【ゆっくり解説】なぜ三角形の内角の和は180°になるのか？ 実は例外もある？ 

固定した方がいいですよ！

11:07 の東に1km行く道のりは特定の条件下でない限り「曲がったように見えて曲がっていない」ではなく曲面上でも曲がっています 曲面上ならどんな曲がった線でも直線になるわけではない

リーマンの三角形モデルは、極点以外の頂点が赤道上あるときしか成立しないはず。リーマンの第五項順は「一本の直線に交わる同位角を同じくする直線（平行線）は交わる（ある直線外の一点を通り、その直線と交わらない直線を引くことはできない）」であり、地球儀の緯線のような線を直線とはしていない。動画内にあった南→東→北の場合、東を直線(測地線)とすると北極から離れた方に進んでしまい北1kmでは北極点に戻れない（まあ，誤算範囲だろうけど）。 まあただ、わかりやすく説明する論法としてはアリだとは思う。

15:28 三角形の定義に3辺が線分とあり、線分とは直線の一部を切り取ったものであるため、三角形の一辺は直線の一部である必要があります。 (なので動画内の「直線である必要は無い」は間違い) ただ直線の定義は二点間を結ぶ最短の曲線であるため←これが重要 動画内のおにぎり型の横の2辺は線分と呼べます。 動画内のおにぎり型の底辺が直線でないという主張は返信欄の他のコメと被るため割愛します。

曲面上で考えているのに最後は平面上から見たら駄目なのでは？[曲面上で]という条件が最後に無くなっていると思うのですが、なぜよいのか教えて欲しいです‼️

前提として「ユークリッド平面における」というのがあるってことですね

そもそも論としてユークリッド幾何学の第五公理(平行線公準)は2次元空間が前提にあるので、3次元以上の空間だと「同一平面上にある2直線」とちゃんと言わないと捩れの位置にある2直線とかがどっかで交わることになりますしね。

線分の定義が「直線」だし 球体上の3点結んだ線では「曲線」なので 三角形の定義の段階から外れてますしね

ﾔｰｰｰｰ!!!!

このあたりは日本語で学ぶのは無理があると考えます。 平面planeはsurfaceのうちの一つの形態に過ぎないのですが、 surface→表面(曲面&平面) plane→平面 のように“面”という同じ漢字を使うのが不幸の始まりだったと思います。さらに 2次元→平面 3次元→立体 みたいな感じで理解が限定されるのが問題ですね。 例えば“海がない完全に球体な陸地しか持たない惑星”があったとします。海はおろか、山も谷もないこの星では自動車だけあればいかなる場所に行くことが出来ます。高度という概念がないのですから、飛行機が発明されることもありません(と、考えてください)。 自動車はアクセルによる前進後進にステアリング操作が加わりますが、これ以上の操作をする裁量はドライバーにはありません。このような前後左右にしか選択権が無いことを 『自動車は自由度２の乗り物である』 と表現します。(ちなみにレールのみを走ることを許された電車は自由度１です。) この惑星でステアリングを全く切らずにニュートラルのまま(直進)するとします。左右方向の自由度を放棄することになりますが、“道のり＝距離”という最短距離という利益を得ます。いつかはスタート地点に帰ってきます。ドライバーは 『直進したまま一周してきた』 と感じるでしょうが、これを神の視座から見れば 『球を真っ二つにする切り口を描いた(曲線)』 ということになります。 つまり、自由度2の幾何学における直進というのは“定規的な真っ直ぐ”を意味しないのです。 与えられたフィールドでステアリングを真っ直ぐにして車を走らせた(最短距離移動)ときのルートが“そのフィールドにおける直線”なのです。 “面”という漢字が濫用されていたり、大学ではじめて“自由度degree of freedom”という概念に触れる日本ではユークリッド幾何学はハードルが高いのです。 こういった“教育上制約”のあるなかでうぷ主さんがこの動画を上げたのは慧眼だと思います。

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文系脳というか受け入れるかどうかだから。仕様一部変更したら嫌いになったと言ってること一緒だから

@@user-hs3oy3qk6x だめだ例まで出してるのにそれ含め全く何言ってるか分からない

文系関係あるか？？

@A I 文系だけど入試だとみんな数学使う…

会社の営業範囲をマップルで地図を印刷してつなぎ合わせて、壁に掲示するための（せいぜい20×30km程度の範囲を2×3mに）でっかい地図を作ろうとしましたが、どんなにピッタリ合わせて貼り合わせても、端に行くにしたがってズレてしまった……という経験があります。 「もしかして、曲面を平面に投影したために生じた誤差では？」と一緒に作業していた上司に言ったところ、「そんなバカな」と言われましたが、私はそうに違いないと確信しています。 日本地図ならなおさらですね。

