如何通俗的理解虚数和复数？虚数的几何意义又是啥？一次搞懂！ 

复数的物理意义-电路中的理解： 利用能量守恒的观点，实数代表了真实的能量消耗，虚数代表了能量的存贮： 1、电阻：真实的消耗能量，所以为实数。 2、电容：把能量暂时存储在电场中，没有消耗，需要时能量可以释放出来，用虚数标识。 3、电感：把能量存储在磁场中, 没有消耗，需要时可以释放出来，用虚数表示出来。 4、能量公式：KVA的平方= KVAR的平方 + KW的平方，仍然可以看出，虚数代表了存储的能量。 - 绳子 于 2021年9月20日晚

您还是没完全讲得很好。虚数也在一条直线上，为什么就要把它竖起来？为什么不画在x轴上面平行的某个地方？因为，考虑到 i*i=1×i*i=-1, 是把1旋转了180度，所以如果1只乘以一个i，应该看成是把1旋转180度的一半90度才合理。这样规定以后，其他地方逻辑也是自洽的，所有才规定虚轴垂直于实轴。再加上0i=0，所以虚轴也要过原点。

雖然很多人留言反對這影片的角度 “為了研究而研究 ” 實際上虛數在很多地方是必須的存在 這些應用多半與角度相位相關 量子力學、光學、電磁學 ...與他相關領域多到數不完 在我工作領域是每天 每小時 都要用到矩陣複數計算 得出符合實際量測數值的可能狀況 進行設計、參數調整 或許複數 矩陣 相位 ...一般人可能不夠了解 但依據他設計生產的日常生活用品 每個人都在用 不是一個為了研究而研究的數學 非常非常的實用 只在於你有沒有進到這個業界的差異而已

利害，講解的很清楚，比我以前老師教的還讓人理解^^，受益良多~大推

虛數在物理跟工程有很大的應用 相對論的時間維度，電磁波的波動方程，量子力學的schrondinger equation都有虛數的身影 工程上機械人運動常用quaternion 作為euler angle跟空間旋轉軸表達式，也有用到，最近很流行的AR.技術也會用到

讲的的太好了，谢谢

提出一个小小的建议：rational number 有理数，并不是有道理的数。而翻译为可比数比较好，即，可以表示为两个整数之比的数。Ration 有配给的意思，源于军队中按军衔分配食物，一种比例的概念，因此与rational number的本质含义有内在逻辑联系。 --参考数学教育家孙维刚讲解

很实用的科普视频，非常感谢

叔讲的太棒了👍醍醐灌顶，看了那么多材料只有你的我能看的最明白，还举一反三了👍

讲得好清楚，厉害！！

一個不簡單的數學邏輯，被媽咪叔一說，就比較懂了，求知識的路上，遇到好老師，也是一種運氣

跟eddie woo一样，把抽象的数学概念讲得浅显易懂。赞一个。

Thank you, very clear.

感谢你言简意赅的讲解！

我个人的经历，高中学到到虚数和复数的时候，我硬生生地把复数这个名词中的“复”字理解为完全等同于虚数中的“虚”字，后来学英语时学到这两个词对应的英文单词时（imaginary number 虚数，complex number 复数）才顿悟到这两个词的真正含义。complex 有复合体或者复合物的含义，一个建筑群也可叫做complex, 因为里面包含有多幢各自独立的建筑。所以复数中的“复”字含义指的就是由实数和虚数复合在一起的一个数，尽管中间还有一个加号，但还是看成一个数。这样理解虚数和复数就很好理解了！

两个复数的乘积，用三角函数表达式来计算，正好可以分别得到sin函数与cos函数和的公式。如果一个复数的模是1，然后与另一个复数相乘，结果就是把另一个复数旋转且不改变其长度。比如sqrt(1/2) + sqrt(1/2)i 乘以任意一个复数，结果就是在复平面上旋转了45度。

好喜欢这种基础科普，不然莫名其妙来的定义太枯燥了，感谢up

讲得很好 加油 多多创这样的视频 支持哟

请叔叔讲解波函数以及复立叶变换，感谢!

