I also got the answers to the first grade math test wrong, the factoring was too bad. 

どうせ綺麗な数字になるんでしょ?って思いながら解くよね

@@shp6989 分かりみが深い。

そんななか出てきたルート１４７分のを一生憎む、あっててもあってる気がしなかった

@@tomatann635 ちょっと詳しく

@@tomatann635 それ 7√3 ですよ

複素数の積→偏角は和 のところで、暗黙のうちに三角関数の加法定理を使っていませんか？

@@tchaikovsky1026 教科書等では,加法定理を用いて複素数の積において絶対値が積で偏角が和となることを証明しています.(こちらが一般的な方法でしょう.) しかしながら、複素数の積を図形的に捉えてあげて証明することもできます.(ここでいう「図形的に捉えてあげて」とは、加法定理を既知として↑で述べた「積において絶対値が積,偏角が和となる」…(※)という定理を図形的な意味として見出すという教科書の流れではなく,図形的な側面(「相似」の概念)から定理(※)を導いてやるということです.そうでなければ循環論法に陥ってしまいます.この点についてのご指摘だと思われますが,ご安心ください.以下に定理(※)の証明を添えます.) 定理(※)の証明 複素数を複素数平面上でベクトルとして捉えてやると都合が良いので(というか複素数はベクトルなので)、a,b∈lRとして、複素数a+biを右にa進んで上にb進むベクトル(a,b)として扱う.こう考えることにより複素数の和はベクトル和と同様に振る舞うことがわかる. まず 複素数Aと虚数単位iの積Aiについて、複素数平面上でベクトルAiはベクトルAをπ/2回転したものである…(※※) を前提とする. (これは別個で証明できる.要は座標平面上で点(a,b)を原点中心にπ/2回転した点が(-b,a)であることを示せばよい.) 2つ複素数A=a+bi,B=c+di(a,b,c,d∈lR,argA=α,argB=β)の積について考えると AB=A(c+di)=c・(A)+d・(Ai)(A,Aiを纏まりと捉えて分配して展開した) AiはAをπ/2回転したものであるから,この2つのベクトルA,Aiを基底とする直交座標系…①は、2つのベクトル1,iを基底とする直交座標系…②をlAl倍に相似拡大または縮小し,原点中心にargA=αだけ回転したものであり、①と②は互いに相似である. したがって,ベクトルB=c・1+d・iをlAl倍に拡大または縮小して,αだけ回転したベクトルがAB=c・(A)+d・(Ai)であるから、これにより複素数ABの絶対値はlAllBl,偏角はα+βであることがわかり定理(※)は示された. 補足(1) どうしても言葉で記述すると堅苦しくなってしまいますが、AB =c・(A)+d・(Ai)という複素数を図示してあげると視覚的に理解できると思います. 補足(2) あえて「①と②が座標系として相似」と表現したのは、一般角α,βを扱っているゆえ、一般性を保つためです.３点(0),(c),(c+di)を頂点とする三角形と３点(0),(c・A),(c・A+ d・Ai)を頂点とする三角形が相似といえばわかりやすいかもしれません. 補足(3) 定理(※※)を活用して複素数平面上で定理(※)を証明しましたので, 定理(※)を用いると (cos α+isinα)(cos β+isinβ)=cos (α+β)+isin(α+β) 左辺を展開して実部と虚部の比較により 三角関数の加法定理 cos αcos β-sinαsinβ=cos (α+β) sinαcos β+sinβcos α=sin(α+β) が得られます. 補足(4) 恐らくお気づきかと思いますが上で紹介した定理(※)の証明では定理(※※)と複素数のベクトルとしての振る舞いがミソになっています. 複素数平面上でなくても同様の加法定理の証明がただのxy平面上でベクトルを用いてできます. (証明) 大文字はベクトルを表すことにする. また、cos (θ+π/2)=-sinθ,sin(θ+π/2)=cos θを既知とする. (これは加法定理を用いるまでもなく証明可能) E1=(1,0),E2=(0,1)とし, E3=(cos α,sinα)=(cos α)E1+(sinα)E2 E4=(cos (α+π/2),sin(α+π/2))=(-sinα,cos α)=(-sinα)E1+(cos α)E2 とする. E1,E2を基底とする座標系を原点中心にαだけ回転したのがE3,E4を基底とする座標系であるから, ベクトル(cos β)E3+(sinβ)E4は(cos β)E1+(sinβ)E2をαだけ回転したベクトルであり, (cos β)E3+(sinβ)E4={cos (α+β)}E1+{sin(α+β)}E2 ⇔ (cos αcos β-sinαsinβ)E1+(sinαcos β+sinβcos α)E2=cos (α+β)}E1+{sin(α+β)}E2 E1,E2は線形独立だから,係数比較(つまり、成分表示したときの成分の比較)により 三角関数の加法定理 cos αcos β-sinαsinβ=cos (α+β) sinαcos β+sinβcos α=sin(α+β) が得られた. このように、ベクトルの視点から見てみれば加法定理なんて一瞬で導けてしまいます.(上では多少丁寧に書いたつもりなので長々しく見えてしまいます.) 余談ですが、加法定理,定理(※)ともに独立に証明することもでき、また加法定理を用いて定理(※)を導いたり、逆に定理(※)を用いて加法定理を導いたりできて、証明経路がたくさんある(つまり一方通行ではない)というのも個人的に数学の面白さの１つだとおもいます. 因みに、私は数学2の授業で先生に「加法定理の証明は複素数平面を用いてできる」ということを教わり、そこで複素数平面に関して学習した際に定理(※)の図形的な証明を知って感動した記憶があります.教科書等に載せられていないのが残念ですが、非常に面白いので是非多くの方々に知っていただきたいです.もし上で述べた定理(※)の証明がわかりにくかったり読みづらかったりすれば、「加法定理　複素数平面　証明」で検索してみてください.ヤフー知恵袋あたりで見つかるとおもいます.

