Данная последовательность сходится при х < e^(1/e) =1.44667... !! Возрастает и ограничена сверху числом е ! То есть результат никак не может быть равен 4! А это значит, что уравнение, о котором Вы упомянули в конце, РЕШЕНИЯ НЕ ИМЕЕТ! Можно решить две задачи.1) По заданному значению х < e^(1/e) вычислить значение "лесенки" . 2) По заданному значению "лесенки" ( y
@@GeometriaValeriyKazakov Вы показали это для х=sqrt(2), и это совершенно правильно. Для х=1.44 "лесенка" будет равна 2.3938.... При х=1.4446 у=2.675... и т.д.
Освежите в памяти теоремы о пределе последовательности и увидите, и услышите. 1)Теорема Вейерштрасса: всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Что и доказал автор ролика. 2) Писать ".. предел
@@SB-7423 Послушайте я прекрасно знаю теорему Вейерштрасса. И именно согласно этой теореме доказано что предел существует. Но не доказано что этот предел равен именно 2. Он вполне может быть равен например 1.9. Это ничему в доказательстве не противоречит. И когда я пишу что доказано что предел существует и
@@konstantinvolchenko3183 Во-первых, сильно меняет! Еще раз, предел-это число, он может быть только равен. Во-вторых, автор решает уравнение x^x^x^x... =2!!! Предполагая, что есть сходимость и решение есть. Ничего другого, кроме 2, там быть не может, иначе это уже другое уравнение. Если Вы хотите 1.9, то решайте уравнение x^x^x^x... =1.9. Оно тоже имеет решение, но, конечно, другое.
Я бы предложил доказать, что из того, что предел существует, следует корректность показанного в самом начале приёма: учитывая, что имеется бесконечная последовательность, можно рассмотреть последовательность без первого возведения в степень и считать, что её предел равен тому же самому.
Я эту хохмочку с бесконечностью знаю. Т.к. ∞ -1 =∞. То сложная степень самого нижнего икса равна 2. Откуда x^2=2. Откуда х равен корню из 2. а вот про минус нужно подумать.
Посмотрела ваш ролик и вспомнила старый анекдот: Решили в ЦРУ выяснить, какие меры длины, веса и обьема используют в разных странах, собрали совещания агентов из разных стран. Агент, который шпионил в России, говорит: - У них помимо международных метрических единиц есть мера "до х&я", но что это значит, мы не знаем. Отправили двух агентов в Россию, приехали они на поезде, видят - на станции сидят отдыхают бригада обходчиков. Шпионы спросили к них: - А что такое "до х&я"? - Ну вот идите вдоль линии и считайте шпалы. Когда будет "а на фига это надо"? то это половина "до х&я".
Есть похожий анекдот, но про гуманитариев. В школе ЦРУ идёт урок русского языка. Агент тянет руку. -Сэр, в предложении "Мужики, кто последний за водкой?" где должен стоять неопределённый артикль ..ля?
Извините, но Вы доказали, что 2 есть верхняя грань последовательности (т.е. ограничивает эту последовательность сверху). Но это еще не предел последовательности.
Согласен. Вот контр-пример, который показывает, что "решение и доказательство" автора не "работают" как нужно. Берём уранение x^x^x...= 3 . Находим "решение" x=корень степени 3 из 3. "Проверяем": последовательность возрастает? Да. Последовательность ограничена сверху 3-кой? Да. Но!!! Предел последовательности не равен 3. Короче, из того что автор доказал методом индукции, что последовательность в исходном примере ограничена сверху 2-кой, ещё не следует что предел равен 2.
Ведь вы доказали, что слева от равенства есть запись (!) числовой последовательности, сходящейся к 2. Стало быть уравнение, где справа 4 или другое число не имеет решения. Так же как не имеет решения (действительного) уравнение sinx = 2.
