Уравнение четвертой степени 

В 5 утра я не нашёл не чего лучше, чем уравнение 4 степени)

Прекрасно. И методом неопределённых коэффициентов тоже можно, но гораздо дольше.

Первая скобка даёт корни, только из множества комплексных чисел :)

Большое спасибо! Понятно и просто объяснили👍

Большое спасибо. Дочь 9 кл. и я поняли принцип- нужно упрощать уравнение. И Вы привели множество примеров этому процессу в одном уравнении. Так сказать : расширили горизонты.

Всё подробно, Спасибо за решение.

Спасибо большое! Все понятненько стало

Прекрасно !Какой Вы умница. Восхищаюсь!

Очень круто. Красиво!!!!!

Вопрос к знатокам: можно ли придумать универсальный алгоритм решения таких уравнений, разложив тессеракт, подобно тому, как раскладывали квадрат и куб, придумывая формулы/алгоритмы решения квадратных и кубических уравнений?

Для тех студентов, которые не умеют группировать. _(Будет очень утомительно.)_ *Решение Феррари* I. Соотнесем коэффициенты с формулой x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0 x⁴ + x³ − 2x² − 3x − 3 = 0 II. Подставим их в уравнение резольвенты y³ − by² + (ac − 4d)y − a²d + 4bd − c² = 0 y³ + 2y² + 9y + 18 = 0 Нам нужно найти КАКОЙ-НИБУДЬ один корень (здесь по теореме о рациональных корнях ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18) (видим, что положительными корни быть не могут) (перебираем корни −1, −2, −3, −6, −9, −18) y₁ = −2 III. Подставим в уравнение x² + ax/2 + y₁/2 = ±√[(a²/4 − b + y₁)x² + (ay₁/2 − c)x + y₁²/4 − d] x² + x/2 − 1 = ±√(x²/4 + 2x + 4) Увидим под корнем формулу квадрата суммы _(она там будет всегда)_ n² + 2nm + m² = (n + m)² x²/4 + 2x + 4 = (x/2 + 2)² Преобразуем уравнение и получаем x² + x/2 − 1 = ±(x/2 + 2) Получаем 2 уравнения x² − 3 = 0 и x² + x + 1 = 0 (x² − 3)(x² + x + 1) = 0 Решаем x² − 3 = 0 x₁,₂ = ±√(3) и x² + x + 1 = 0 x₃,₄ = [−1 ± √(−3)] / 2 _(если знаем комплексные числа)_ = [−1 ± i√(3)] / 2 = −½ ± i[√(3)/2] _(тригонометрический вид)_ = cos(2π/3) ± i sin(2π/3) _(показательный вид)_ = e^[±i(2π/3)] Ответ: x₁,₂ = ±√(3), x₃,₄ = e^[±i(2π/3)].

Как всегда интересная подача материала. Смотрю все новинки с удовольствием. Благодарю автора и желаю творческих успехов и новых интересных видео! С уважением Татьяна

Спасибо за утреннюю зарядку для мозга .

Большое спасибо очень хорошее объяснение я поставил паузу и решил уравнение оказалось я решил точно также как вы объясняли

Рассуждения, которые предваряют преобразования, неубедительны. Проще признать, что в данном случае мы просто угадываем ход решения. Если идти в поиске решения логичным путём, то следует несомненно нарисовать эскиз графика левой части. (это не сложно сделать). После этого становится очевидным, что левая часть разлагается на два квадратных трёхчлена, у одного из которых отрицательный дискриминант, а у другого положительный. Это существенно продвигает нас на пути к поиску решения. Но угадывать приходится всё равно. Как говорила наша преподаватель Вентцель, задача решается методом внимательного всматривания.

Отличная задача и решение.

Я ожидал, что Валерий будет использовать красивый способ неопределённых коэффициентов.

Великолепно!

Что значит "нам повезло" или "нам не повезло"? Почему нельзя строго его решить универсальной формулой?

Спасибо большое)

Спасибо, всё понятно

Понятно, но сама бы не догадалась. Надеюсь, это дело практики

Напишите программа вуза?И какой факультет? пжста

а почему нет целых корней? схема Горнера не работает здесь. Почему? если иррациональние корни тогда не работает?

Здорово!

Я после первой строчки Вашего решения группировал так: x^2-3+x(x^2-3)+x^2(x^2-3). Дальше как у Вас :)

(x^2-1)^2-4+x(x^2-3)=0, Дальше (х^2-3)(х^2+1)+х(х^2-3)=0, (х^2-3)(х^2+1+х)=0. Ответ: sqrt(3), -sqrt(3). Интересная задача.

Круто! Большое спасибо

Спасибо!

Добрый день. Когда дошли до выражения x^2(x^2 + x + 1) - 3(x^2 + x + 1) = 0 то можно поделить обе части уравнения на эту скобку. Получим сразу х^2 - 3 = 0. И не надо будет париться про дискриминанты.

Было всё понятно, спасибо. Освежил свои знания

Ну вот ,вот так надо объяснить всё ясно и прикрасно 😃

Понятненько

Спасибо, ты меня спас!

