✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной  

Это лучшее доказательство, представленное на данный момент в комментариях :-))

@@alxsam505 А главное, практическое.

А если магазин по пути? 🤣🤣🤣

@@AxanX Чисто геометрически - это случай из ряда вон выходящий. Но, позвольте, мы же в магазин заходим, тратим там шаги и время.

@@AxanX тогда треугольник вырождается, все точки на одной прямой. Но сумма 2х сторон всё равно не меньше третьей. (орфографию подправил)

Может цикличное?) или даже рекурсивное

@@MrGrig оно именно что рекурсивное, поэтому циркулярное, а не циклическое

Может две равносильные теоремы? Доказав одну из них независимым способом, получаем вторую в подарок.

@@-wx-78- ага 2 по цене 1...

не хватает третьего утверждения.... а третье утверждение.... трушин крут и знает всё потому что хорошо учился ))

Не доказательство, а определение

@@fullfungo4476 в случае с интегралом действительно нужно определение, а в случае с этими двумя утверждениями - ещё одно доказательство.

Интеграл это предел сумм Дарбу, чел

Помню, препод сказал, что если услышит на экзе, что интеграл - это площадь, выше трёх в самом лучшем случае не светит. хД

определённый интеграл. и его геометрический смысл.

@Epsilonic1987 Хотел бы я посмотреть на это. Наверное, сумма их радиусов должна быть больше?

@@Zlobny-Kotyara Да

Это аксиома

А пока вы отвернетесь, возьмут и дотянутся!

хуевое доказательство это когда используется слово "очевидно", нет, не очевидно епт

@@trigeminalneuralgia9889 я сам ненавижу, когда что то доказывают этим словом Но в данном случае если они впритык друг другу, а если взять короче разве не само собой они не дотянутся друг до друга?

то, что вы привели - это даже не доказательство, а просто какое-то взмахивание руками. Легче было просто сказать "очевидно"))

@@user-vl7zq6qm3i как не доказательство? Если три отрезка физически треугольник не могут составить, разве это не доказывает, что такого не бывает?

Если хотите совсем строго, то читайте Гильберта. И там будет значительно больше, чем пять аксиом.

А как кстати вы это доказываете, если число пи определяется как отношение длины окружности к диаметру?

Это интересная идея, надо запомнить

@@benismann К сожалению, это утверждение не является аксиомой. И даже не определением прямой. Т.е. данное утверждение нуждается в доказательстве. Для меня это неожиданная новость, никогда не задумывался о том, почему кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Очевидно жеж :-))

Так утверждение что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая, по сути просто переформулировка неравенства треугольника

А вот на счет неевеклидовой вы не правы, там кратчайшим расстоянием может быть и не прямая

@@alxsam505 можно векторами доказать

+

Тут есть предмет для разговора.

Возьмите задачник Шеня по геометрии.

@Sergey Petrov спасибо за рекомендацию! 👍

Блин, даже буквы А и Б как у меня, ну что ты будешь делать! А если серьёзно, хотелось бы видео вот про что. Есть аксиомы и правила логики. Из утверждения А выводим с помощью их утверждение Б. Хотелось бы умные слова про аксиомы послушать, откуда мы их взяли и как это вообще работает? Т.е., мы говорим, что вся геометрия работает при условии, что работает определённый набор аксиом? В конечном итоге, всё на вере зиждется? Или как?

@@opschpiglung Вся геометрия держится на нескольких аксиомах, из которых уже доказываются теоремы.

@@nnr75 Именно об этом я и говорю. А верность аксиом откуда берётся? Как по мне, этот вопрос куда глубже геометрии как таковой и уже куда-то в сторону позитивизма отправляет вдумчивого подписчика.) Но Борис это сможет объяснить, думаю, лучше, чем я.

@@opschpiglung, по поводу аксиом есть хороший ролик у веритасиум, который Vert Dider на русский перевели. Рекомендую посмотреть

@@opschpiglung, "слабое место математики" называется

Можно сослаться на то, что равнобедренный треугольник при симметрии переходит в себя

Тут знающие люди говорят, что это не аксиома. Хорошо, пусть не аксиома. Но это определение прямой? Пусть будет "По определению".

Все пропало. У прямой нет даже определения.

