ПОЧЕМУ НИКТО НЕ МОЖЕТ ДОВЕСТИ РЕШЕНИЕ ПО КАРДАНО ДО КОНЦА ? | РАЗБОР НА КОНКРЕТНОМ ПРИМЕРЕ 

Все верно. Эта ситуация называется неприводимым случаем Кардано, когда дискриминант кубического уравнения меньше нуля. В этом случае уравнение имеет 3 действительных корня. Мы же рассмотрели случай когда уравнение имеет 1 действительный корень и 2 комплексно-сопряженных.

@@mathgim ну там в принципе можно по формуле разложения расстояния z, cos(f)+i×sin(f). Там по формуле упрощения куб. Радикала есть нюанс, когда выводил, что под-множитель корня должен быть максимальным, иначе она не будет работать. Либо придется решать ещё одно неполное куб. Уравнение.

С формулой вы верно подметили! Поэтому мы и не остановились на подкоренном выражении 44+9sqrt(24) и продолжили преобразование. Для формулы важно, чтобы под квадратным корнем было целое число из множителей которого квадратный корень нацело не извлекается.

У Вас ошибка в формуле, в которой вложенный куб. радикал не зависит от а. Устремите в ней а к бесконечности, левая часть уйдет в бесконечнность, а правая не измегится.

@@user-fk3gf9vm8x, вы не можете устремлять "a" в бесконечность или просто его увеличивать, не меняя при этом второе слагаемое под куб. корнем т.е. b*КОРЕНЬ(с), потому что они на самом деле связаны! Первое слагаемое под куб. корнем a=-q/2 для формулы КАРДАНО, а второе слагаемое b*КОРЕНЬ(с) получается через арифм. преобразования выражения КОРЕНЬ(DELTA), где DELTA=(q/2)^2+(p/3)^3 - корень из дискриминанта куб. ур-ия. Т.е. если растёт a растёт и b*КОРЕНЬ(c) и наоборот. См. док-во формулы автора из его ТГ и мой пост выше.

Меня тоже все смущает. Потому что если взять за а х, то есть переменную, а за b и c константы, то мы приравниваем по факту выражение от x^1/3 и от х. Но так нельзя, а со вторым выражением вообще бред: очевидно же, радикал возрастает по а, оно же х, а сумма двух корней вообще константа. Смею предположить, что это лишь приближение такого радикала

@@user-qq8kp5cw8x это не для вообще всех случаев a b c работает, а только для тех, которые бывают в формуле Кардано. Никакого бреда нет, просто автор ролика об этом не упомянул. Хотя мог бы и подоказывать немного, чтобы таких вопросов не возникало...

Ну кагбэ сложный радикал ещё у Джорджа Шубриджа Карра в “A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics” аж 1886-го года расписан. Жаль что мало кто таким интересуется. 😉

Или sqrt[3](2 ± sqrt(5)) = (1 ± sqrt(5)) / 2, но по формулам извлечения на экране ответ (1 ± sqrt(5)) / 2 не получится...

1 1 1 тоже прекрасно работает

Не работает для 1 1 1 🤪

Работает оно для 1 1 1​@@alexandermorozov2248

​@@hannoiiчто? В каком месте? Если напрямую посчитать ³√(1+1*√1), то очевидно, что это будет ³√2. А по второй формуле, где первый элемент не берётся, будет √((1-1)/3)+√1, что очевидно равно 1. По твоему ³√2=1?

@@RedstoneAndCB я имел в виду 1 1 1 работает как контрпример, я ж не дурак

Наверно, я подставил значения a = 10, b = 18, c = 3 и формула не работает, тоесть их две, а значения получаются разные, тем более то, что ответ не зависит от a, это полный бред, пусть a будет 1000000000000000 например

a, b, c НЕ независимые величины, которые можно двигать туда сюда т.е. увеличивать\уменьшать одну из них без изменения остальных, поскольку они связаны формулой Кардано для куб. ур-ия, где промежуточная переменная y через которую потом находятся конечные x, считается так: y = КУБКОРЕНЬ(-q/2+КОРЕНЬ(ДИСКРИМИНАНТ)) + КУБКОРЕНЬ(-q/2-КОРЕНЬ(ДИСРКИМИНАНТ)) = КУБКОРЕНЬ(a+b*КОРЕНЬ(c)) + КУБКОРЕНЬ(a-b*КОРЕНЬ(c)) Ну т.е. после преобразований показанных автором в этом видео получается уже правая часть рав-ва из базового вида формулы корней куб. ур-ия. При этом ВАЖНО понимать, что ДИСКРИМИНАНТ зависит от q/2 т.е. иначе говоря с и b (если брать формулу из этого видео) зависят от a и значит их нельзя менять отдельно друг от друга! Поэтому, судя по док-ву из Телеграмма автора - всё верно!

