因数分解 

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反射的に公式として覚えていたし、授業でも展開したらそうなるからこの公式が正しい、としか聞いていないので、動画のような解説は新鮮な感覚でした。ありがとうございました。

考えても全然分からず自力で解くことができませんでした。解説ありがとうございます🙇‍♀️勉強になりました😂

いつもながら分かり易い解説！感覚的に解き続けたら時間はかかりましたが解けました！いつかはどうにかなるのが因数分解の面白いところですね

x-1が因数になるから無理やり数を合わせるために後ろの項を当てはめてたけど、最初の方法にめちゃくちゃ納得しました!

展開と因数分解は逆の発想だという事を改めてわかる問題だった。

(x^5-1)/(x-1)の形を見たときに、初項1公比xの等比数列の第5項までの和だとすぐにわかります。このことを考えると、a^n-b^nの因数分解の公式は等比数列の和の公式から直ちにわかります。私はこうして覚えました。

4次式が実数の範囲内では因数分解できないことをいわないと、解としては不完全ではなかろうか。

割る方法を使いました。 公式の成り立ちを頭に入れておくのは良い事ですね。

x でくくると x⁴ ＋ x³ ＋ x² ＋ x ＋ 1　になるあたり、だるま落としの最下段を抜いたら全体が1段下がるような感じで面白かったです。

先生の授業を受けると、数学が本当に理解でき面白くなる様に思います。６５年前に教えていただきたかった。

7:28 何事かと思いましたw x^4+x^3+x^2+x+1がまだ分解できそうですけどできないんですね

私が高校の時は、後半の説明の方で教えられました。 「この覚え方をしていれば、色々と応用が出来る」という理由だったのですが… 大学受験みたいに時間の制限がある時なんかは、前半の解法も使っていく事が重要なんでしょうね。

やろうと思えば出来ますが、x⁴+x³+x²+x+1が因数分解出来ないことの説明は高校の数学Ⅲが必要ですね。

因数分解、好きですが、画期的な考えだと思います。 流石、数学科。

これはありがたい説明です♫

もうこれ以上、因数分解できないか考えて固まってしまいました。数学が得意な人は経験上わかると思いますが、普通の人は本当に大丈夫か、すっきりしないと思うような気がします

3乗の因数分解の公式は、(x³-1)÷(x-1)をひっ算でやった記憶があります。この方法を使ったら指数が大きくなっても強引に計算できますね。

鈴木貫太郎先生の動画でよく出てくる式

因数定理でx-1が因数になることは容易に理解できる。 問題はもう一方の因数のx^4+x^3+x^2+x+1がこれ以上 因数分解できるかどうか、その検討が必要だと思う。

1の5乗根を求める問題と同じですね。

10か月先の未来からコメントします。 この手の（項の係数が1か-1しかない因数分解）の問題の解法を開発しました。 （他にも応用できると思いますが、面倒かもしれない） ①x-1やx-1などをかけて、比較的因数分解しやすいx^n-1などの形を作る （x^5-1）(x+1)=x^6+x^5-x-1 ②x^n-1とそれ以外の部分に分ける ③各部分で因数分解をし、共通部分でまとめる x^6-1+x^5-x =(x^2-1)(x^4+x^2+1)+(x^2-1)(x^2+1)x =(x^2-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) ④最後に①でかけた数で割る =(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2-x+1) よって x^5+1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)

前半の方法はそうやってする人は計算するまでもなく最初から答えがわかってますよね。できなくても（ｘ－１）が因数になるのはわかるので、あとは４乗から１乗まで展開したとき消えるように考えれば筆算なんかしなくても当然残りの各係数は１。残りがさらに因数分解できないかはわからないのでそこが一番の問題な気がします。

（別解） まず、x ＝ 1 を代入すると (与式) ＝ 1⁵ － 1 ＝ 0 となるので ( x － 1 )を因数に持つことが分かる。 また ( x³ ＋ 1 )( x² － 1 ) 　　　← 　( x ＋ 1 ) を強引に入れ、定数項が －1 になるように誘導してみる。 ＝ x⁵ － x³ ＋ x² － 1 ＝ ( x⁵ － 1 ) － x ² ( x － 1 ) であることから (与式) ＝ ( x³ ＋ 1 )( x² － 1 ) ＋ x² ( x － 1 ) ＝ ( x³ ＋ 1 )( x ＋ 1 )( x－ 1 ) ＋ x² ( x － 1 ) ＝ ( x － 1 ) ｛ ( x³ ＋ 1 )( x ＋ 1 ) ＋ x² ｝ ＝ ( x － 1 ) ( x⁴ ＋ x³ ＋ x² ＋ x ＋ 1 )

数検１級の問題に、「x^5 - 1 = 0 を、sin、cosを使わないで解け」を思い出しました。 一般に、x^n - 1 = (x - 1){x^(n-1) + x^(n-2) + ..... + x + 1}　が成り立ちますね。

