【数学良問の旅】横浜国立大｜三角関数×実数解の個数（難易度B） 

最後の大小比較はそこだけ取り出せばよくある問題なので、引き算して有理化（分子の有理化？）とか変にテクニカルなことしなくてもそれぞれ2乗して比較するのが素直だと思った

これいい難易度だよなあ。 基礎と言えばそうだけど、難しすぎず 簡単すぎず。こういうのをしっかりと 解けるようになっておくのが大切

因数分解から先に進めなかった🥺 解説見て答えわかった時の爽快感えぐい

いろんな問題を解いて自分の頭にいろんな引き出しを作っておけば、別解も思いつくし、試験本番もいろんな解法で実験できていいですね！ これからも良問をよろしくお願いします！ 今のところ全部見てます！ (文系なので数3以外ですけど)

毎朝ご飯食べながら見させてもらってます！受験頑張ります！！！

tの三次方程式うまく因数分解できなかったけど、グラフの概形考えてf(t)とf'(t)にt=0,1/√2,1を代入して３つの解tのそれぞれの範囲決定するだけで求まった

意外に、有名角の大小関係を利用する、チャートにも載ってる解き方が有用すぎた。

ハイ完に載ってるねこの問題。いい問題だった

最後の解法を使う場合、放物線の頂点より右側で単調増加である事に触れないとマイナス1点されそう

完答出来ました～ ありがとうございます

ハイ完のやっててイマイチ分からなかったからすごく助かりました！

分子の有理化はなかなか思いつかなかった、、、 けど大小関係比べる時のテクニックとして覚えておきたい！！

qiita内でリンクしました。ありがとうございました。 グラフがでます。 1/sinx+1/sin3x=3「2002横浜国立大学前期経済学部【1】」をChatGPTとMathematicaとWolframAlphaとsympyでやってみたい。

解法とは関係ないけど問題の値を図で見ることができます。 pq 平面上の単位円上の点を A( cos x, sin x ), A から p 軸に降ろした垂線の足を B とします。 線分OA を延長して直線 q = 1 との交点を C, C から p 軸に降ろした垂線の足を D とします。 △OAB と △OCD は相似なので 線分OA : 線分AB = 線分OC : 線分CD 線分OA = 1, 線分AB = sin x, 線分CD = 1 を代入すると 1 : sin x = 線分OC : 1 これより 線分OC = 1/sin x sin 3x も同様に考えられますが、 sin 3x = sin ( π - 3x ) なので sin x と逆回転で考えてもいいですね。

有理化と最後の逆算の判断為になった!!

なんだかんだ解けました！

わかりやすいです

y₁＝１/sinx　と　y₂=1/sin3x　のグラフは微分を使わないで逆数のグラフとしてかけますから　y=y₁＋y₂のグラフも概形がかけるのであとは減点されないように説明すればいいだけの問題です。

8:09 きれいな円描くな〜

いつもありがとうございます😊

分数がイヤ→両辺sinx,sin3xかける事はできた。sinx≠0よりx≠0は出来たが、sin3xの方を、0≦x≦3π/4→0≦3x≦9π/4から、3x≠0,π,2πよりx≠0,π/3,2π/3とするの忘れた。 分数払って3倍角使って整理する(計算ミスした)と 12(sinx)^4-4(sinx)^3-9(sinx)^2+4sinx=0 となる。 sinx=tと置くと、 12t^4-4t^3-9t^2+4t=0 0≦t≦1で対応関係は t≠0(x≠0より)t≠√3/2(x≠π/3、2π/3より) 0

解の個数を実際に解を求めるのは高校数学の定石。三角関数方程式は和積の公式を使って因数分解も定石。

The・理系の入試に堅く出そうで解けなきゃいけない問題みたいな感じありますね！

おはようございます！

t=0、√3/2についてなんですが この場合だと=3にはならないのは分かりますが、0≦t≦1なのに書いてもいいんですか？

f(t)を微分して0, 1/√2, 1, 極値で増減表

この解法はちょっとあまりいただけないと思います 解の個数を求める問題でそれが三次関数の解の配置問題となります(分数関数のままでもできますがそこは趣味の範囲かもしれません) その手の問題ではexplicitに“解を求める”のは得にならない事が多い、あるいはそもそも受験数学の範囲ではexplicitな解の表示ができない事の方が出題頻度は多いと思います この手の問題の“定石論法”はt=sinθをθの方程式とみなした場合の解の個数の変化する範囲、この例ならt=0,t=1/√2,t=1で分割される領域のそれぞれに何個ずつの解を持っているかであって“解自体を求める”ことではないし一般にはそれができてもかえってめんどくさい事の方が多いと思います もちろん求めてもいいんですけど でも“正解ならなんでもいい”ではあまり褒められないかも

