全射・単射・逆写像を知らずして数学は語れない！具体例から解説！【写像】 

やったぜ！！

リクエストをありがとうございます！確率論(測度論)ですね！ 統計学は最近アツいのでそのうち扱おうと思っていました．統計学では確率論の知識も用いますので，そのときに解説しますね！

@@TKT_Yamamoto ありがとうございます！！どうぞよろしくお願いいたします。

こちらこそご視聴ありがとうございます！良かったです！

ご質問の例をきちんと問題にすれば，次のようになりますね： 「a∈ℝとする．任意のx∈ℝに対して，f(x+a)=f(x)+2aを満たす関数f:ℝ→ℝを求めよ．」 このf(x+a)=f(x)+2aのような特定のfにしか成り立たない等式を「関数方程式」といい，このfを求めることを関数方程式を「解く」といいます． ただし，f(x)=2xはこの関数方程式f(x+a)=f(x)+2aの解の１つではありますが，この他にも無数に解が存在することが分かります． 関数方程式では１つ解が簡単に見つかっても，その他に解が存在することはよくあり，これは関数方程式の難しさの１つです．

@@TKT_Yamamoto 返信ありがとうございます。 集合f(x)と集合f(x+a)と考えて関数とは言えないんでしょうか？ すいません、少し頭が混乱しています。自分の中の方程式のイメージは文字を含む等式で、特定の値のみ成立するものって感じで、関数は2つの集合があって片方の値が決まるともう片方の値が定まるような橋渡し役みたな存在って感じです。言葉では理解できているつもりですが、f(x+A) = f(x) +2Aみたいなものが関数なのか方程式なのかイマイチピンと来ません。関数と方程式の見分け方というのはあるのでしょうか？

[1] 方程式のイメージは文字を含む等式で、特定の値のみ成立するものって感じ ここでイメージされている方程式とはx²-2x-3=0のようなもので「特定の値x」でのみ成り立つということだと思いますが，これは概ね正しいです． 概ねというのは，先程の私の返信のように「a∈ℝとする．任意のx∈ℝに対して，f(x+a)=f(x)+2aを満たす関数f:ℝ→ℝを求めよ．」のような「特定の関数f」に対して成り立つようなものも方程式というからです． [2] 関数は2つの集合があって片方の値が決まるともう片方の値が定まるような橋渡し役みたな存在って感じ これはこの動画の中でも説明している通りで，仰る通りです， [3] 集合f(x)と集合f(x+a)と考えて関数とは言えないんでしょうか？(中略)f(x+A) = f(x) +2Aみたいなものが関数なのか方程式なのか(中略)関数と方程式の見分け方というのはあるのでしょうか？ この質問の意図が汲み取れないので，とりあえず基本的なことだけお伝えします． ・関数(写像)とは「『こんな集合』から『こんな集合』への『こんな対応』」と言えるものを指します．例えば，f:ℝ→ℝ;x→2xは「『実数全部の集合ℝ』から『実数全部の集合ℝ』への『２倍する対応』」という関数ですね． ・方程式とは上で書いたように「特定の対象」に対してのみ成り立つ等式を指します． これらをふまえると，f(x+A)=f(x)+2Aはたとえばf(x)=2xのような「特定の関数f」に対してのみ成り立つものなので方程式ですね，というのが先程の私の返信ですね．

@@TKT_Yamamoto 本当にありがとうございます。だいぶ頭の中を整理できました。

その通りです！標語的には「陰関数は関数とは限らない」とよく言われます！

@@TKT_Yamamoto 任意の双曲線の関係式が関数となるときの条件を答えなさいとか 入試問題とかで出題されたりしないんでしょうか? 高校数学で写像の定義を習ってないので入試には出せないと思いますが 自分なりに考えてみました 漸近線のどちらか1本がy軸に対して平行であり且つ その両側の領域で極値を持たない まで言ってしまうと 十分すぎるので 極値を持ったとしても大丈夫そうな場合も考えられるので 漸近線のなす角がπ/2からどれだけズレているかをθとおいて あるθの値を境にyの値が1つ決まるのかそれとも2つ出てきちゃうのがが決まるんだと思いますが このθが求まれば必要十分条件が言えるんじゃないかと思います また放物線の軸を傾けた場合も同様の議論ができると思うんですが 頂点より外の点を回転軸にとって少しだけ傾けたらyの値は一つしか出てこないのではないかと予想したんですが その限界角が何度なのか?且つ 回転軸の中心にとっても大丈夫な点の存在範囲を求められたら 放物線を示す方程式が関数に該当するかしないかの境界線がわかるのではないかと思うんですが 写像であると言えるためにクリアしないといけない条件はまだまだ他にあるんだよと言われてしまったら身も蓋もない話なんですが

おそらくお考えなのは「xy平面上の双曲線を描く方程式について，yがxの関数として表せるのはいつか？」という問題でしょうか？それならば「双曲線の漸近線の一方がy軸に平行となっている場合」が答えになります． xy平面上の双曲線が２本の漸近線をもつことを意識して図を描けば，１つのxに対してyが１つに定まるのが上記の場合に限ることが見て取れるはずです．ぜひ図を描いて考えてみてください．

単純に軸が少しでも傾くと包絡線の通過領域と重なる部分ができてしまうので不適ですね 結論として 放物線を現わす方程式が ２次関数の振る舞いをして １つのxに対してyの値がただ一つに定まるのは 標準形の陽関数の形で表せるものだけで 陰関数でしか表示できないものはすべてアウトということになりますね 媒介変数表示のものも同様ですね

ここの説明では、数学科は女子より男子の方が多いというのを前提にしているので、{男子}→{女子}の写像は単射になり得ないので、{女子}→{男子}の写像で単射性を考えている次第です (逆に{女子}→{男子}は全射にならないので、全射性は{男子}→{女子}で考えています)