なるほど、これは応用が利きますね。 x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x-1と考えて係数を 1 0 0 0 0 -1 にして組立除法で解きました。

a^3-b^3の公式は覚えておいた方がいい。 高校範囲なら因数定理で、係数の辻褄合わせでやってしまえるけれども。

コレを端折って授業をする教師の多さ

わかりやすいです

5:35以降の説明のやり方で解きましたが、その結果出てきた商がそれ以上因数分解できるかどうかの判断について、若干卑怯臭いですが 複素平面を考えた場合、x^5-1=0の解は、1からスタートして半径1、角度72°おきの複素平面上に現れ、実軸上には来ないため、実数解なし。 よってこれ以上の因数分解は不可能なので、そこでおしまい、と判断しました。

与式 = (x^2-1)(x^3+1) -x^2+x^3 と変形して、あとはゴニョゴニョやって解いてみました。このレベルの問題は、さすがに高校入試では出題されないですよね。

完璧な解説！

まず、(x^5 - 1) を差の二乗の形に変形します。具体的には、(a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a2b2 + ab^3 + b^4)) の公式を利用します。 (a = x) および (b = 1) として適用します。 [x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)] したがって、(x^5 - 1) の因数分解は ((x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)) です。 この公式を使った因数分解では、(x^5 - 1) を (x - 1) と (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) の積の形に変形しました。 此れAIの解答です

因数定理は超便利✨️

最初の方法は勝手に足して引くAという数式をどうやって導くかがわからない。　こういう場合には後者を教えた方がよい。　でもX＾4+4の因数分解などでは前者の方法が有効かも。

数学3のドモアブルの定理を使うと、もっと因数分解できますかね。 x^5-1=0を考えて、x=cosθ+isinθ とおいて、xを5回回転させて1となれば良いので、0

X^5+X^3-X^3-1 にして解きました。 でも、それだと話が広がらないですね。

これは複素数平面上で五角形で表せる頻出の形だから自然と覚えた

ｘ＾4+ｘ＾3+ｘ＾2+ｘ+1 がそれ以上因数分解できないということは示さなくていいんですか？

因数定理より、x-1でくくれるのは確かだから、割り算したらいい

証明あってこその数学ですね♪

x⁴+x³+x²+x+1が因数分解できるんじゃないかと思って 10分くらいこねくり回してた。

動画の前半を見て、あまりにもヒューリスティックなやり方で絶望した。 その上、「Ａ」がそれ以上因数分解できないかの検証をすっとばしてる事に戦慄を覚えた。 5:27　因数定理的な説明が出てきて本当に安心した。 「複素数範囲で因数分解」と言われれば簡単だけど、実数や有理数の場合は何か賢い計算・確認の仕方があるのだろうか？

x⁴ ＋ x³ ＋ x² ＋ x ＋ 1　はこれ以上因数分解できるか 結論：係数が有理数（整数）の範囲ではできない （段階０）因数定理より、x に 1 、－1 のいずれを代入しても0とならない。 　（与式）＝0 の方程式は有理数の解をもたないので、一次式の因数をもたない。 （段階１）相反式の形をしているので、(x² ＋ 1)² の形を無理やりつくると、 　　（与式）＝(x² ＋ 1)² ＋ x(x² ＋ 1) － x²　　 　足して 1、かけて－1 となる整数の組はない。よって、この方法では因数分解できない。 （段階２）（段階0）より、この式が因数分解できるとするなら、 　（2次式）×（2次式）となるはず。 　x⁴ の係数と定数項より、 　　（与式）＝(x² ＋ ax ＋ 1)(x² ＋ bx ＋ 1) 　となる。展開して、 　　　　　　＝x⁴ ＋ (a ＋ b)x³ ＋ (ab ＋ 2)x² ＋ (a ＋ b)x ＋ 1 　係数を比較して、 　　a ＋ b ＝ 1 　　ab ＋ 2 ＝ 1　⇒　ab ＝ －1 　この連立方程式の解は無理数（★）。よって、係数が有理数（整数）の範囲では因数分解はできない。 以上より、x⁴ ＋ x³ ＋ x² ＋ x ＋ 1　は係数が有理数（整数）の範囲ではできない。 （★） （ a 、b ）＝（ (1±√5)/2 、(1̠∓±√5)/2 ）　（複号同順）なので、 係数を実数の範囲まで広げれば、 　　（与式）＝(x² ＋ (1＋√5)/2 x ＋ 1)(x² ＋ (1－√5)/2 x ＋ 1) と因数分解できる。 他の方のコメントにもある通り、これは ( x²－2cos4/5πx ＋ 1 )( x² － 2cos2/5πx ＋ 1 ) のことでもある。

ふふふ、（x−1)の残りの因数の因分には言及しないのか!?

x^4+x^3+x^2+x+1が因数分解できないってどうやって判別するのでしょうか？ （テストだったらあきらめてそのままにしてしまいそうです）

複素数の範囲内で因数分解してほしかったです

高校数学の内容だと思いますが、高校入試でも知ってた方がいいですか？

X^n-1の因数分解の結果は 理解し覚えておきたい。 因数定理利用で割算するの だが、色々なアプローチを 覚え、身につけたい。

xに1を代入すると0になるので x-1を因数を持つことから x-1で割り算しました

これは不思議な事を習いました。じゃあx^6-1は同じ事になるということか

3乗の因数分解の公式、こんなふうに習った記憶ないな、展開したら戻るやろ？みたいだった気がする。

解けた！

数列の等比級数の和にも出てきそう...。

与式=0と置くと典型的な円周分割方程式で、実解がx=1しかないから。 それ以上、実数範囲で因数分解はできない という趣旨のことを書いてないと満点解答にはならないのか

