Dot product : b벡터가 a벡터의 방향으로 얼만큼의 힘을 가했는가를 구하고,그 스칼라와 b 벡터 스칼라를 합하여 실질적인 일의 양을 나타낸다. 이때, b벡터와 a벡터의 사잇각 세타를 총 스칼라에 곱하여 가중치를 결정 할 수 있다. Cross product : 3차원에 존재하는 공간상의 평먼에 두개의 벡터가 있을때 그 평면에 수직인 법선을 구할 수 있다. 추가로, 그 법선과 기존의 두 벡터를 통하여 3차원 공간상의 평면을 나타내는 방정식을 유도해낼 수 있다. 이렇게 이해했는데 맞...겠죠? 🥲
내적, 외적의 실용성에 대한 궁금증이 시원히 풀렸습니다! 좋은 영상 감사합니다😄 한가지 질문 드리고 싶은 것은, 내적(Inner product)와 점적(Dot product)가 엄연히 서로 다르고 점적이 내적의 특수한 케이스라고 알고 있는데 그럼에도 내적을 Dot product로 이야기하시는 연유가 있을까요? 다른 분들의 설명에서도 Dot product를 점적이 아닌 내적으로 이야기하는 경우가 왕왕 있어서 궁금합니다😶
내적(dot product)은 평면을 기본으로 하는 2차원 공간 혹은 그 2차원 공간의 확장인 3차원 공간에서 사용되는 vector product이고 점적(inner product) 인공지능분야와 같이 수 많은 차원(3차 이상 무한차수까지)에서도 적용이 가능하도록 일반화 한 vector product입니다. 한마디로 inner product가 더 넓고 포괄적인 차원을 품는 개념이고 dot product는 좀 더 좁은 의미 즉 2차원 혹은 3차원 공간에서 실질적으로 움직이는 물체등의 운동의 크기와 방향을 다룰때 사용됩니다. 도움이 되셨으면 합니다!
1. 벡터가 곧 복소수라는 것을 알았다. 왜냐면 복소수평면에서 둘다 (a,b)로 표시되기 때문이란거다. 2. 그리고 벡터가 허수(i)를 통해서 회전이 마음껏 가능하다는 것도 알았다. 3. 난 이제 그렇다면 퓨리에변환공식에서 두 신호간에 내적을 구할때 왜 Cosθ를 안곱해주는지만 알면 됀다. 4. 그전에 늘 그랬듯이 21세기 파스칼에 들러서 좀더 내적을 정리하고 하실 외적은 궁금하지 않았는데 5. 공대5호관에서 외적은 벡터의 회전이란 것을 들었기에 여기서 그 개념도 함께 정리하면 좋을 것 같아서 6. 여기서 뭔가 더 배울수 있는게 있을 것 같아서왜 Cosθ를 안곱해주는지를 확인하러 공돌이 수학노트와 공브로로 가기전에 이걸 듣고 같다. 23.09.16(토) 7. 그렇구나. 데이터도 벡터로 표현할 수 있구나. 그래 이게 궁금했다. 이게 벡터 행렬을 의미하는건가 0:45 8. 각 변수들이 미치는 영향력의 정도를 벡터로 표현한다는거구나. 이건 행렬얘기 맞네! 그리고 내적얘기를 하는 거구나. 0-:55 9. 세상에! 이게 이런 의미가 있었구나. 일단 너무 졸리니 잠깐 자고 온다. 10. 세상에 역시 21세기파스칼의 내공은 장난이 아니구나. 난 아직도 단위원개념의 충격을 잊을수가 없다! 11. y= (3/2)*X +5라는 식을 시간t에 대해서 다시 쓸수 있구나. 시간t에 대해서 움직인 x와 y가 움직인 값으로 나눠서 표시할 수 있다는 거고 12. 1초후에 좌표를 나타내면 그게 위의 식 y= (3/2)*X +5 이 된다는 거다. 13. 이거 신기하네! 14. 그래 곡선운동은 곧 직선운동의 연결이다. 그래 잘게 나누면 그렇게 된다는 거다. 15. ㅋㅋㅋ 여기에 핵심이 나왔다! 16. 벡터의 내적은 더이상 벡터가 아닌것이다! 양이 되는 것이었던 것이다! 그렇구나! 6:05 17. 그래 벡터의 내적을 구하면 그건 방향의미를 상실한 값이 되는 것이다. 벡터가 크기와 방향을 가지고 있는데 그중에서 방향은 상실하고 크기만 나타낸다는 것이다! 18. 그래 바로 이거다. 벡터가 복소수와 달랐던 점이 바로 이거다! 바로 벡터행렬 곧 벡터에서는 차원이라고 불린다 6:15 19. 복소수를 이렇게 차원이라고 말하는 걸 들어보지 못했다. 하지만 벡터는 차원이라고 말하는데 20. 벡터행렬의 본질은 차원이라는 개념이었구나. 이게 차원이라는 개념에선 출발할 수 있었던 것은 복소수평면처럼 실수와 허수축에서 출발했기 때문에 그런 것 같다. 21. 문제는 이게 실수와 허수 두가지 차원이 아니라 더 무한한 차원으로 나갈 수 있다는 거다! 