Во всем видео есть фундаментальная ошибка, бесконечность - это не число, это не значение. К нему нельзя применять операцию равно (следует из определений равно и бесконечности)
В общем вы правы, но в данном случае всё можно сформулировать совершенно строго, и тогда станет видно, что автор и не пытался интерпретировать бесконечность как число. В строгой формулировке нужно рассматривать последовательность выражение с конечным числом степеней, причём к каждому следующему члену который добавляется одна операция возведения в степень. Каждый член этой последовательности это нормальное число, никаких бесконечностей. Бесконечное (счётное) только число членов этой последовательности. А для такой последовательности применимо определение предела, причём предел может либо существовать, либо нет.
@@GeometriaValeriyKazakov Одна из предельных точек дзета-функции Римана на вещественной оси, Шабата читал очень давно, самому интересно, но ничего не понимаю в аналитическом продолжении и вычетах, связанных таинственным образом с интегралами.
Для уравнения x..=4 рассуждение такое: если решение существует, то оно удовлетворяет уравнению x^4=4, те x=Корень(2). Но поскольку доказано, что это корень для другого уравнения, вывод: для x=4 решения нет.
Решение уравнения базируется на предположении, что оно таки существует. А, вдруг, решение его просто не существует. Отсюда, из неверного изначального предположения, получаются неверные выводы, неверные решения...
3:15 что мешает установить однозначное соответствие между одной точкой единичного отрезка и двумя точками отрезка длиной 2, если представить последний отрезок как два единичных отрезка? Тогда точек будет ×2 раза больше. Подвох в том, что у более длинного отрезка плотность точек будет меньше.
@@GeometriaValeriyKazakov Вы мне не поверили? Я же привел Вам результаты! "Там нашли..." - это обо мне? "Именно к 2 . Абсолютно верно." Но только для х=√2. Так за что же спасибо @AlexeyEvpalov?
Можно даже с такой стороны взглянуть: чётные тетрации (натурального) нуля ²ⁿ0 равны единице, а нечётные ⁽²ⁿ⁺¹⁾0 - нулю: определённо в районе нуля у степенных башен что-то нечисто.
если без скобок, то самый верхний х будет показателем для х, который ниже его, а вот если основание х с первой степенью х взято в скобки, то самый верхний х будет показателем уже для основания, возведённого в нижнюю степень
если левую часть обозначить за t... потом прологарифмировать по основанию два... то получим, что логарифм икс по основанию два = 1/t... а t у нас равно два... значит х=√2
Намечу последовательное и полное рассмотрение задачи. Введем отображение X(n+1)=2^(X(n)/2). Сперва задаем X(1), потом по нему вычисляем X(2), по X(2)- X(3) и т.д. Сразу видно, что у этого отображения есть две неподвижные точки. Если мы выберем X(1)=2, то все последующие отображения будут равны 2, если 4- 4. Также легко увидеть, что если теперь мы возьмем в качестве X(1) любое действительное число меньше 2, X(2) будет лежать к двум ближе, чем X(1) X(3) ближе, чем X(2) и т.д. При этом все они будут лежать левее двух и достигать неподвижной точки равной двум лишь в пределе бесконечно большого n. Теперь выберем X(1) в интервале ( 2, 4). Обнаружится почти аналогичное поведение, но только теперь последовательность X(n) будет приближаться к двум уже с правой стороны, и каждый последующий член будет лежать к двум ближе, чем предыдущий. Наконец рассмотрим начальные условия правее 4, обнаружится, что это неподвижная точка будет, напротив, отталкивать от себя, т.е каждый следующий член итерации будет монотонно возрастать и, следовательно, удаляться от неподвижной точки 4. Итак, 2- аттрактор, притягивающий к себе все начальные значения, меньшие четырех. И в пределе бесконечно больших n X(n) будет равно 2. В нашем примере начальное значение равно корень из двух, и оно, тем самым, притянется к аттрактору равному 2. Вот, собственно, и все.
А что насчет3? И как это помогает решить задачу в общем виде : x^x^x^x... = M ? Я Вас правильно понял, что если X(1) в интервале ( 2, 4), то при 3 будет приближение к 2, но справа?