数学の問題を解くときに、アナログの方がいいと思う事がある。 テキスト上のみでは、図を描けないから。

最後のもためになる技

サンシャインシティに参上！って語呂はまだ覚えてました…

＞これにて関西編は終了しました！ 　あれ？、関東では？？。

計算ミスしそうになりましたけど、完答できました。 😄😄😄

一番難しいのはsin3xの変形。結局導出しました。どうも横国志望です！！

木村家に出てくるゴキブリの根性えぐい

この方程式のxの範囲ってx＝0含んでいいの？

横国の問題って簡単だけど計算煩雑であんまり良い問題多いイメージないけどどうなんだろう

備忘録70G" 【 角の統一が第1歩 → sinx＝ t とおくと、】 0 ≦ t ≦ 1 で, ( 与式 ) ⇔ 12t³－4t²－9t＋4 ＝ 0 ⇔ ( 2t－1 )( 6t²＋t－4 ) ＝ 0 ･･･① 0 ≦ x ≦ 3π/4 に注意して、 『 ☆ 解の個数の 対応関係がテーマ 』 ( ⅰ ) 0 ≦ t < 1/√2, t＝ 1 である t 1個に対して x は 1 個 ･･･② ( ⅱ ) 1/√2 ≦ t < 1 である t 1個に対して x は 2 個 ･･･③ 対応する。 ①より、 t＝ 1/2, ( －1＋√97 )/12 である。 これより、②が 1 個, ③が 1 個 だから、求める x の個数は 3個である。■

開閉法で√97の近似値出してみましたがかなり√2/2と僅差なんですね それと三角関数の問題で因数定理使うときは必ず±1、±１/２を優先的に代入すべき。 経験則的に１⇒１/２でほぼ必ず行ける

1番最初のところ逆数取っちゃダメですか？ そっちの方が計算楽そうで…

三次関数にのグラフ描いて、t＝√2/2、1をそれ自体の関数とそれを微分したやつに放り込んで位置決定して、単位円でtの範囲に対応する解xの個数を書いて［0、√2/2)では1つ、［√2/2、1)では2つ、t＝√2/2では１つで、グラフからその範囲にある解の個数と対応させて3つって出したんだけどこれでもいいの？

なぜsinx≠0が常に成り立つんですか？ θ=π/2の時はどうなるのでしょうか？ どなたか教えていただけるとありがたいです。

ヨビノリって横国だったの?!

この問題、t=1/2が思い付かなくて、カルダノの導出方法も忘れちゃってたら詰みやん(笑)

14:55 ルート二分の1を、代入が得策。 いちいち分母有理化じゃ、受験生にとって試験解答時間が足りなくなる。

どうも脳死で微分してグラフ描いた人です

定数分離やりすぎて三次関数のグラフ書こうとしちゃった

因数分解できなすぎた

横国の問題良い奴多くね？

スーツ知ってるんかい

スーツさんの名前でてきてワイ得

My recommendation are wired, if you seeing this and not having a clue why, leave comment

りょうもんやー

半分取れた

-‪√‬2/2 するの賢

三次関数の最大最小に帰着させられますね

解の数を答えるだけなら以下の考え方でもいい気がする 1/sinxは0＜x＜πの範囲で下に凸の放物線で0とπで発散する。 1/sin3xは0＜x＜π/3の範囲で下に凸の正の値をとる放物線であり、0とπ/3で発散する。π/3＜x＜2π/3の範囲で上に凸の負の値をとる放物線でありπ/3と2π/3で発散、同様に2π/3＜πは正の値をとり2π/3とπで発散する。 この事から0＜x＜π/3の範囲で2つの解をもつ。π/3＜x＜2π/3の範囲では1/sinx＜3のため不適 2π/3＜x＜πの範囲では1/sin3xが5π/6で対称性を持つため2π/3＜x≦3π/4で1つの解を持つ したがって3つの解となる

こんなん何に使うんだ？

はい完にあった

お前。これも本気で解いとんのか？

なぜ、こんな変な解き方してるの？