Для подобных задач с квадратами прямо просится применение простейшей аналитической геометрии, причем в общем виде. Пусть АD = а, DР = b. Тогда A(0, 0), B(0, a), M(a, b). Уравнение прямой ВР: (a + b)∙y + a∙x - a∙(a + b) = 0. Расстояние от точки М до прямой ВР: МТ = [(a + b)∙b + a^2 - a^2 - a∙b]/√[(a + b)^2 + a^2] = (b^2)/√[(a + b)^2 + a^2]. Площадь желтого квадрата: *S(ж) = МТ^2 = (b^4)/ [(a + b)^2 + a^2].* Подставляя заданные стороны квадратов, получим : S(ж) = 10000/250 = 40.
Видишь квадраты - проводи диагонали. Они всегда пересекаются под прямым углом. Ну и пачку пифагорчиков. А дальше произведение катедов равно произведению высоты на гипотенузу, ибо и то и то даёт площадь (пополам).
Решение координатным методом. Пусть нижний левый угол маленького квадрата будет началом координат. Тогда нам следует написать уравнение прямой, проходящей через точки (0;5) и (15;0), причем длина стороны квадрата будет равна расстоянию от точки (5;10) до эта линия. Уравнение линии, которую нужно найти, имеет вид х/3 + у - 5 = 0 и h будет расстоянием h=(|5/3 + 10 - 5|)/(sqrt((1/3)²+1))=20/sqrt(10) Площадь желтого квадрата равна h²=(20/sqrt(10))²=400/10=40 Ответ: 40
Дело вкуса. Замечу, что подобие - это 3-я четверть 8 кл, а Пифагор 2-я. И если задачу дать на олимпиаде в январе, то все подобия летят к черту. Впрочем, дело вкуса, я же подобия оставил зрителям для комментов. И никак не согласен, что подобия проще. Это рутиннная техническая скучная работа. Я же предложил яркое красивое эвристическое решение: найти высоту прямоугольного. Увидеть этот треугольник - вот в чем прелесть задачи. И в этом суть геометрии. Спасибо, что смотрите нас.
Можно решить через подобные треугольники ΔABP, ΔCEB и ΔTEM: CE:BC=BA:AP=> CE=(5*5)/15=5/3; MT:ME=BA:BP => MT=(5*(5+5/3)/√250 = 20/√10 => S = MT*MT = 400/10=40.
ВР по теореме Пифагора 5 Корней из 10. ВЕ =1/3 *ВР=(5 Корней из 10)/3. СЕ=5/3. МЕ=20/3. Дальше пропорцией: ВЕ/МЕ=ВС/МТ. МТ=20/корень из10. Площадь квадрата 400/10=40.
@@GeometriaValeriyKazakov если решать, исходя из подобия треугольников, то задача для 8 класса.😀 Треугольники АВР и ЕТМ подобны, значит соотношение их гипотенуз равно соотношению катетов. ЕМ : ВР = ТМ : АР. Здесь АР=15, а ВР=5√10 по теореме Пифагора. ЕМ можно найти как сумму МС и СЕ: МС=5, а СЕ=5/3 (опять-таки из подобия треугольников). Тогда получим, что 20/3 : 5√10 = ТМ : 15. Соответственно, ТМ=20/√10. А площадь квадрата - (20/√10)^2=40. Вот и всё решение.
че-то я давно на тангенсы подсел) сторона искомого кв-та икс... tgBPA=1/3... тогда DE=10/3... тогда EM=20/3... угол BPA=TME... cosBPA=3/√10=cosTME=x/(20/3)... x=2√10... S=40
По т, Фалеса МЕ/ЕD=4/2.МЕ=20/3, обозначим ТЕ=х и по т, Пифагора х*х+9х*х=400/9( треугольники МТЕ,РDЕ,РАВ подобны с тангенсом1/3) х*х=40/9 а вся искомая площадь в 9 раз больше тоесть =40!
Посчитал в уме через (а) теорему синусов, найдя DE=10/3, (б) теорему Пифагора, найдя PE=10√10/3, и (в) подобие треугольников, найдя MT=20/√10. Получилось S=40. Теперь можно и ролик посмотреть.
Подобные прямоугольные ΔCDP и ΔABP, катеты 3 к 1. Малый катет ED, как и весь треугольник, в полтора раза меньше АВ, т. е. 2/3 от 5. 10/3=3¹/₃. МЕ=10-3¹/₃=6²/₃. Но ΔМТЕ тоже подобен, а значит - и его катеты 1 к 3. х²+х²/9=(6²/₃)²=(20/3)²=400/9. Нас интересует сразу х² - это и есть искомая площадь. ▫х²(1¹/₉)=400/9; ▫10х²/9=400/9; ▫10х²=400; ▫х²=400/10=40.
@@GeometriaValeriyKazakov кстати, такие рисунки визуализируют теорему Пифагора. Если достроить от треугольника ΔЕМТ по малому катету квадрат, прилегающий к нашему - то площадь большого и малого квадратов будет равняться площади квадрата, который мы построим из гипотенузы. Интересно, можно ли таким образом доказать теорему Пифагора геометрически?🤔
какого выпускника? седьмого класса? никаких построений подобие МТЕ и ВСЕ(бэ-це-э) СЕ=5/3, МС=5, МЕ=20/3. Квадрат ВЕ=250/9. Квадраты гипотенуз относятся, как 400/250=8/5. Это отношения площадей искомого и пятерошного Ответ:40
Если пошевелить конструкцию в общем виде, получается занятное: BP·MT = DP², то есть S[BMP] = ½S[DMNP]. Когда A и D совпадают, это очевидно. P.S. В описании одна из вершин жёлтого квадрата C вместо K. Что забавно, и для площади этой загогулины есть формула: S[TMCF] = S[CDP]·(DP/BP)² = ½AD·DP³/BP².
Пока писал - ролик слился. Что не так? Пришлось писать снова. Без доп. построений: СЕ : DЕ = ВС : DР = 1 : 2, СЕ : СD = 1 : 3, СЕ : СМ = 1 : 3, DЕ : ЕМ = 1 : 2. ЕМ = 20/3. ▲АВР~▲МТЕ (по вертикальному углу). ТЕ : ТМ = АВ : АР = 1 : 3 = х : 3х. х² + (3х)² = (20/3)². х = (√40)/3, ТМ = 3х = √40, S = 40.
Без Пифагора: ЕТ=1/3ТF,ЕD=1/3МD( из подобия PAB.PDE.MTE), повевнем МТЕ на 90против чясовой , тогда МЕ1 попадет на МN, площадь KEF=1/3 искомого квадрата, площадь ЕЕ1К=1/3 от KEF=1/9 искомого квадрата, ЕЕ1F=1/3+1/9=4/9 , значит площадь ЕЕ1М=5/9 = МЕ*МЕ1/2=20/3*20/3/2=200/9 и вся площадь (200/9)/(5/9)=40
@@GeometriaValeriyKazakov Если бы я учился в 7 или даже меньшем классе и не знал бы не подобия не Пифагора то нарисовал бы в тетради в клеточку и подметил что РВ на каждые 3 клетки влево поднимается на 1 вверх, а чтобы МТ было ей перпендикулярно то на 3 клетки вниз надо на 1 влево, нарисовал бы и заметил что точка Т находится как раз на пересечении клеток и длинна МТ как раз два таких отрезка (3:1) а в таком квадрате (длинна стороны 3:1) ровно 10 клеточек и в искомом квадрате 4 таких квадратика . Кто предложит решениееще проще?