@@alxsam505 ага, рАвно как и у точки

А неравенство ломаной как вы доказываете?=)

Это как в Википедии, одна статья ссылается на другую и так до бесконечности

«ч.т.д.» - поймет, закрашенный квадрат - не общепринятое обозначение, мне кажется

@@trushinbv спасибо

это есть уже ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-ecsSmmBY56Q.html

Чтобы избавиться от x^2

К сожалению, цикл есть. Он обязан быть, если у Вас получается на первый взгляд принципиально разными способами доказать какое-то утверждение. Если разные доказательства приводят к одному и тому же утверждению, то факты, использовавшиеся в доказательстве А должны быть взаимосвязаны с фактами из доказательства B, просто, скорее всего, Вы не замечаете эту связь. Её заметить можно, если копнуть глубоко, просто где-то это легко заметить, как в примере, который привёл Борис Викторович, а где-то это сложно заметить. Ваш случай очень глубокий, нужно копнуть в понятие площади многоугольника (уже это очень глубокая вещь), копнуть в понятие синуса и косинуса. Крч, надо посмотреть самые истоки возникновения той или иной теоремы, определения, использованных в доказательстве, потом уже будет видно, что одно определение, понятие невозможно без другого, а значит, что доказательство может содержать круг как раз в этом. Надеюсь, смог хотя бы как-то пояснить

Поэтому должно получиться, что Ваше какое-то доказательство не может быть до конца честным, так как оно само частично как-то состоит из фактов, теорем, построение которых зависит от фактов и теорем из другого доказательства, если другое доказательство само является честным

Этот факт доказывается в самом начале геометрии, тогда мы ещё не знаем, что около любого треугольника можно описать окружность.

Можно

В математических задачах «несколько» - это любое натуральное число

Ну на пальцах производная функции - это её скорость роста. Вот едет машина. Расстояние от времени - это исходная функция, а скорость от времени - это её производная.

@@vasily_maths , спасибо

А почему гипотенуза больше катета?

@@janovewaldner9762 из теоремы пифагора доказывается. Пусть a^2+b^2=c^2. Заметим, что b^2>0. Тогда a^2

на момент прохождения этой теорема школьники еще ничего не знают про теорему пифагора, она проходится позже

@@fullfungo4476, один из способов доказать теорему Пифагора -- через площади. Если Вы копнёте в понятие площади многоугольника, попытаясь разобраться в каждом моменте на уровне "а почему?", то заметите, что Ваше доказательство содержит частично замкнутый круг. Такие доказательства очень тонкие, так как они используют более мощные средства, а не такие простые, как отложение сторон, углов. Просто может получиться так, что теорема Пифагора, доказываемая с помощью понятия площади многоугольника использует в себе скрыто те самые отложения сторон, углов или чего-нибудь другого, что является простым средством. Но тогда зачем Вам такое доказательство, оно становится бесполезным, если для него самого нужны простые средства, которыми можно сразу доказать исходную теорему в видео

Про объем есть ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-RCjgyF_Ox2g.html

@@trushinbv , у меня тут на днях возникла любопытная задача с интуитивно понятным утверждением, но не самым тривиальным доказательством. Условие очень короткое: периметр треугольника, вложенного в другой треугольник, гарантированно меньше периметра объемлющего (то есть, большего) треугольника. Борис, может быть, Вы предложите красивое и короткое одновременно доказательство этого утверждения? Буду ждать :)

Верно) Правда геометрию в седьмом классе редко кто строит из аксиом. И в вузе даже на математических предметах теория даётся строже, но всё равно почти везде не на аксиоматическом уровне (сужу по МФТИ).

Системы аксиом, задающие Евклидову геометрию, бывают разные.

Да, именно так и надо показывать, что любая сторона всегда меньше суммы двух других, это самое простое и очевидное объяснение. Но вряд ли кто-то захотел бы смотреть такое видео, это слишком скучно и просто.

Это хорошо, но докажите, что радиус окружностей будет меньше соответствующих сторон. Вы опять вернулись к началу.

@@kolegg по условию он сторит окружности из концов отрезка и они пересекаются прямо на нем

@@kolegg да ну, по-моему очевидно, что построить треугольник возможно тогда и только тогда, когда окружности, построенные на вершинах бОльшей стороны, пересекают друг друга. А из этого вполне очевидно, что сумма их радиусов (равных сумме меньших сторон) больше, чем длина бОльшей стороны.

@@idioluh5838 эта очевидность полностью равнозначна предположению, о неравенстве треугольника, которое и пытаемся доказать.

Как я понимаю, у прямой нет определения (это как "точка" и "лежать между" - неопределяемое понятие)

@@Arik_Averok у прямой должно быть определение и свойства в виде аксиом (или определений), чтобы отличать её от других кривых

@@Arik_Averok смешно

@@humaniora_for_all а какое определение прямой предложите вы? Если про то, что любая часть прямой - отрезок, то это не так, потому что отрезок - это часть прямой. Если про то, что длина отрезка меньше длины любой другой кривой, соединяющей две точки, то сначала надо разобраться, что такое длина. И с тем, что у прямой нет ширины надо разобраться. Кажется, Евклид предлагал определить, что прямая - это то, у чего есть длина но нет ширины (но это по очевидным причинам не правильно). Предложите свое определение (а заодно и определение точки)

@@Arik_Averok Прямая - пересечение двух плоскостей, точка - пересечение двух прямых.