Это ж гениально

Круто!

Отлично

Можно ведь его решить методом Феррари. Плюсы: 1.Не нужно подбирать корни. А что если все корни комплексные числа? 2. Не нужно придумывать никаких группировок, можно все четко по алгоритму и получить результат.

спасибо, помог

Поясните пожалуйста, почему все-таки пустое множество? Мы в школе учим писать нет корней. Обосновывая тем, что задание решить уравнение, т.е. найти корни, удовлетворяющие равенству, а не найти множество... Раньше я тоже быстро писала значек, а на курсах профессор пояснил разницу. И что так детей учить нельзя! Так все-таки это принципиално важно? Каково ваше мнение?

да, а у меня свободный член 24, очень круто и православно

А как быть с уравнением с сумасшедшими коэфициентами, в котором не повезёт с их группировкой?

Очень интересно! А есть какая нибудь литература, где можно подобные задачки посмотреть? (Может сборник задач по темам)

Уравнение x⁴+x³-2x²-3x-3=0 можно решить без метода неопределённых коэффициентов. Для этого его приводим к виду (x²+a)²+b(x+c)+d=0, где a,b,c и d числа, причём а≠0, b≠0, x - переменная. Применяя данные методы, получаем уравнение (x²-1)²+x(x²-3)-4=0. Далее, используя формулу сокращённого умножения и способ группировки, получаем новое уравнение:(x²-3)(x²+x+1)=0; т.е. x⁴+x³-2x²-3x-3=(x²-3)(x²+x+1). Решая 1-ый множитель, находим корни: ±sqrt3, 2-ой множитель не имеет корней(отриц. дискр.). Итак, уравнение x⁴+x³-2x²-3x-3=0 имеет 2 корня: x1=sqrt3; x2=-sqrt3.

Крутяк!😀

Добрый день! Расскажите о методе неопределенных коэффициентов, пожалуйста. Например, для уравнения: x^4-2sqrt(7)x^2+x+7-sqrt(7)=0 Заранее спасибо)

Спасибо

Не помню,почему первое выражение отрицательное.забыла кое какой смысл.50 лет.как закончила школу.но помогать внукам надо.переносим 1 на другую сторону с минусом.и дальше объяснения если можно

спасибо

Есть ли общий принцип решения уравнений 4-й степени, подобный принципу решения квадратных уравнений?

Круто

Вот честно-не понимаю ничего в этом шараханьи иксов, цыфр... Что мы нашли, глядя на ответ????? Что это? Эти цыфры можно подставлять вместо икса? И если все это прибавить, вычесть, то будет этот самый-ноль? Как в самом уравнении??? Тоесть 1,732 подставить вместо икса, провести банальное сложение, вычетание и получим ноль?

👍

Почему при отрицательном дескреминанте нет корней? А как же комплексные числа?

Я не понял. Откуда и как вы нашли х^2-3х^2 уже четвертый раз смотрю не понимаю.

Иногда лучше чуть подумать, чем решать это в столбик.

Формула Феррари?

идея понятна

Я сам решил:) Свернул по произведению выражений: (x^2 - 3)*(x^2 + x + 1) = 0, получил x = +- sqrt(3).

Почему если коэфф-т старшей степени единица, то мы смотрим делители свободного члена?

Добавить и отнять x^2.😁

А можно через теорему Безу решить?

а если не повезло?

Ваше решение тоже интересное. Моё выше.

Интересно, но для уравнения четвёртой степени формула Феррари есть.

1минутная пример, а нету у вас потруднее, который нужно думать долго

Бальшоя спасіба ви в краткам абйснялі но панятна пасіба ішорас✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨🔥✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨

(x²-6x)²-2(x-3)²=81

Очень сложно. Проверять сразу нужно не только делители, но и их квадратные корни. Тогда сразу все очевидно

Это почти такое же возвратное уравнение?

Метод Феррари?)))

Ты просил пару слов в комментах

А я только Горнером умею😅

Несколько слов

Можно было сразу предположить, что множители у 3, кроме +_1, +_3, могут быть +_ корень из 3

Я думал методом Феррари решите

ВСЕМ ПРИВЕТ. ПРОВЕРКА ДЕЛИТЕЛЕЙ СВ. ЧЛЕНА ЭТО ХОРОШО ,А ДАЛЬШЕ СГРУППИРОВАТЬ ИКС В ЧЕТВ. СТЕПЕНИ,ИКС В КВДРАТЕ И МИНУС ТРИ И ИКС В КУБЕ И МИНУС ТРИ Х...

Из графика очевидно, что уравнение имеет ровно два корня. Следовательно очевидно, что многочлен разлагается на два линейных двучлена и неразлагаемый квадратный трёхчлен.

А если бы такой метод не прошел?

А комплексные числа теперь в школе не проходят?

опять развратное уравнение?

Пара слов

Микрофон так свести, что больно слушать

корни плюс минус корень из 3 угадываются за 1 мин, далее деление многочленов. Решается в уме, видео не смотрел. Для 6 летних детей из физматдетсада.

нихрена не понятно не умеет объяснять

Спасибо!

👍