なるほど…いやぁ到底私が考えられないことがコメントされてるのって妙にかっこよく感じてしまうね。

伊能忠敬の地図と現代の地図を重ねると現代の方が東西に長いのはおそらくその理由だったというのをどこかで見たような気がします。

@@shoji2444 地球一周の1/1000（40km）もあれば、誤差は肉眼で見える！

@@juuxlb9401 そうですよね！ やはり張り合わせた地図がずれたのは、投影の誤差ですね！

ユークリッドさんよく聞くなぁとか思ってたけど想像以上にエグかった

@@user-vw1ph8qr5s ユークリッドさんがまとめたらしい原論は触れてる分野の多さから、「ユークリッドさん」が個人じゃないとか、実在しないとか言われてるらしいよ

卑弥呼これわかってたんかなぁ 俺はわからん

贐

な～んだ邪馬台国の距離が合わないのはこのせいか。

これ受験で出やすいからなって言われた難しい問題も大体出す

出ないんですけどって言ったのも出る

一家に一台欲しい先生だな。俺にもくれよ。3000円か？

@@user-zp8hk3sh9u 安すぎだろ！ww

やっべ分かんね、頭いいねあなた。

見る方向によっては真っ直ぐな線ではない、なら有ってる？

空間に対しては直線、って考えると単に人間の見方が歪んでるのかな。 メルカトル図法だと飛行機の航路がひん曲がって見えるけど、正距方位図法だとちゃんと最短距離に見える。みたいな

「コリオリの力」と似たような考え方？

錐体を真横から見ると三角形的なことかな？

哲学的な話だね。対象の図形を三角形であると判定するかどうかは、その図形の感取者が三角形のイデアを想起するかどうかによる。 人間の主観において、三角形を三角形として存在させるためには、その図形に三角形のイデアを見出さなければならない。

定義大好き理系先輩に認識についての哲学通じない人いそう

確かに！ スイカを切ったときの外の皮の形ですね

本当に偏差値19？

なるほど

@@dx7208 91だったかもしれん、、

@@YY-jq7rk やべぇーや

正二角形もあり得ますね、球面上であれば。

学校で教わる数学は何百年前からそれ以前に発見されたもう検証され尽くしたものだからね

｢またなんかやっちゃいました？｣ ｢なんだこいつ｣

紀元前のエジプトに行ったら四則演算程度じゃ鼻にも掛けられないかもな

微分方程式ができればワンチャンあるかも

@@AKAMA07 それできれば現代でも十分ではないか

正確に言うと単なる曲線ではダメで「測地線」と言うのが正しい表現です。測地線と言うのはザックリ言えば「距離が最短になる線」と言うもので、地球のような球面上では「曲線が測地線になる」と言う事です。

@@final-bento 補足ありがとうございます！

@@final-bento ありがとうございます、この説明で腑に落ちた気がします

@@final-bento ｢単なる曲線｣が｢測地線｣となるような曲面を考えれば良いのでは？

@@user-sl9wy7if5g と言うよりある曲面上で「両端を結ぶ距離が最短」と言う条件を満たした曲線の事を測地線と言うわけです。測地線って見た目はあくまでも「単なる曲線」なので。

まあ間違いではないけれど、、

数学として間違ってないからとか言い張って明らかな鋭角に直角マークつけるのが意地悪って言ってるんだよなぁ

@@acht9687 以下ループ

ありえますね。 北極点から南に進んだ距離より、東西どちらかの方向に進んだ距離が長ければ、ABとACのつくる角は90度より大きくなりますから。 ただ、北極点から南に1㎞、そこから東回りに半周、そこから北へ1㎞で戻った場合、三つの点は曲面上の1直線上にあるので三角形の定義に認められるかは疑問ですが。 90+90+180=360が認められるかはともかく、90+90+90＝270の三角形が認められる非ユークリッド幾何学なら内角の和が360よりも小さい三角形に矛盾はないと思います。 内角の和が360より大きく540より小さい範囲は定義によると思います。 「2点を通る直線」の基礎概念に「最短距離」がありますから。 点Bと点Cを結ぶ線により短い線があるのに長い方を三角形を構成する線として認めるのかどうかの定義次第です。 ユークリッド幾何学では一つの角が180度を超えた時点で他の二点を結ぶ直線の位置が反対側に移動して180°より小さい方が三角形の内角として扱われますし。

