自然数・平方数・立方数の和の公式［今週の定理・公式No.24］ 

すいません昨日編集したのに満足してアップロード忘れてました．

積分ができて余力があるなら，以下を覚えておくと簡単に導ける S(k,n)=1^k + 2^k + 3^k + ･･･ + n^kとすれば S(k,n)=k ∫ S(k-1, n) dn + Cn（CはS(k,1)=1となるような定数） が成り立つ 例･･･明らかにS(0,n)=nであるので S(1, n)=1×∫ S(0,n) dn + Cn =1×∫ n dn + Cn =(1/2)n^2 + Cn S(1,1)=1/2 + C = 1よりC=1/2 ∴S(1,n)= (1/2)n^2 + (1/2)n=n(n+1)/2 何故こうなるのかを概説すると･･･ S(k,n) - S(k,n-1) = n^kである．この両辺をnで微分すれば S'(k,n) - S'(k,n-1) = k n^(k-1) ここでF(n) = (1/k){S'(k,n-1) - S'(k,0)}とすれば， F(n) - F(n-1) = (1/k){S'(k,n) - S'(k,0)} - (1/k){S'(k,n-1) - S'(k,0)} =n^(k-1) よってF(n)=S(k-1,n)であるから F(n) = S(k-1,n) = (1/k){S'(k,n) - S'(k,0)} S'(k,0)は定数であるから，これをCとすれば S(k-1,n) = (1/k){S'(k,n) - C} 両辺にkを掛けてnで積分すると･･･ S(k,n) = k ∫ S(k-1,n) dn + Cn となる これは大学の範囲になるが，高校生でも理解できると思う．誘導付きなら大学入試で出題される可能性もあるので，難関大学を目指すなら考察しておくことをお勧めする

実はbbaaaaの並び方を考察することでも導き出せます。

14:11から正方形で解説してくださったおかげで、ようやく、なぜ、Σ3乗の公式が1/2n(n+1)の2乗で表せるのか理解できました。ありがとうございました‼️

大事ですよね。単元で必要になる計算ノウハウがいくつもあって。

この動画のサムネみたとき 「あれ？今日金曜日だっけ！？」 って錯覚した

19:15の正方形の面積である、 (Σk)^2=(n(n+1)/2)^2 をnで微分すると n(n+1)(2n+1)/2 になりました。なぜΣk^2と形が似ているかは不明ですが、こいつをk-1からkで積分するとキレイにk^3になりました。 面積の増分がk^3になっていることが解析的にも示せます。 なんでΣk^2と似てるのか分かる方いらっしゃったらヒントください🙏

自然数に関してのみそういった話題が存在するのは 整数の和と積に関しては 総和も積もどちらも０であると自明だから 議論の余地はないってことでいいんですよね

図形的な解説、面白かったです！

Σを動画中と同じ扱い(kを1~nまで足し合わせるもの)として Σ(n-k+1)^2の計算でΣについてどの程度理解出来ているか考えられそう

二項係数 i_C_j (ただしi

韓国の数学の公式で　Σ k(k＋1)＝1/3n(n＋1)(n＋2)があり、これをを証明してから1/6証明するほうが簡単ということを聞いたことあります

前半は冪多項式の差分で、絵的に面白い後半は差分多項式の差分って感じですね

黒板に寄りかかったみたいな服w

やっぱり差分がすきだなぁ

「この公式は貴重なタンパク源になります」

高校数学で躓いた人間には、最初の証明だけで感動ものw

理屈を確認できて有りがたいです

待ってました！

ブロック組み立てみたいな？

自然数の３乗の和が正方形の面積に等しいとは信じがたい、体積＝面積にしか見えない。次元はどうなっている。お見事。

線形性？

これシグマの1番最初の授業で解かされた。確か九州大学の問題だったかな

k=0からじゃなく無い？サムネで騙された

4乗和以降も帰納的に考えて同様に導出できるが 流石にダルいので多少なりとも工夫はすべき模様。

早送りした時の音がヨビノリのそれ

ベルヌーイ数を使って積分で出した方が早いし楽なのでそっちを使ってます。

平面の話で３乗の話が出てくる点に違和感を感じてしまうあたりに自分の数学センスのなさが・・・

なんで(k+1)²-k²なのw

今日は、土曜日ですから、念のため注意を与えておきます。

要するに差分ですね

ベルヌーイ数が登場！

シグマの1乗2乗3乗の公式みてパッと閃いたから自分で導出したことある奴や笑

サムネのΣ、𝑘＝0からになってる(誤りではない)けど、なんか意味あるんですか？

いや、なんで正方形の面積の差が3乗になってるって一般に言えんの？偶然n=3までそうなだけかもしれないじゃん、て思ったらそれを証明してるんだったw

寄り目ですね

なんというか、あんまり教える才能はないね