@@SB-7423 Именно так , 3 тоже притянется к двум, поскольку неподвижная точка 2- аттрактор для всех действительных чисел, меньших 4. Что касается общей задачи, надо посмотреть. Но схема рассуждений будет прежней.
@@GeometriaValeriyKazakov А где здесь решение?? Вот его-то как раз и нет. Результат полного решения (без подробных выкладок) я привёл давно. Я вот жду ответа на вопрос: что значит, что 3 притянется к двум?
Обращаем внимание на заголовок. Понимаем: релятивистское замедление времени в системе преподавателя😂. "Решаем за 1 секунду😂" Ох и далёк он от народа 😂😂😂.
Да, решение, конечнчо, быстрое. Но как показано в ролике - есть нюансы. Правда, этот "народ" (это не про вас) страшно далек бывает от математики. Ничего, поправим.
Исследуем общий случай. a^a^a^..., где а -любое положительное число, Для этого строим отображение X(n+1)=a^(X(n) и ищем для него неподвижные точки. Они определяются уравнением X=a^(X). Для нахождения корней, построим два графика-первый- показательной функции Y=a^(X), второй- прямой Y=X. Точки пересечения этих двух графиков как раз и дадут нам искомые неподвижные точки. Очевидно, что при a больших e^(1/e) эти два графика не пересекаются, поскольку показательная функция лежит всюду выше прямой Y=X. Численно это а=1.44...., что лишь на несколько сотых больше корня из двух. Далее, при a больших 1, но меньших указанного выше значения, , показательная функция пересечет прямую в двух точках. Меньшая из них устойчивая, она и является пределом последовательности. Отмечу, что при граничном значении, а=e^(a/e) прямая касается показательной функции, т.е две неподвижные точки сливаются в одну. Но а при больших значениях отображение неограниченного растет. При а меньших одного, показательная функция монотонно падает, и у отображения всего одна неподвижная точка, при этом- устойчивая, т.е при любом начальном значении X(1) следующие итерации отображения будут последовательно к ней приближаться . Описал все вкратце, в действительности, задача весьма любопытна. Но все детали мне сложно изложить в этом формате
Ну-да. Корень из двух сразу видно, что подходит. Другое дело, что не вполне понимаю, как это доказать корректно. Ведь используются бесконечные величины, даже актуально бесконечные, а не потенциально.
А между любыми двумя сколь угодно близкими точками числовой оси содержится бесконечное множество рациональных и иррациональных чисел, причем этих рациональных сколько же сколько вообще всего рациональных и их можно перенумеровать, а иррациональных сколько же сколько вообще всего действительных и их перенумеровать принципиально нельзя
Let us take cheap Chinese calculator (using Excel notation): power(sqrt(2),sqrt(2))=1.632..; power(1.632.., sqrt(2)) =2 (ups!!); power(2,sqrt(2))=2.665... Метод индуйции очень опасен. В данном случае, произошла подмена в неравенстве - то, что т меньше двух ппринято за факт, хотя именно это и должно быть доказано.
Метод индукции опасен только тогда, когда он применяется без соблюдения всех условий теоремы о методе индукции. Если таких незадачливых «математиков», которые делают такую ошибку, нет, всё безопасно.
Про бесконечное количество точек на отрезках разной длины: легко доказывается, что если один отрезок вдвое длиннее другого, а число точек одинаково, то размер точки одного отрезка вдвое больше размера точки другого. Это возможно потому, что точки относительно отрезков имеют нулевую длину, а про относительно друг друга у точек таких ограничений нет. Эту мысль нужно додумать, уж больно она нетривиальная
А если предподожить , что прямая не состоит из точек, бесконечна и однородна. А мы лишь можем поставить точку , в любом её месте. Кто нам дал право дискретизировать отрезок или прямую на точки?