そもそも地球は完全な球体ではなくイビツな形なので、三角の大きさによっては実際の地形に合わせると何度になるかは、やってみての世界だと思われます。

@@user-dk8bd4yh9n この場合は実際の地球ではなくて、完全な球体である地球を仮想して角度の議論をしているわけです。

そうなんだよな　線分は直線の1部なんよ

そうなんだよね、実際余弦定理も三平方の定理を拡張したものにすぎないし、四元数もそうだからね。たぶんAを斬新でエレガントな方法で破壊した人が後世に天才として語り継がれるんだと思う

@@wd.eclairgreen 常識を覆す大発見も、実は積み重ねで出来てる ケプラーの法則→万有引力の法則 電磁気力の各式→マクスウェルの公式→光速度不変の原理 みたいに

もっと論理学寄りになると、Aが偽ならA⇒Bは常に真になるっていう面白い話もあるよね

@@user-xl2bg8qc8j それについては、数学の教科書に、きわめて直感的ですけれどわかりやすい解説がありました。「AならばBである」は「『Aであって、かつBでない』ことはない」と同値であると考えればよい云々。

っ…!!がない。やり直し(過激派)

論理のあふれた世界で俺だけが教わらない

文系的には、「脳」という概念そのものが存しないのではないかと。

ガウスはおそらく発見していたと考えられているし傍証もあるが、それを論文という形で発表しなかった。

応用面からでなく純粋な幾何学的的興味からだったようですね。 『直線Lと点Aがある。Aを通りLに平行な直線は一つしか作図できないことになっている』 『もしも、二本以上引けたらどないなるんや？』 みたいな感じでしょうか。

ご回答ありがとうございます。我々が普段の航海計算で使用している公式も誰かが導き出したもの。先人たちの探求心には脱帽です。

@@miyakomaritime さん、 研究を進めた人たちにしてみたら 『未来の人たちがワイの式つこて船動かしとる！そんな大それたこと考えとらんかったわ。ただの趣味やったんやがなあ……』 なんて思うかもしれません。 『ん？“一つだけ”？なんやケチ臭いな増やしたろ』 『ん？“一つだけ”？男らしく無くしたろ』 のような“無邪気？”な発想が新しい数学を作り出したのですね。 (航海術への応用は“平行線が一本もない”タイプだと思います。)

大航海時代には、赤道付近しか移動しなかったので、リーマン幾何学は航法として必要とされませんでした。 技術的に緯度は簡単に測れましたが経度を測ることは難しかったので、目的地との緯度を合わせて、東西に移動する手法が一般的でした。 北極探検をしようとしたり、飛行機で最短距離を飛ぼうとすると、必要になるのですが。

@@merdekaataumati1949 さん、 『まずは緯度が合うことだけに注意して船出すでぇ。』 『船長、目的の緯度に達しました！』 『よっしゃ、ほんなら今の緯度をキープしたまんま東西方向オンリーの移動に移るで！野郎ども行くぞ！』 『ウィ・ムッシュ！』 ということだったのでしょうか？ 高校生に世界史を教えていて“大航海時代でスペインがねぇ……”なんて選らそうに喋っていたのですが、このあたりは全くの無知でした。 ありがとうございます。これからの講義に使わせていただきます。 緯度は北極星を見ればわかるとしても(北半球限定になるのでしょうけども)、経度は時刻の概念がありますから……よく考えたら“現在地の経度把握”って現代でも難しそうな気がします。 看板や標識はもちろん、目印となるような山なんかがない海の上を進むというのはものすごいことだったんですね。

平面上ではそれで構わないわけですが、曲面上では普通に言う「直線」が存在し得ないので、代わりに「測地線」と言う概念を使って三角形等を定義する事になるわけですね。そうすれば動画で言っていたように「曲がった辺だけどれっきとした三角形」と言う話になります。

測地線って言った方がわかりやすいか？

曲がるのは角じゃない、 折れるのが角、くらいの緩さで考えると そんなもんかって思えるかと。

そんなこと言ったら直線も曲線だし無数の点の集合体な訳だから深く考えると死ぬぞ

私らの大半は、リーマンというと「サラリーマンの略称」としか思わないでしょうね。

めっちゃ数学やりすぎて日本語不自由になっちゃった？

伸びないな。俺は好きだけど

好きな人はすき

万人受けはしないとおもうよ

おもんない 再生数のためならなんでもしそうな感じがすげえきらい。。

@@unchi_bury_bury まあ人によって違うからね

ね、理解出来んけどなんか楽しい

知識のひけらかし合戦。マウント取り合戦。

もっと一般化すると、曲面上に描かれた三角形の内角の和は180°より大きい(ことがあるではなく)。 訂正: 楕円幾何学では180°より常に大きく、双曲幾何学では180°より常に小さい。