@@mathmouse3797 おっしゃっていることはよくわかります。 自分は数学の専門家でないので、間違いがありましたらご容赦ください。 書いていただいたアプローチは、形式的には複素平面をとっていますが、xy平面を用いた加法定理の証明（高校でやるような一般的な証明）とほぼ同値であることがわかりました。 もちろんどちらが正しいとかではなく、両方正しいのだと思います。 @mathmouse さんの論証では、「複素数の積は伸縮と回転を表す」を証明した時点ですでに加法定理がほぼ証明されているので、 「複素数の積の性質から加法定理を証明する」という主張に違和感がありました。

@@tchaikovsky1026 「複素数の積の性質を導いた時点で加法定理の証明ができている」というのは全くその通りです. 絶対値が1の特殊な場合について単に「複素数の積の性質」を書き直したのが加法定理となっています. ですので、「複素数の積の性質を利用して加法定理を証明する」というのは「複素数の積の性質から何か発展させて(応用させて)加法定理を導く」というニュアンスではなく、「複素数の積に関する定理の特殊なケースが加法定理そのものであるということを述べる」だけのものです. 複素数の積に関する定理を認めた上では、確かに加法定理はそれに含まれる自明な主張ですね.同じ類として、三角関数の合成も加法定理そのものであり,加法定理を導いた時点でほとんど導けているような自明な事柄です. ただし、複素数の演算のみでエレガントに加法定理を記述できるというのは記憶しやすいという点からも価値のあることだと思います.

とりあえずラーメン食べたい

@@user-bi6qq3cj5g 「整数の範囲で因数分解する」がどのような行為を指すのか誤解していませんか？例えばx^3-1を整数の範囲で因数分解すると(x-1)(x^2+x+1)となることはわかりますか？

@@user-bi6qq3cj5g おーい聞かれてんぞーw

@@xpxxpx6812 偽モンさむい

@@user-bi6qq3cj5g 下手に数学ガチ勢に反論するとこうなるんだよなぁ…

@@user-bi6qq3cj5g 間違った時は謝ってね

ですよね。この指摘なさすぎて自分が間違ってるのかと思った。

てかこのような動画は真面目しか見ないだろ。勉強しない奴がわざわざ見に来るはずがない

@@user-dx3mw1kz5rバカはまず問題文理解出来ん

解法としては先にそれを思いつきそう

@al2 tio5 ん？

小泉構文みたいで好き

超上位中高とか行ったら自力で解くレベルの奴がいますが、ここにはいない模様です。

解説聞くと分かった気になるやつ

お主どんな高一だよ

x^7-1を掛けるってことに気づけたらそこからは複素数って気づけるよね

いやー私もです！

逃げろ....

逃がさん…お前だけは…(数学沼)

に〜げるんだよ〜！

スモーキー！

自分語りになるんですけど無事ゴリゴリ理系の高校に受かったのでどんどん数学沼にハマっていこうと思います

それは文系なのだろうか ※数Ⅲを学ぶ時点で文系ではないのではないかという意味ね

できないだろ

@@user-lj9ws3ke5c クソリプやめとけ

"もし"が読めない模様

@@Shuuuuuuuumai もしっていってんだろ日本語検定やってこい

@@user-mo1ji8xk7x 口悪いぞ

因数分解とかそんなもんやろ

​@@user-us2cx4pg2mそうか？大体きれいになるもんだと思ってたわ

数学的には足し算より掛け算の方が簡単なんだよね。だから見やすいのかも。

@@ammmamaaamaam 積分、Σ「…」

@@user-yi1lr4ze8xまあそいつらがムズいのはそれのせい

俺が問題出してやるよ！ 因数分解しなさい (a+b)(b+c)(c+a)+abc 答え　(a+b+c)(ab+bc+ca)

@@housecalpis4029 (a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)

動画とレベルが違いすぎて草

灘でもこんなの出さない

@@housecalpis4029 青チャートで見たことある

その気持ちわかる気がする

θかっけぇこれだけしか理解出来ん

有能

伸びろ

@@amolaquila 伸びない定期

@@amolaquila 伸びる必要性皆無

@@amolaquila きも

多分だけど1次試験なんじゃないかな？

ん？？？ 自然数？？？

@@田中_田中 n=1のときの因数分解はどのようになるのでしょう。

@@JJ-mr7li 失礼しました。「自然数」は誤りです。n=1は除きます。

自分で展開すればわかることでしたすみません。

それおもしろそう

@@kraas1343 普通に終端速度で100mを割っただけじゃないの？

@@user-wc3dg7vg7j 人間の走りに終端速度って定義できるの??現在最速の速度を使うにしてもこれから先もっと速い人が出てくるかもだし

それな……

それ思ったからそのコメ探してたーー

そう

2x cos○πですね。

おつかれぃ

恐らく書き間違えかと思います。その後の説明ではω_20になってますね。

テイラー展開はめんどくさい展開を簡単に近似することやで