合同式の基本 

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おはようございます。 一旦 mod 3で考える知恵も無くいきなり mod 9で考えました。 n 　0, ±1, ±2, ±3, ±4　　 n² 　0, 1, 4 0, 7 定数 1, 1, 1, 1, 1 どの縦の列もたして９の倍数にならないという極めてシンプルな方法でした。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。

スッキリしているけど頭を使う良い問題！

合同式に慣れてないので助かります。

与式=9mと置いた式の判別式=3(12m-1)が平方数ではあり得ない、というのはだめなのかな。

初めての書き込みで大変恐縮致します。 鈴木貫太郎先生を初め、多くの数学関係者に敬意と感謝の意を表します。 私は数学は素人ですので、modは知りませんでした。 modで倍数、剰余を簡明に表現できることをこの動画で学びました。 誠にありがとうございました。 しかし、modを知らないまでも、以下のように取り組んでみました。 9の倍数の下位1桁を見てみました。 9の倍数は 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,... ですので、 下位1桁目は 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,.... の性質を持つことをが分かりました。(9,8,..,1,0を繰り返す) 下位1桁目の速度(微分)は -1,-1,-1,...,9,-1,-1,-1... となりました。(9から1ずつ減少し、0になったら9になり繰り返し保存する。) 次にn^2+n+1の漸化式を求めてみました。 n=1の初項:3 漸化式 a(n+1)=a(n)+2*(n+1) a(n+1)-a(n)=2*(n+1) → a(1)=3,a(2)=7,a(3)=13,.. a(n)を並べてみます。 3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,133,157,183,211,241,... その1桁目を取り出してみます。 3,7,3,1,1,3,7,3,1,1,3,7,3,1,1,...(3,7,3,1,1を繰り返す) その速度(微分)は 4,-4,-2,0,2,4,-4,-2,0,2,4,-4,-2,0,... (2,4,-4,-2で0になるように繰り返し保存する。) となりました。 従って、n^2+n+1の1桁目の速度(微分)と9の倍数の1桁目の速度(微分)は異なるので、 n^2+n+1は9の倍数ではないように考えられました。

mod 9でn²+n+1≡0と仮定する 両辺を4倍して平方完成すると、式は矛盾する

n=3l+1 とするところがポイントです。

n=m+1とすると n^2+n+1=m^2+3m+3となり、これが3の倍数ならばmは3の倍数になる m=3kとおくと、9k^2+9k+3となり、これは9で割ると必ず3あまるため9の倍数ではない という方法を考えました

貫太郎さん　最初のカテナリー曲線がどうして導かれたのか、良かったら 動画UPしてください。

高２です 今日から毎日解きます！！

なるほどお

初めからMod9で進めました。 動画のようにMod3で考え、絞る方がシンプルでいいなぁと思いました。

おはようございます。 私の好きな曲線は、クロソイド曲線です。（車は運転しませんが、…。） ちなみに、Wikipedia のクロソイド曲線の項には、加速度の変化の割合である "躍度" が登場します。

9n,9n±1,9n±2,9n±3,9n±4の9通りに分類して1つずつ確認しました。 鉄塔武蔵野線を聞き取るのに検索したり苦労しました

僕はバラ曲線が好きですね。 r=asinθのaを有理数の範囲でいろいろ変えるだけで様々な曲線になり、 その全てが美しい形になることに数学の美しさを感じます。

サムネを見た瞬間に思いついた、n^2+n+1=9mと仮定して背理法で処理、という方法で解いてしてしまいましたが、やはり合同式の方がスマートそうですね

おはようございます。今回の証明のについて蛇足ですが、 3の倍数と、9の倍数の集合の関係は、 Ａ＝{9の倍数}、Ｂ＝{3の倍数} とすると、Ａ⊂Ｂ　⇒　Ａ補集合 ⊃Ｂの補集合となるので、ｎ≡1(mod3)のときn^2+n+1が9の倍数になるかを調べればいい。 明日もよろしくお願いします。

なるほど mod3で絞り込めるんですね😲 私は普通にmod9でチマチマ処理しました😅

そういうTシャツ、どこで売ってるんです、、？

mod9で背理法

以前から気になっていたのですが，2 つの整数 a, b と正の整数 m について，a と b が m を法として合同であることの定義は，a-b が m の倍数であることです．定義を重視する貫太郎さんの動画に何故かこの定義がきちんと出てきたことがないような気がするのです．

最近問題を見た瞬間に解法を考えるのが楽しいです。 サムネ見た瞬間nに関する全称命題(離散量)なので、 1数学的帰納法 2剰余系の利用(余りで整数を分類) 3背理法 の3つのパターンでの解法を思いつきました。

カテナリーは歴史知るとおもしろいですよ。 1600年代前半、ガリレオもメルセンヌもあのフェルマーも、「ひもを両手で持って垂らすとだいたい放物線じゃね？」と思ってたらしいです。 それを「なんか違うよな〜」って自力で計算して放物線と懸垂線は違うって証明したのは当時17歳の学生ですってw

この問題、素直に９の倍数で考える人が多数だと思うけど、mod３はなかなか思いつかないｗ あともう一つは逆に１足してmod10で考えると、9は余り-1と考えて、それが成り立たないことを示せればＯＫ…という考え方もありそう。 数学って自由ですね（笑）

鉄塔武蔵野線!　まさかここでそれを聞くとは

n(n+1)は8にならない

手間はかかりますが、nに0から8までの整数を代入してどれも0にならないことを確認しても良いです。このことを証明しても良い勉強になると思います。高校の範囲でできます。 (環論の観点からℤ/9ℤ上の多項式と見て、この環上で既約であることを見ているということになります。)

おはようございます😤

懸垂曲線の式ってもしかしてsinh?

ヨシッ❗ この動画を見た時、既に別解解説動画も上がっていたので、なるべく鮮やかに解きたいと思ったが、とりあえずmod 9で一通り試すというオーソドックスなヤツでやって確認した後で考える事にした。 で、考えてみたんだが、結局、余り大したのは出ず（笑）。 n^3≡0，±1（mod 9）という割りとキレイなのが出たが、上手く生かせなかった。 で、n^3≡1（mod 9）となるのは、n≡1，4，7（mod 9） ⇔n≡1（mod 3）なので確認して…っていうつまらん解法しか出ませんでした。

もし、9 の倍数になる n が存在するなら n(n+1) ≡ -1 (mod 9). これは n と n+1 の一方が -1 に他方が 1 に合同、あるいは一方が 2 に他方が 4 に合同なことを示しているが、隣り合う 2 整数がこのようになることはありえない。 したがって、n^2 + n + 1 は 9 で割り切れない。 と解きました。

おはようございます。modの力を借りて解けることに、感謝しています。貫太郎先生ありがとうございました。

mod3、4と平方数は相性がいいというのは前から仰っていたことなので、倍数証明問題などでこの発想は大切にしています 最初mod9でしましたが、余りを全通り確かめるのは少し面倒臭く感じたのでmod3で示しました modの力って偉大ですね...笑 追記:なるほど、mod9でも余り全通り確認しなくても背理法で示せちゃうのか... 面白いですね

合同式を用いなくても、n^2+n=n(n+1)として連続二整数の積と見れば、3の倍数を含む時は明らかに9の倍数ではないことが分かるので、3の倍数を含まない時のみについて考えれば良いと思いました。