【三平方の定理を使えない小学生が解けるの？】最難関中学のとんでもなく難しい図形問題【中学受験の算数】

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【難易度：★★★★☆ 】
2015年の渋谷教育学園幕張中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
①これ以上何も分かる部分がないので、まずは角度に記号をつけていきましょう。角度に⚪︎や×などをつけていくと、同じ大きさの角度がたくさん見えてくるはずです。
②同じ形の図形を見つけても、対応する辺の比から導くことも難しいため、補助線を引いていく必要があります。求める面積部分の正方形を内接させるような正方形を作ることを考えます。そうすると、問題の図形の右下の小さい直角三角形と同じ形の図形がたくさん出てくるはずです。
③あとは、正方形の特徴を用いながら辺の長さの比がどんどん出てくるので、大正方形から小さい直角三角形4つ分を引くことで求める部分の面積を求めることができます。
かなりタフな問題でしたね。
⚪︎+×=90°や同じ形の図形の対応する辺の比からどんどん紐解いていくことができる問題なので、難易度としてはそこまで高くない問題なのかなと思います。
ぜひ苦労の末に解けてほしい1問です。
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#中学受験 #算数 #図形

Опубликовано:

20 сен 2024

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Комментарии : 36

@Azuldiamante99 10 месяцев назад

全体から求めたい正方形以外の3つの三角形の面積の和を引けばよさそうです同じ形の三角形の性質と辺の比を使うと△ABCを一辺が49の大きさとしたときに△AGJと△BHIを合わせたものが一辺34、△JICが一辺15の大きさであることがわかります面積の割合はそれぞれ49×49、34×34、15×15で表すことができるので計算すると正方形の面積が△ABCに対して1020/2401の大きさになることがわかります △ABCは3×5×1/2=15/2なので求めたい正方形の面積は15/2×1020/2401=7650/2401平方センチメートルと求まります

@雀夢 10 месяцев назад

正方形を正方形で囲む補助線。正方形の周りに長短比　3：5　の直角三角形が4枚ぐるりとできる。 3cmの辺を見ると下から（3）+（5）と余り。余りは（3）を3/5なので（9）/5。 /5が邪魔なので整理（15）+（25）+（9）＝（49）で3cm （40）が補助線で作った正方形 3x40/49＝120/49cm 14400/2401平方センチ元の正方形の中も直角三角形4枚になるよう補助線を引くと小正方形ができる。（5）-（3）＝（2）（8）ｘ（8）＝（64）（2）ｘ（2）＝（4）（64）-（4）＝（60）（60）/2＝（30）（30）+（4）＝（34）補助線正方形の34/64が求める赤正方形。 14400/2401ｘ34/64 1800/2401ｘ34/8 225/2401ｘ34 7650/2401平方センチ

@keiji59 10 месяцев назад

正方形の一辺をaとすると三角形の相似より三角形3×5の斜辺の長さLは L=(3/5)a+a+(5/3)a=(49/15)a 三角形の斜辺の長さの二乗は三角形5×4を4つ使って大きい正方形を作ると L²=8²-(1/2)×5×3×4=34 これと前のLより (49/15)²×a²=34 a²=34×(15/49)²=7650/2401

@akashi.the.genius 10 месяцев назад

単位の変換(違い)さえ理解できれば全く難しくはない簡単な問題ですね大工の息子とかなら瞬殺でしょうかw 1)3㎝5㎝△の直角から斜辺に垂線を引くと○×直角はいちいち言わないがおなじかたちのずけーが計5つになる 2)1で引いた線と3㎝5㎝△の交点から、3㎝側の角まで:1で引いた線:5㎝側の角まで=9:15:25 3)2の比を単位とすると3㎝5㎝△の面積は255、これは3㎝5㎝なので7.5㎠(←平方センチ、化けるかも)と等しい →なので2の比の数値で面積を出して34で割れば㎠(←平方センチ、化けるかも)に変換できる 4)3㎝5㎝△の斜辺について、正方形部分より3㎝側の角まで:正方形部分:5㎝側の角まで=9:15:25 →正方形部分(の1辺)は斜辺全体を49としたとき15なのでこれを2の比に変換すると34×15÷49=510/49 5)正方形部分の面積は2の比で(510/49)の2乗=7650/2401㎠(←平方センチ、化けるかも)

@ryojitakei71 10 месяцев назад

図形全体を回転させながら4つ並べると、1辺が8㎝の正方形の中にABを1辺とするひとまわり小さな正方形（Sとする）が内接した形ができ、Sの面積は34㎠相似の三角形の辺の比から、BH：HG：GA = 25：15：9、よって、求める正方形GHIJの1辺の長さは正方形Sの15/49 よって、正方形GHIJ = S × 15/49 × 15/49 = 34 × 15/49 × 15/49 = 7650/2401 ちょっと回りくどい解き方かと思いましたが、どう解いても結局計算は大変ですね。中学入試でも、解答自体はけっこうすっきりした整数になっていることも多く、そうした問題は美しい、上手くできているなと感じることも多いですが、反面、こうしたゴリゴリ計算させるような問題、細かい分数の答えが出てしまう問題には、計算に慣れていないとストレスや不安を感じて諦めてしまう子も多いですね。小学生でこれを解ける子は本当に優秀だと思います。