@@GeometriaValeriyKazakov математика просто придумала себе несуществующую проблему, которую пытается решить. Если точка на столько мала, что не имеет размера, то ёе просто не существует. А если таки имеет размер, то их количество на отрезке ограничено. По этому мы просто можем поставить точку , где хотим.
«Кто нам дал право дискретизировать отрезок или прямую на точки?» Никто и не утверждает, что континуум дискретизируется. (А автор видео, возможно, вас просто не понял, а вашего второго комментария, допустим, не читал.) Грубо говоря, вы представили себе в голове воображаемую вами математику и сами же пытаетесь с этой воображаемой математикой полемизировать.
Угу, т.е. с четвёркой не сработало, а с двойкой всё прошло нормально. С тройкой тогда, по этой логике, получается 50/50: (или встречу, или не встречу) - или сойдётся, или не сойдётся (или сойдётся, но не к тройке}.
Вот контр-пример, который показывает, что "решение и доказательство" автора не "работают: Берём уранение x^x^x...= 3 . Находим "решение" x=корень степени 3 из 3. "Проверяем": последовательность возрастает? Да. Последовательность ограничена сверху 3-кой? Да. Но!!! Предел последовательности не равен 3. Короче, из того что автор доказал методом индукции, что последовательность в исходном примере ограничена сверху 2-кой, ещё не следует что предел равен 2.
@@GeometriaValeriyKazakov «Я лишь показал, что...» Надо было более чётко это сформулировать. Множество замечаний на эту тему говорит о том, что вы по крайней мере не выразились достаточно ясно, мне так кажется. И саму задачу следовало бы сформулировать построже, в виде явной последовательности, а то смысл «бесконечного выражения» тоже не все поняли. Немного добавочного занудства не помешают. А вообще задачка (и класс таких задач) очень поучительна, и ваши рассуждения тоже.
Немного не в тему. В мои студенческие годы (1969-1974) , на лекции по эл. Технике преподаватель нас предупредил ( человек был с юмором), что если какой-нибудь умник , повторит ответ, который ему выдал один нерадивый студент, то о зачете можете не мечтать ( о стипендии тоже). История такая . Вот ты ( Лентяев), после окончания ВУЗа поедешь в свою деревню и твой дед тебя спросит : ну-ка внучек , а об’ясни мне старому. Вот у нас по улице стоят столбы и по ним протянуты три провода , мне интересно что идет по этим проводам? Ответ внучка . По одному проводу идеи ток , по 0:44 второму напряжение , а по третьему cos фи .😊 0:15
Бесконечности бывают разные. Бесконечность + бесконечность = бесконечность. Или бесконечность х бесконечность = бесконечность. И так далее... в бесконечность ... ))))))))))))))
Ну, это смотря какие бесконечности брать и как их складывать и умножать - там привычные правила уже могут не работать. Для _ординалов_ (с учётом порядка) ω + ω = ω·2 > ω, а для кардиналов (без учёта порядка) ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀, т.е. разницы действительно не будет.
@@GeometriaValeriyKazakov Под недавним роликом вашего коллеги-ютубера на эту же тему тоже все спорят о бесконечностях, проводя аргументы типа того что *∞ + 7 = ∞* и рассуждать о математических выражениях в терминах бесконечности не имеет смысла (и в этом есть правда - для определения значения такого выражения нам понадобятся пределы, а они уже работают с конечными последовательностями операций).
Это известная теорема математического анализа. См., например в Википедии статью "Лемма о вложенных отрезках". Кто знаком с математическим анализом, читайте хорошие учебники по МатАн-у.
Вы имеете в виду, что мир, отображённый на карте, бесконечен? Если это не так, утверждение заведомо неверно, общей точки, вообще говоря, не будет, и доказывать нечего, достаточно опровергающего примера.
Точно так же 2 может равняться 16 и т. д. - любому чётному числу. Нечётная, отличная от нуля, приводит к кубическому корню из трёх при всех кратных значениях.