謝謝！

a+bi：实部代表真实的能量消耗，虚部代表储能元件对能量的存贮；并且，二者可以互相转化，就像虚数坐标乘以i，变成实数坐标一样。

妈咪讲的很叔，赞！

以前每天計算交流電的時候，會感受到複數的物理意義，尤其諧振電路的部分。點進來看是因為 1.我已經好多年沒計算交流電 2.想知道別人怎麼看複數

大学以下的普通数学教育，就应该教授基本的数学历史和原理。别考试一来就是从头到尾计算。因为数学天才只是少数，不是人人都有能力发现数学的美。

播主已经尽可能亲民了。 所以我一知半解的坚持听完了。

感谢！

媽咪叔，請問一下，虛數可以用平面表達，那四元數會長什麼樣子呢？

有理數和無理數不是因為他們有沒有道理 有理數的英文rational number其實是代表這個是可以化作整數比例的(ratio-nal) 但是被錯誤理解成把rational直接翻譯成中文的意思(有理) 同理，所謂的無理數的定義其實就是不能用整數的比例來表達(i-rratio-nal) 這不但是在中文，在英文世界也廣泛存在這個誤解。使用英文的人也把rational理解成了「有理」，而不是「可化成整數比例」

N :natural number, Z:整數,德語Zahlen Q: Ration 有理數，"比例數” R (real 實數) "i" imagery (虛數，想像數） C ：複數 complex，複雜數

我的天, 妈咪这一个视频直接就打通了我对应用数学内部关联的最后一个盲区.

3:16 有理数(rational number)的中文命名其实是翻译错误，不是因为是"有道理的"。 此处rational 的原形是ratio，所以有部分中文数学书把Q称为”比例数“，而非”有理数“

妈咪叔，怎么证明实数轴是连续的呀？谢谢！

觉得妈咪叔没有讲透，我的思考是复数为实数的二元组合扩展加上这个基础上重新对加法、乘法和幂运算的重新定义后使到这个新定义的二元组在代数运算上闭合的一套定义

a不是在单位圆上吗，那旋转向量a怎么能得到acos那个角等于到虚轴的距离呢，不对啊

这里关于虚数的说法，使逻辑更加完美，有点不确切，开始是这样的。后来找到群之后，就不是这样了。复数组成的代数系统是个封闭的群，是一种模型，在物理中有对应的实体。不过整个视频挺好，点赞！

媽咪~，可以介紹一下黎曼的衍生公式嗎? 感謝~~

不愧是咱大内蒙的up主，到哪儿都恒源祥

想了解欧拉恒等式含义找了好久 ，感谢妈咪叔~！

5:53秒，您说判别式为b^2-4ac，但是您写的时候写成delta=根号（b^2-4ac）。

能不能讲下傅立叶函数

最近一直在看妈咪说，讲的深入浅出九浅一深非常有道理。不过这篇里面有一个小错误，应该是可爱的妈咪说疏忽了。Delta =b^{2}-4ac,是不开根号的。

用什么APP吗，我也想做点视频自娱自乐

远古时候数羊难道不是：咩，咩咩，咩咩咩么？。。。

妈咪叔，可不可以说一下进制哈哈。我一直想问，我们平时用的十进制真的是因为他更方便好用嘛？还是我们已经习惯了，或者说习惯于十进制表达数字的大小了？如果我们从小接触的都是比如7进制，十六进制，我们也会像现在用十进制的这么顺手吗？那到底是谁规定了人们使用就一定是十进制呢？十进制真的会简化运算嘛？

听到数羊，愣了下神，怎么就突然到欧拉公式了呢。。。

Δ=b²-4ac，并没有开方，不然怎么会小于零？🌚

欧拉恒等式真是美啊，感受到了。。。真牛！

狼來了

这节课妈咪讲的数学知识比较多，希望能讲讲物理上的应用，这样更容易理解些

看过日本的一本童书，复数放极坐标系更好理解一些

Sometimes it is difficult to convince people by showing the effectiveness of something. You need to convince them by showing the motivation.