@@jojxi 小さくなることもあるでしょう

×3点を結んだもの ◯3点を直線で結んだもの この辺になると、法律の穴探しのような屁理屈との闘いになるよなぁ

@@user-yw4ux7sz6v ざんねん、直線ではなく線分。

@@user-iq7ft3zq9m ポンデリングの穴は、内角の和が1080度よりも小さい八角形の代表例ですよね。

・A'とC'の少なくとも一方は赤道上にない ・A'C'≠円周の1/4 を満たす経線AB上の点A'、経線AC上の点C'を結ぶ道なら距離変わる希ガス

@@ryosuke8093 なるほど、返信ありがとうございます！ それだと三辺が違う距離になりませんか？🤨 言葉足らずでしたね、三辺が同じ距離のときは、やっぱり1/4のときだけだと思うんです。

@@user-pu1tx7oy8r そうですね！

球面における直線は大円のみ。赤道以外の緯線は直線ではなくて、極を中心とする円。

わかりやすい！

クッソどうでも良いマジレスをするのであれば、地球は自転や公転による遠心力で赤道の方が若干長い(地球楕円体)ので、赤道をピッタリ1/4進んでも北極点から赤道までの距離とは完全には一致しない とは言うものの、せいぜい70km程度の誤差でしかないので270°の三角形と近似する事が出来る(ならなぜ言った)

地球はまん丸じゃなくって歪んでるよ

その三角形の面は地表ではなく地中にあることになよね？多分 だから普通の三角形ができる 球体の発泡スチロールで点とって切ってみて 早漏だったね

どういうこと？ 曲面上の直線3つ結んでできてる三角形だから、特に問題ない気がするけど。

@@user-fg6bs5gk7b 曲面上にまっすぐな線を直線と呼んでいいのかな？と思ったのです。 返信ありがとうございます。

えと、模式図が球体っぽく見えるので誤解しがちですが、非ユークリッド幾何学って言うのは三次元幾何学ではなく、平面幾何学の一分野なんですね。なので地面を貫いて（または空中を飛んで）二点を結ぶのは想定の範囲外なので、そこはご容赦ください。

@@norantula 納得です。 返信ありがとうございます。

線分は直線ではなく、2点を結ぶ「最短経路」が定義になってる。平面では直線=最短経路だけど、曲面ではそうではない。 例えば日本からブラジルへの最短経路を、穴を掘って進むと普通答えないのと同じ感じ

なんでや

適当言ってるだろお前w

x+y=zで草ｗ

赤道まで進んだ想定ならBACも90°ですねー 説明忘れですかね🤔

現在では「成り立たない(＝宇宙は曲がっている)」とされてますね。

@@final-bento え！

自分の聞いた話では「ほぼ平坦と言ってよい」となっていました かなり遠くの星x2と地球のなす角を観測したんだとか

平坦トーラスのように平坦で閉じた宇宙というのも考えられます。

今から30年以上前のことですが、当時出版されていた高校生向けの数学の啓蒙書に、二個の実数a, bに対して(a, b)という二元数を想定してから次の三条件 条件１：(a, 0)は a に等しいと定義する； 条件２：加算を (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) と定義する： 条件３：乗算を (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc) と定義する； を決めると、二乗して-1になるような虚数単位に基づく複素数や、複素数同士の加減乗除算を、演繹的に定義できる云々みたいなことが書かれていて、大いに感激した記憶があります。

確かに、場所によるけど80度くらいになりそう

なんで東に進むのだけ最短距離じゃないの？

@@fkfm34r それな 角Cとその反対側を持って、くるって回したらACに重なるから最短だと思う

自分もそう思います 最短距離ならちょっと上にかーぶしてるかんじになっちゃいますよねん

@@fkfm34r 極端な話、北極から本初子午線に沿って1m南に移動した点と、東経90度線に沿って1m南に移動した点を考えたとき、そこを経線に沿って繋いでも明らかに最短経路じゃなさそう、みたいな話です

ロバチェフスキー先生(非ユークリッド幾何学の始祖）も加えてあげてください。