@@GeometriaValeriyKazakov мало что понял, потому просто поверю. Тогда как доказать, что при x^(x...)=3 кубический корень из трёх - единственное решение? Так же?🤔
@@zawatsky А что именно не поняли. 1 шаг заменили x^x^x... на 2. Получили x=\/2. Все. Доказали, что послед. возр и огр числом 2. Значит, все у нас верно. Насчет тройки вряд ли так пройдет. Подумайте, может кто подскажет.
@@GeometriaValeriyKazakov допустим, x^(x...)=9. Тогда x⁹=9, x=⁹√9. 3^(²/₉) это уже меньше, чем ³√3 - получается, что для нечётных степеней парадокс не работает. Это если я правильно посчитал.
@@GeometriaValeriyKazakov функция с бесконечной лесенкой степеней=a сходится к 2 при х равном корень из двух (а также к другим значениям из указанного далее промежутка при других значениях, при этом х=a^(1/a)только на отрезке [1/e; e], а вообще корень таких уравнений 1+эпсилон.
В стандартном матанализе нет никаких «бесконечно малых величин». (В нестандартном - есть, но его мало кто знает.) Есть ещё «бытовое» изложение матанализа (типа для техникумов), совершенно нестрогое, и там «бесконечно малые величины» можно понимать только фигурально, что может приводить и парадоксам, которые, по сути, не математические, а так называемые «лингвистические», то есть возникающие из-за произвольной трактовки понятий, не определённых строго. В топку!
@@Micro-Moo Вы это серьезно, или это шутка такая? Возьмите любой солидный учебник матанализа и внимательно прочитайте хотя бы ОГЛАВЛЕНИЕ. Например, Фихтенгольц. Том 1, Глава 1. Там есть параграфы о бесконечно малых, бесконечно больших, о сравнении бесконечно малых и пр. Или Фихтенгольц( или любой другой) излагают нестандартный(?) матанализ?. Всё ещё надеюсь, что это шутка, не очень удачная.
если башня из х равна эн, то х равен корню энной степени из эн., поэтому ничего удивительного в том, что для эн четырёх и эн двух получаем равные ответы. док-во элементарно получаем логарифмируя обе части по х. Буря в стакане кефира,
@@DmitryKrechet> Натуральные - подмножество рациональных Ну, строго говоря (технически, с точки зрения конструирования различных множеств), это не совсем так: не _подмножеством_ (самим по себе), а множеством, _изоморфным_ соответствующему подмножеству, т.е. у каждого натурального числа есть свой _представитель_ среди рациональных, но это не _то же_ самое натуральное число (по конструкции и свойствам), различия просто критические. Но на их счётность это никак не влияет, так что здесь всё в порядке.
@@allozovsky если представлять множество рациональных чисел как множество несократимых дробей, а множество натуральных чисел как множество мощностей конечных множеств, то да.
Да, всё верно - я именно об этом. Если такие представления для разных множеств не различать, то тогда становится очень сложно понять, когда (и почему) 0⁰ = 1 и (−2)² = 4, а когда это как минимум нельзя с определённостью утверждать (в зависимости от определений степени, которые мы используем) и лучше оставить их неопределёнными - со степенями различия в свойствах нагляднее всего проявляются.
Это не похоже на решение. Если последнее значение башни степеней будет равно 2 то и результат будет 2 , а если 4 , то 4. И получается , что результат не зависит от количества степеней. Если бы мы двигались к нужному результату , то после каждого возведения в степень результат бы немного изменялся но возводя корень из 2 мы всегда получаем 2 или 4.
@@GeometriaValeriyKazakov логика подсказыаает, что это уравнение , вообще не имеет решения. Производя действия над иррациональными числами невозможно получить целое число.
@@SDD39 "извлекая" корень, мы получаем приблизительное рациональное число, которое при возведении в степень не равно целому. но в этом случае действия НЕ с иррациональными, а приближенными рациональными
В целом, я считаю этот канал самым лучшим на RU-vid. Самый вдумчивый и дотошный пользователь, я о Казакове. Надеюсь, что мой коммент ему придется по душе.
