глав. аккордах на гармонию. Пока заметил мало невозможных ситуаций. На пример, распределение нот: [Тⁱ¯¹ Sⁱ¯¹ Sⁱ Tⁱ ], [Tⁱ¯¹ Dⁱ¯¹ Dⁱ Tⁱ ], [Sⁱ¯¹ Dⁱ¯¹ Тⁱ Dⁱ Sⁱ ] в каком-то месте лада невозможны, если формальные акк-ды Т, S, D это все главные, равны по строению и не пересекаются. Сам лад выглядит как Т _ _Т _ _… | 2окт Примечание: индексы это номер ноты аккорда по высоте от самого нижнего; все ноты расположены по возрастанию частот.

У нас на канале есть курс про пространство кратностей (ПК), посмотрите в нем отдельное небольшое видео про лады

Это новое с элементами повторения старого, а 10 сентября 2022 выйдет полная версия лекции.