@もょもと-h3w 10 месяцев назад

正方形と小さな三角形3つの面積比を求め、全体の面積×（正方形/全体）で解こうと考えました。正方形の1辺を1とすると、GAが3/5、HBが5/3となり、正方形、△AGJ、△JHBの面積比がわかります。問題は正方形の1辺が斜辺になったいる（このままだと底辺×高さがわからない）△JCIですが、CからIJに垂線を引くことで、底辺×高さがわかる三角形2個を作ることができます。たぶんこれで解けるかと思いますが、計算が複雑なので最後の答えまでは出していません。もうちょっとキレイな答えだといいんだけどなぁ。

@himo3485 10 месяцев назад

√[3^2+5^2]=√34 IC=5x IJ=√34x BI=√34x × √34/3 = 34x/3 5x+34x/3=5 49x/3=5 49x=15 x=15/49 √34x × √34x = 34x^2 = 34 × 225/2401 = 7650/2401 　　　　　　　　　　7650/2401cm^2

@nao1098 10 месяцев назад

方程式使ってもそこそこめんどくさい

@Thiner1 10 месяцев назад

補助線無しで考えてました ABとJIが並行なので、AG３：GJ５を埋めていくとAB：JIが出せて、AJ:ACでJCの長さが出せますね

@モノクローム-f1i 10 месяцев назад

解法はすぐ思いつきましたが、途中(15^2×34)÷49^2という計算式が出てきた時点で「…これ合ってる？」と思わずにはいられませんでした😅

@恋々 10 месяцев назад

確かに計算が大変だった😅 私立は答えが変な数字になるように作られていますね。（不安を煽るため？）

@kentak1012 10 месяцев назад

正方形はいらないと思う。直角をはさんだ直角三角形はすべて相似になることを覚えておこう。

@nisshisio 9 месяцев назад

計算の部分。たいして変わらないかもしれないけど ①＝15/49cm、正方形が⑧×⑧で64□、三角形４つで30□なので求める正方形が34□ 1□＝①×①なので 34□＝34×（15/49）×（15/49）＝（34×225）/（49×49）＝（10×3×225＋4×225）/（50×50−50−49）＝（6750＋900）/（2500−99）＝7650/2401 ギリ暗算でいけるかと 50×50−50＝50×49 49×50−49＝49×49

@Toshi-u5j 10 месяцев назад

せっかく正方形があるのだから、BA上を、 BH:HG(※)=5:3、HG:GA=5:3→BH:HG:GA=25:15:9(25/49:19/49:9/49)のように配分。 ※HG=HI=JG･･･正方形の一辺なので DG(長辺)=15/49*5=15*5/49 DG:DH=5:3 DH(短辺)=15*5/49*3/5=15*3/49 大きい正方形の一辺DG+GF=DG+DH=15*(5+3)/49=15*8/49 大きい正方形=(15*8/49)^2=3*3*5*5*8*8/49^2 周りの直角三角形4個=DG*DH/2*4=15*5/49*15*3/49/2*4=3*3*5*5*5*3*2/49^2 中の正方形=大きい正方形-三角形4個=3*3*5*5*(8*8-3*5*2)/49^2=3*3*5*5*34/49^2=7,650/2,401(cm^2) (できるだけ(素)因数のままに(かつ位置を工夫)して計算しました。電卓使いたい･･･。←検算には使いましたが。) なお、試験のたびに三平方の定理の証明をしなければならない生徒さんは、とても気の毒です。ところで、これ、何分で解けば合格？

@hiDEmi_oCHi 10 месяцев назад

この問題は解き方より計算が面倒臭くて汚い数字になるところが難易度を上げてますね。自分は補助線を引かず相似と面積比を使って以下のように解きました。 AG=3、GJ=GH=5よりHB=25/3 AB=AG+GH+HB=49/3 JI=5よりAB:JI=49/3:5=49:15 △ABCと△JICについて相似比49:15より面積比は2401:225 台形ABIJ=△ABC-△JIC=2176 △AGJ、正方形GHIJ、△HBIの面積比は高さ共通より底辺比(上下底比)により決まるので AG:GH+JI:HB=3:10:25/3より台形ABIJに対して正方形GHIJの面積比 =10/(3+10+25/3)=10×3/64=15/32 以上より正方形GHIJの面積 =△ABC×2176/2401×15/32 =3×5×1/2×2176/2401×15/32 =15×15×34/2401 =7650/2401 よって赤の面積は7650/2401㎝^2