Нет, этот ответ не подходит, потому что остатки равны 2021, 1, 3, в сумме дают 2025 - не простое.

пусть a,b,c - стороны, A,B,C - углы против них. Без потери общности a

В данном случае это не прямое и обратное утверждение, а одно и то же. Пример: если доказано, что А>B, не нужно дополнительно доказывать, что B

@@user-wp9lc7oi3g Нет, тут доказано что из A ("угол больше") СЛЕДУЕТ B ("сторона больше"). Но обратное в общем случае не верно, и из B очень даже не обязательно будет следовать А,. Слова "ну это очевидно" плохо работают в случае как сейчас, когда и изначально доказываемое утверждение тоже в общем-то было очевидным, но его решили доказать строгим образом. Тут следовало проявить последовательность и идти до конца: ничто не очевидно пока не будет доказано.

@@Zzzzzzzzzzzzzn А, извиняюсь, не правильно понял комментарий.

@@Zzzzzzzzzzzzzn ну в данном случае с меньшей стороной нет смысла доказывать т.к. оно просто аналогично с большей Есть тре-к возьмем меньшую сторону и продлим ее пока она не станет равна боковой, ну а далее так же через суммы углов доказываем, что на против нее наименьший угрол

В теореме Пифагора неявно предполагается существование треугольника.

@@-wx-78- так и в этом доказательстве тоже предполагается существование треугольника. Никаких проблем не вижу.

А меня в такой ситуации мучил вопрос: Если высшая степень переменной, допустим, четвёртая, то количество корней равно 4 или не больше 4? Я к чему - если в квадратном уравнении дискриминант =0, то у уравнения 1 корень или 2?

@@Zlobny-Kotyara 1 корень, имеется в виду не больше чем ... корней

@@Zlobny-Kotyara Корней ровно столько, какова степень полинома - просто некоторые из них кратные.

Ну, есть следствие теоремы Безу, что если а -- корень многочлена P(x) то его можно представить в виде P(x)=Q(x)(x-a). Поэтому P(x) можно представить в виде P(x)=T(x)(x-a1)(x-a2)...(x-an) где числа а1, а2, ... , аn все корни многочлена. Отсюда получаем, что степень многочлена не меньше числа корней

@@Zlobny-Kotyara там всегда два корня потому что степень второй. Просто корень кратный, когда D = 0. Попытаешся сказать что корень один и получишь по ебле при разложении на множители. У тебя там должен получится полный квадрат. В школе любят говорить что корень один и это ошибка. Любой многочлен степени n всегда имеет n корней.

Это интуитивное рассуждение, на основе здравого смысла и опыта. Но не доказательство в математическом смысле:) . На математическое доказательство есть определённые ограничения

@@nalnal9608 возможно, я потому и спросил)

Вы сейчас сложно пересказали аксиому: кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Одной этой аксиомы достаточно для доказательства.

@@alxsam505 жаль только нет такой аксиомы)))

@@nalnal9608 Да, действительно такой аксиомы нет. И даже определения прямой нет. Мы все умрём.

То что сумма двух других сторон больше третьей и вправду очевидно, а вот факт про углы уже не так очевиден. Кстати, попробуйте методом пристального взгляда решить задачку из последнего видео на моем канале.

Вы собираетесь вести индукцию по континуальному множеству?) Тут даже трансфинитная индукция не поможет)

@@vasily_maths потому и истинное испытание! Признаться, мне самому интересно, существует ли вообще способ провести индукцию по подобным множествам. Я могу представить чтоб она была возможна для рациональный чисел например, и каких-то других математических структурах. Думаю найду ответы когда буду знакомиться с вещественным анализом и топологией)

«Вытекает из циркуля» это такой новый метод доказательства? - Я тут нарисовал что-то. Выглядит как будто теорема. - Ладно, фиг с ним, доказал.

@@fullfungo4476 Sapienti sat

Точнее отрезок, а не прямая. Но прямая является неопределяемым понятием, и поэтому мы как бы сразу не знаем, что отрезок - это кратчайшее расстояние. А так да, факт очевидный конечно.

Потому что в конце учебника написан весь список системы аксиом, в котором постулат Евклида заменён на его эквивалентное утверждение, аксиому Прокла, которая не использует в своей формулировке углы. Сама же аксиома Прокла утверждает:"Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной". Эта аксиома проще, очевиднее, да и мне кажется, она лучше, потому что не охватывает ничего про углы и можно будет доказать из него как раз утверждение Евклида

Интересно. Вопрос: раз одно и то же утверждение можно доказать и через пятый постулат, и без него, то не будет ли это доказательством пятого постулата?