8:25 为什么要竖起来？45度夹角不行吗？

学电路看完感觉醍醐灌顶

为什么A‘的坐标等于e的i π方呢？

複數的第一條還可以懂 加了三角函數頭就快燒起來了

是谁发明了竖直放的就是虚轴呢？为什么可以这样表达（实轴和虚轴垂直，意味着什么？）

上学的时候，都学过啊，只是忘了而已

我高中最讨厌就是e和i！！！一看到马上跳到下一题……妈咪叔那个坐标轴，几分钟的事，教会我10年前死活不懂的问题

既然数学是一符合逻辑的工具，那么欧拉恒等式接着往下推也应该成立，eΛiπ＋1=0推导出iπ=ln(-1).但后面这个式子，经过求证，显然是不正确的。那你能给解释一下吗？(那为什么我还要用这个式子，是因为我是要用它证明一个难题有关)。

坐标中不能使用勾股定理

提醒小帅哥，阿拉伯数字起源于印度，阿拉伯商人把它传入欧洲。当时欧洲人误称为“阿拉伯数字”。

后悔早点没看到系列

为了解方程产生了更多的种类的数

总觉得/0这个bug很让人不舒服，什么时候/0能扩展进数里面就好了

最早叫羊羊羊 然后换成石头 再换成刻痕 这个是有确实的证据还是想当然说的？

全部有聽懂，除了不懂8:15“為什麼”要把虛數變成縱軸，還有8:45投影的意義是什麼

板书有点乱，后期容易跟丢

我小时候（30多年前）0也不算自然数，只有正整数才是自然数

在物理里，虚数没有实际物理意义，只是作为工具使用。我从知乎上看到的一个回答，我回想了下，挺有道理的。

我总感觉这个虚数轴是四维世界的一根坐标轴

2i是逆时针旋转90°，2^i又是啥

实数为什么是连续的？因为如果实数不连续，微积分就没法用了？？？？？ 这不是用结论套原因吗，说了跟没说一样

我小学在九十年代 高中在千禧年之后 没听说0不是自然数这个说法 2000之后0才是自然数这个说法是有啥根据吗

问一下博主，你是用平板和笔画图和写字的吗？

阿拉伯数字是印度的

a+bi 表示一个二维平面。 在数学上，是否有 a+bi+cj 表示一个三维立体？

哇！我还在想呢，我博士研究里面用的三角函数跟复数不是同一个几何意义吗！但是中学好讨厌复数虚数啊，我连哪个是哪个都记不住。除了几何，其他数学都学不进去，结果读博研究几何还要建模，用的全是各方各面的数学🤢！现在开始喜欢量子理论，发现不学点绞我脑汁的数学，还真不够劲儿。

数字厉害

这科普太厉害了，前因后果，穿针插线，娓娓道来。

愛死他了

但不是不存在-i嗎

旋转意义看懂了，再请教一下，虚数部分和实数部分，就直接想加啊？也有意义么？

比起李永乐，更喜欢看妈咪叔，李永乐什么都写黑板。。。一下子就有一种疲倦感。。。以前读书上课枯燥的讲课的既视感

驚嘆號「！」想要嚇人，結果被往肚子裡揍了一拳誰揍的也沒看見，所以我們有了問號「？」 新年快樂，來複習一下順便簽到。🤣

古人智慧如此牛逼啊，解决问题的办法是把问题推到海里喂鲨鱼

妈咪树，知识树。 哈哈哈

全片重點 ： * i 等於 逆時鐘旋轉90度

数学再发展一步，人类就隐身了😄

数是数手指头产生的

我上学时0不是自然数呢……

10:12屏幕左侧冒出来了什么东西……

有个问题··· 在复数之外还有扩充吗？

为什么要把虚数轴竖起来?

恒！源！祥！羊羊羊！

虽然视频内容非常清晰有条理，妈咪叔本人也很可爱，但是讲数的时候那些圈圈画得有够难看

0做分母的问题啥时候能解决一下

歐拉公式後面就沒辦法理解了......不過現在的學校還真沒有講虛數的由來.....

完蛋 複數到歐拉公式就完全聽不懂了🤦🏻‍♀️🤣

i的平方为什么等于-1？

阿拉伯數字是印度人發明，通過阿拉伯傳入歐洲的。