​@@RealalexandroВ доказательстве из Телеграмма очень умело (и скорее всего, намеренно) спрятана ошибка. Перепутаны следствие и эквивалентность. Эта формула будет верна только если соблюдается некоторые алгебраическое соо соотношение чисел a, b, c. А эти числа вообще можно считать формальными переменными. И выражать через них коэффициенты исходного уравнения. Следовательно, для любых значений a, b и c существует уравнение, которое решается через них. В том числе и для тех значений, которые явно не удовлетворяет формуле из видео. В комментариях привели кучу таких примеров.

@@user-qj5ld3vy7j, конкретно в каком пункте или в каком переходе в выкладках из pdf в ТГ ошибка? Где именно там "перепутаны следствие и эквивалентность"? Эти числа a, b, c нельзя считать формальными переменными (если вы под словом "формальный" подразумеваете, что они взаимоНЕзависимы!) потому, что они по сути берутся из "алгебраического соотношения" коэффициентов куб. ур-ия. Говорить что под любые a, b и с из формулы можно подобрать соответ. куб. ур-ие - на мой взляд это не верно т.к. как вы сами (и я тоже) сказали, что a, b и с должны находиться в определённом алгебраическом соотношении, чтобы можно было из них корректно посчитать коэфф. куб ур-ия обратным счётом. Как же вы можете составить куб. ур-ие с использованием проивольных a, b и с из контпримеров, если не знаете как они будут связаны через коэф. p, q и Дискриминант куб. ур-ия, которое вы ещё не нашли??? А их соотношение как раз зашито в этом ур-ии. Т.е. тут связь односторонняя, а не двусторонняя! От куб ур-ия мы легко можем прийти к a, b и с под вложенным радикалом и потом использовать формулу для его раскрытия. А вот в обратную сторону составлять ур-ие не зная заранее как они связаны в явном виде с коэфф. этого куб. ур-ия - задача не тривиальная. В любом случае такое смелое утверждение требует такого же формального док-ва, как требует его и опровержение док-ва из ТГ.

​​​@@RealalexandroВ Телеграмме все сведено к решению системы уравнений. С первого взгляда может показаться, что в этой системе две неизвестных. Но на самом деле, неизвестная лишь одна - s. Все остальное - параметры. Я думаю, Вам не нужно объяснять, что система из двух уравнений с одним неизвестным не всегда имеет решение. По сути там было доказано, что ЕСЛИ представить кубический корень в виде суммы рационального числа и квадратного корня МОЖНО, ТО это делается так. Но, естественно, это возможно далеко не всегда. Попробуйте "извлечь" куб корень(5+10√3) по этой формуле и сами во всем убедитесь. Эти числа соответствуют уравнению x^3+куб корень(7425)x-10=0. Да, его коэффициенты не целые. Но автор этого и не требовал. Можно рассмотреть уравнение x^3+3x-8=0. После применения к нему формулы Кардано, вынесите за кубический радикал множитель 1/3 (никто не запрещает). Под радикалом получится выражение, для которого формула имеет смысл, но не верна. Возможно (не могу утверждать), если все коэффициенты исходного уравнения целые, оно имеет рациональный корень, а после ПОЛНОГО упрощения получится, что b>c, то формула действительно будет работать. Но во-первых, это все надо оговаривать, а во-вторых - доказывать. Строго говоря, в Телеграмме неявно сказано, что формула работает лишь тогда, когда существует. А ее существование очень туманно объяснено наличием рационального корня (как раз здесь перепутаны следствие и эквивалентность). А в видео эта формула вообще преподносится так, как будто верна всегда, в отрыве от начального уравнения.

Число c должно быть не извлекаемым из корня. У вас же с равно 1, а корень из 1 равен 1. А значит у вас будет корень(a+b), так как с уходит. Поэтому у вас и не получилось

Если не верится можете доказать это тождество(я этим не занимался, но думаю всё получится)

@@HopeOfMankind_ Может, и могу, но лень. Доказательство займёт время, а у меня есть и другие дела.