次 ５ｃｍの三角形と４ｃｍの上側の三角形が合同条件１組の辺とその両端の角が等しいから同じとわかるのでピタゴラスの定理から　正方形の面積＝４１

面白い！

x^4-1とかx^6-1の因数分解に触れないあたりずるいね〜

これは美しい

よく思ったら、x^5=1の方程式にした際に ド・モアブルの定理持ち出してみて 実数解(θ=0orπ)になりうるの1つだけだったわ。

私ら世代だとx-1が因数だから与式をx-1で割って、と考えるのかな。 x-1で割ったでた4次式はこれ以上因数分解はできない？😅

=0の方程式だと考えたら、因数定理で(x-1)はわかるからあとは普通にやっていけばおけ

つぎ 上と右が合同 41

1:15 【2:38】🌟 5:49

因数定理に毒されてしまった🥲

f(1) = 0 となるので (x-1)　で必ず割れる。

早すぎるこんな説明でわ理解するのに追いつかない大体においてわかりが悪い人が見るので少しゆっくりお願いします

因数定理を使えばいいのでは…？

x^n-1=(x-1)・Σx^(k-1)(k=1〜n)

+x^4-x^4すればできるべ？

懐かしいby還暦爺😅

因数定理と組立除法で一発

この手の問題ガチで嫌いやった。 ラテラルシンキングっていうのかな、雲を掴むような、閃きを゙要求されてる感じがして。 ちゃんとやり方ってのがあるんだなあ

因数定理を使えば、x-1が因数であることがわかる。

因数定理を使いがち

そうなるとx10乗➖1もできるね。😊

解を持つ5次方程式

これしらないとおもいるかないなあ

次の問題 正方形を構成する4つの図形を上、左、下、右で⊿a,四角形b,⊿c,⊿dとする ⊿aと⊿dは斜辺の長さは正方形の１辺の長さで同じ ⊿aと⊿cは正方形の上辺と下辺が平行なため、同位角とか対頂角が等しくなり、⊿cと⊿dも三つの角度は同じになる為、⊿aと⊿dは１辺の長さと３つの角度が等しくなるので合同。 ⊿a,⊿dの斜辺、即ち正方形の辺の長さは√(4^2+5^2)＝√41　よって求める正方形の面積は41平方cm

x三乗足してx三乗を引いてやったらちょっと遠回りした

どこまで因数分解することを求めているのかだと思いますが、実数上で考えるのであれば、必ず1次または2次式の積に分解できます。 （複素平面上で、多項式=0は重解を含めて次数分の解を持ち、複素数解はその複素共役も解になるので、その2解を因数に持つ2次式は実数係数になります。） 複素数解を知っているからではありますが、x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)と置いて係数について解くと、 a+b=1 ab+2=1 となり、 a,b=(1±√5)/2 となります。

複素平面知ってるから余裕ｗ

次 図の上の直角三角形と右の直角三角形が合同 よって正方形の1辺をxcmとすると 三平方の定理より x^2=4^2+5^2=41 よって41cm^2

(x-1)を因数にもつことは明らかだから、そのあと割り算する必要がない。なぜなら (x-1)(　　　　　) の形を展開したらx^5が必要だから 最初はx^4がくる。 そして展開すると -x^4が出てくるから次の項はx^3が 必要、これを繰り返していけば回答にいたる。つまり 暗算でてきる。これは１次式で割るとき全ての場合に 通用するのです。

x^4+...1がこれ以上因数分解出来ない事の証明は要らないんですか？

完全に高校範囲やん

(√x^5 +1)( √x^5 -1) じゃダメなの？

私64歳ですが、高校生の時数学が好きで数3まで履修しました。なので時々先生の動画を見て頭の体操しています。数学って答えを導く過程が 楽しいですよね🤗

= X^5 -X^3 +X^3 -1 = X^3 (X^2-1) + (X-1) ( X^2 + X + 1) = (X-1) { X^3 * (X+1) + (X^2 + X + 1)} = ( X-1 ) ( X^4 + X ^3-+X^2 + X + 1 }

次 まんなかに正方形ができる。

讚！👍

組立で解かないんや。

次、 ４１

Aの部分がさらに因数分解できないと断じた根拠は？ 整数係数の範囲での因数分解がこれ以上できないことを確認する方法を教えないのはどうかと思う アイゼンシュタインの定理を使えば、判別は可能ですよ 受験数学のトレーニングとしてはアイゼンシュタインの定理を使いこなせることが必要なのかはわからないけれど、数学という学問の性質において定理や証明をすっ飛ばしてなぜ？を追求せず答えにたどり着く方法のみを教えるのは、学問ではなくトレーニングでしかない

答え　x(x+1)(x-1)(x^2+1)