@@user-qj5ld3vy7j, так не должно получиться. Если так получилось, то, скорее всего, либо у Вас есть лишняя аксиома (то есть теорема, которая принята за аксиому по какой-то причине), либо одно из доказательств просто есть некоторое усложнение второго доказательства. То есть факты из доказательства А сами строятся на фактах из доказательства В, но по какой-то причине Вы не уловили эту связь и приняли их за принципиальное два разных доказательства. Уже много встретил примеров в комментариях доказательств теоремы из видео через более мощные средства, как теорему Пифагора и теорему косинусов. А что конкретно Вы такого видели, можете поподробнее? Не могли бы рассказать про эти доказательства?

@@user-qj4wz9td7l Утверждение: Если при пересечении двух прямой третьей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Доказательство через постулат привели в основном комментарии. Доказательство (как мне кажется) без постулата: 1) Пусть отрезок секущей, лежащий между прямыми AB. О - его середина. Проведём перпендикуляр ОА' к той прямой, на которой лежит точка А. 2) Построим отрезок ВВ' = АА'. 3) Острый угол А = острый угол В (по условию), АО = ОВ (по построению), AA' = BB' (по построению). => треугольник AA'O = треугольник BB'O => угол AOA' = угол BOB', угол OB'B = угол OA'A = 90 градусов. 4) Угол OB'B = угол OA'A и A, O, B лежат на одной прямой => A, O, A' лежат на одной прямой. Первоначальные прямые перпендикулярны прямой AA' (по п. 3) => прямые параллельны. ч. т. д.

@@user-qj5ld3vy7j, а что Вы приняли за аксиому? Просто доказательство, которое Вы привели -- из Атанасяна. У Атанасяна немного другие аксиомы, у него не пятый постулат Евклида взят за аксиому, а эквивалентная ему -- аксиома Прокла. Автор комментария использует аксиому Евклида, но не аксиому Прокла, поэтому у него и удивление, почему такое сложное доказательство. В учебнике доказательство сложное, потому что аксиома Евклида не взята за аксиому, а за аксиому взята аксиома Прокла, эквивалентная пятому постулату Евклида. Пятый постулат Евклида: Если сумма внутренних углов α и β меньше 180°, то две прямые, построенные бесконечно, пересекаются с этой стороны. Автор комментария говорит, что если бы вдруг сумма внутренних односторонних углов была бы равна 180° (как и получается из утверждения теоремы), то прямые не могли пересекаться, ибо, согласно пятому постулату Евклида, сумма внутренних односторонних углов была бы меньше 180°. Ну, это не сама формулировка аксиомы Евклида, потому что Евклид говорит, что если вдруг сумма внутренних односторонних углов оказалась бы меньше 180°, то прямые пересеклись бы. Но обратного он не утверждал, что если прямые пересеклись, то сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то есть она может быть и равна 180°, если они пересеклись, но если вдруг она меньше 180°, то 100% пересекутся. Но, возможно, обратное можно доказать (мб, он упустил это, так как это легко сделать, похоже) и тогда автор комментария доказал с помощью формулировки Евклида необходимое и достаточное условие параллельности прямых. Аксиома Прокла: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если для Вас аксиомой является аксиома Прокла, то пятый постулат Евклида доказывается просто. Вы доказали необходимость параллельности прямых, давайте я Вам докажу теперь и достаточность этого условия (не забываем, что аксиомой у нас является аксиома Прокла, а не аксиома Евклида, её мы выведем). Вы доказали, что если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Достаточное условие (обратное): если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны. Доказательство: a||b, c пересекает b и a. Предположим, что накрест лежащие углы не равны. Тогда через точку пересечения b и c проведём d, которая образовала бы равный накрест лежащий угол с прямой a. Но если накрест лежащие углы равны, то d||a. Тогда, получается, через одну точку мы провели d||a(по построению) и b||a(по условию). А это противоречит аксиоме Прокла, следовательно, d совпадает с b, то есть накрест лежащие углы у a и b равны. Теперь выведем пятый постулат Евклида: Доказательство: Сумма односторонних внутренних углов меньше 180° по условию. Предположим противное, что всё-таки а||b. Но как мы уже доказали, тогда накрест лежащие углы равны. А если они равны, то отсюда следует, что сумма внутренних односторонних углов равна 180° -- противоречие условию. Следовательно, мы доказали пятый постулат Евклида, что если сумма внутренних односторонних углов

Так нужно ведь для любого треугольника доказать.