@@HopeOfMankind_ , зачем доказывать, когда док-во и так уже опубликовано автором в ТГ? Достаточно просто поискать в нём ошибку! ;) Тут народ никак не может понять, что a, b, c для этого "хитрого" извлечения куб. корня из вложенного радикала НЕ ПРОИЗВОЛЬНЫЕ параметры!!!, которые можно менять не зависимо друг от друга. a, b и с получаются из коэф. куб ур-ия, и их величины взаимозависимы, поэтому бессмысленно строить контрпримеры на конкретных цифрах, если эти цифры (a, b и с) не посчитаны на базе коэффициентов p и q для куб. ур-ия канонич. формы y^3+py+q=0 (которое всегда можем получить из общего вида ax^3 + bx^2 + cx +d =0 через замену x = y- b/3a). Короче говоря, пускай сомневающиеся ищут ошибки в общем док-ве, потому что играть произвольными значениями a, b, c в данном случае не корректно :)

​@@user-bi4eo3ys1f но время писать комментарии же есть - значит и дела подождут

Когда мы приводим уравнение к каноническому виду (виду x³+px+q=0), мы делаем замену х=y-b/3a

@@higenharinson9207 а ни фига просто к другому виду записи привык

В приложении к видео есть ссылка на вывод этой формулы

Она не доказывается, она неверная.

Конечно не работает, так как на самом деле формула более сложная и выполняется при двух условиях: 1) выражение a² - b²c должно быть кубом целого числа d, то есть a² - b²c = d³ 2) уравнение y³ - 3dy - 2a = 0 должно иметь целый корень у тогда ∛(a + b√c) = y/2 + √(y²/4 - d) В данном примере a=44 b=18 c=6, соотвественно d=-2: 44² - 6∙18² = (-2)³, у=4 как корень уравнения y³ + 6y - 88 = 0. Это приводит к ∛(44 + 18√6) = 4/2 + √(4²/4 - (-2)) = 2 + √6 Но проблема в том, что формула бесполезная, так как чтобы найти целый корень кубического уравнения нужно упростить кубический радикал, а чтобы упростить кубический радикал нужно найти целый корень кубического уравнения. В этом вся суть неразрешимых случаев формулы Кардано.

правильнее- не всегда может быть решено радикалом

Использовать символ корня √: 🚫🚫🚫 Использовать символ галочки ✓: ✅️✅️✅️

См. мои посты выше и док-во из ТГ автора. Насколько я вижу из этого док-ва, с этой формулой всё верно поскольку a, b, c на самом деле взаимосвязаны через коэфф. куб ур-ия. Поэтому нельзя строить контрпримеры с произвольным подбором значений a, b и с!

@@Realalexandro в смысле ? Автор назвал эту формулу : формула вложенного радикала, при чем тут кубическое уравнение ? Кто сказал, что эта формула работает только для коэффициентов из кубического уравнения

​@@OlegLomakin756, а вы вообще, уважаемый, название видео хотя бы читали, начало видео с получением реш. куб. ур-ия смотрели, док-во автора в привязке к куб. ур-ию в ТГ открывали? Я с Вас люди просто худею иногда! )) Главное задвинуть свою точку зрения, ни во что не вникая, ну просто из собственного эго начать её педалировать по типу: "А кто сказал это, а кто сказал то...? А вот автор ничего про это не говорил и.т.д. Вы как персонаж из рассказа "Срезал" Шукшина (почитайте кстати) - главное "прокукарекать", а потом хоть не рассветай, чесслово:) Без обид, как говорится, но имеющий уши да услышит, а имеющий глаза да увидит - и ролик и док-во. Там и в видео и в док-ве формулы всё ТОЛЬКО ПРО КУБ. УР-ИЕ в привязке к ф-ле Кардано, а не про какие то абстрактные радикалы вообще! Мало того, в док-ве особо подчёркнуто, что корень извлекается т.е. формула работает только тогда, когда под куб. корнем стоит выражение, кот. может быть свёрнуто в полный куб т.е. когда у куб. ур-ия есть 1 действительный - либо целый, либо рациональный корень при D>0 (такой критерий во всяком случае утверждает автор!). В ответ на ваш вопрос - А кто вам сказал, что эта формула не работает для решения куб. ур-ия, полученного из его коэффициентов для случая D=(q/2)^2+ (p/3)^3 >0 (т.е. когда 1 действительный корень) и когда этот корень целый\рациональный - видите какое сужение поля "рабочести" формулы Вы упустили! Я вот несколько конкретных ур-ий с этим случаем разобрал у меня каждый раз упрощались куб. корни до целого\рационального. Но утверждать, что это всегда работает, я пока что не могу. Составьте контр-пример, где в куб ур-ии есть 1 рациональный корень и D>0 (это и значит что действ. корень будет 1), но при этом в рамках формулы Кардано извлечь куб. корень из двух радикалов, чтобы получить исходный рац. корень в явном виде (используя формулу автора) невозможно!? Либо докажите в общем виде, что для радикалов в ф-ле Кардано это не работает\не всегда работает\работает только при определённых критериях. Если вы это покажете, я первый Вас поддержу. Другое дело, что мы не всегда можем заранее увидеть, что ур-ие имеет рациональный корень (целый то заметить проще) и потому не будем знать стоит ли вообще пробовать упрощать формуле. А если мы этот рац. корень и так видим то и формула Кардано с извлечением радикала по идее вообще не нужна.

@@Realalexandro там все гораздо проще, автор рассматривает только случай s + √c, но вообще-то нужно рассматривать случай s + q√c при q не только равных 1. Например, для уравнения x³ + 15x - 2954 = 0 нужно упростить радикал ∛(1477 + 603√6) который равен 7 + 3√6. Или для уравнения x³ + 21x -50 = 0 нужно упростить радикал ∛(25 + 22√2) который равен 1 + 2√2.

А ответ на этот вопрос такой. Давайте вернёмся к выражению a+b*c^(1/2) = (s+q*c^(1/2))^3 Тогда a = s^3 + 3*s*q^2*c, b = 3*s^2*q + c*q^3. Фактически, мы должны ответить на вопрос, существуют ли у данной системы решения в целых числах. Иными словами мы пришли от вопроса "существуют ли решения исходного кубического уравнения в целых числах?" к вопросу "существуют ли решение системы кубических уравнений в целых числах?" Только в первом случае уравнение было одно, и перебирать надо было только делители свободного члена, а теперь уравнений два, и перебирать надо вообще всё на свете. Нет, у можно ещё попробовать не в целых числах искать? Но тогда зачем вообще всё это? У вас в итоге соберется полный куб из месева квадратных и кубических корней внутри, вы скинете внешний кубический корень, а проблемы останутся. Я надеюсь, теперь все понимают, почему в учебниках на этот вопрос ответа нет?

@@koleso1v Зато можно сказать что q нужно искать среди делителей b. То есть для ∛(99 + 70√2) формула не сработает, а для ∛(99 + 35√8) уже сработает. По сути это примерно также как находить корни среди делителей свободного коэффициента, только чуть сложнее. То есть среди делителей b нужно найти такой q, что 1) выражение (b/q -cq²)/3 есть квадрат целого числа s 2) значение a равно s(s² + 3c) Тогда ∛(a + b√c) = s + q√c Правда лучше сразу домножить на 2, так как в реальности s и q могут быть полуцелыми.

В приложении к видео показано в каких случаях формула работает.

Он изначально должен быть суммой двух радикалов, иначе не работает эта формула.

А нет таких формул. Если выражение под кубическим корнем есть полный куб, то корень получится убрать. Если нет - нет. в данном случае 44 + 18*sqrt(6) = (2 + sqrt(6))^3. Потому и извлекается хорошо кубический корень.

Да конечно формула не верная но и опровержение не верное (a+b)^n≠a^n+b^n при n≠1 a≠0 b≠0 А вы не верно раскрыли куб

@@pro_faitex___5153 Да, извините, куб неправильно раскрыт, но всё равно даже если подставить значения, то ничего не получится. А вообще мне это вывел chatGPT, интересно, как он такое мог выдать... А я и не заметил.

В приложении к видео указано в каких случаях формула работает.

Кубический корень упрощается тогда и только тогда, когда выражение под корнем - полный куб. Если это не так, то никакие преобразования не помогут.

А как ты ещё полное кубическое уравнение в полном виде решать будешь?

@@thewa1er402 Привести к каноническому виду путем линейной замены. Потом сделать замену новой переменной на u + k/u. Ну а дальше легкотня.

@@s1ng23m4n не, так нельзя

​@@s1ng23m4nдальше не легкотня, а ровно те же проблемы, что на видео.