그래 이게 핵심이네!!!! 6:15 22. 그래서 벡터 행렬이 중요한 거구나! 23. 이제보니 n차원이란게 n개의 행벡터와 n개의 열벡터의 곱이 n차원이었던 것이다. 6:15 24. 그게 결국 곱할 수 있기 때문이다. 25. 그런데 잠깐 여기서 내적을 구하는데 아까 곱했던 Cosθ는 어디갔지? 내가 의문이었던게 바로 이것이다. 26. 퓨리에변환공식에서도 이렇게 두신호간의 내적을 구하는데 벡터행렬로 접근하는데 Cosθ 곱하는 흔적은 찾을 수 없었던 것이다. 27. 좀더 들어보자. 혹시 나올수도 있으니까. 28. 여기서 성적에 미치는 변수(행벡터)들과 가중치(열벡터) 사이의 내적은 변수들간의 내적이라기보다는 성적이라는 결과에 대한 가중치를 곱한 단순한 결과값 아닌가? 29. 내적이 의미가 있으려면 예를들어 공부시간과 게임시간의 내적을 곱해야 하는 것 아닌가? 7:40 30. 여기서는 그 얘기는 결국 안나오는구나! ㅠㅠ 왜 벡터행렬곱 즉 열백터와 행백터를 내적을 구할 때 Cosθ를 안곱하는지 말이다! 31. 그걸 좀 알려주실수 있나요? 내적을 구하는데 왜 처음에 설명했던 Cosθ를 벡터행렬에서는 안곱하는거죠? 32. 제가 아직 모르는게 있나요? 선형대수를 더 알아야 되나요 그럼? 23.09.16(토)
벡터의 내적에서 cos을 곱하는 이유는 실수체계에서 한 벡터가 다른 벡터에 영향을 미치는 값(평면_2차원)을 실수값(선_일차원)으로 바꾸려면 당연히 필요하게 됩니다. 하지만 퓨리에변화공식은 함수 자체가 복소수계(평면_2차원)에서 정의되어 있기 때문에 일차원 직선으로 값을 끌어 내릴 이유도 필요도 없죠. 평면을 평면 그대로 보고 움직임을 관찰할 수 있는 수의 체계가 복소수 체계이기 때문입니다.
40년 만에 벡터를 도대체 왜 하는지 알았다... 수학을 이렇게 가르쳐야 하는데 맨날 그린정리 같은 거 외우라고 시키기만 하고. 이딴 식으로 하면서 노벨상 안 나온다고 징징 대는 꼴을 보고 있으려니 한심하다 한심해. 맨날 빠른 거 좋아하고 중간 과정이나 의미 따지는 거에 인색한 위대하신 반만년의 배달의 민족은 100년 뒤에도 노벨상 안 나온다고 징징 거릴 거다. 감사히 잘 보고 갑니다. 고등학교 때 이렇게만 배웠어도 공대 갔어요.
이 영상과 관련없는 댓 달아서 죄송해요ㅠㅠ하지만 제 수학실력이 답이 없어서..제가 새로운 유형이 나오면 자꾸 틀려요.부등식하고있는데 부등식이 뭔지는 알겠는데 새로운 유형이 나오면 자꾸 틀리게 돼요. 응용이 하나도 안되는데 이런 경우는 어떻게 해야하나요. 부등식뿐만 아니라 다른 파트도 다 그래요ㅠㅠ그래도 열심히 풀고는 있는데 자꾸 틀리니 속상하네요
영상과 상관 없어도 괜찮습니다. 실은 수학을 유형으로 나눠서 공부하는 방법자체가 문제가 있는 것입니다. 부등식은 등식의 양쪽을 구성하는 값들 중 오른 쪽 혹은 왼쪽이 더 큰 영역 즉 x 값의 영역을 찾는 문제들 입니다. 등식을 풀듯이 풀면 되고 이 모든 과정은 사실 주어진 함수와 그 함수들의 그래프를 이용하면 더욱 정확하게 이해할 수 있습니다. 사실 어떤 수학 개념이든 왜 배우고 왜 그런지 이해가 되어지면 문제가 바뀌어도 생각할 수 있게 되는데 계속 유형을 만들고 그 유형에 익숙해 지는 공부방법을 일반화 하다보니 이런 문제가 생기는 것입니다. 부등식은 미국에서도 최근 아주 중요해진 개념입니다. 언제 꼭 한번 이 부등식에 관한 문제를 가지고 영상을 만들어 도와 들이도록 하겠습니다. 화이팅 하세요!
선생님 초등학교 1학년 아빠이자, 나이 40이 넘어도 아직 수학의 기초가 목마르지만, 어떻게 시작해야할지 방법을 몰라 고민만 하고 있 사람입니다.. 오늘 선생님의 책을 2/3을 다 읽고, 영상도 보았습니만, 어떻게 해야 선생님의 말처럼 개념과 수학을 같이 이해할수 있을까요? 여기 동영상을 모두 보면 될까여? 여기 영상을 어떤 순서로 보면 될까요? 여러가지로 조언 부탁드립니다.
안녕하세요 유이선님! 우선 제 책도 읽어 주시고 또 유튜브 영상도 봐 주셔서 너무 감사합니다. 제가 어떻게 도와 드릴수 있을지 고민하고 도움이 되어 드리고 싶습니다. 제가 제 이 메일 주소를 남깁니다. 연락 주십시오. (xxi.math.pascal@gmail.com) 이제 이사와 집 수리가 거의 끝나갑니다. 곧 유튜브 영상으로도 인사 드리겠습니다!
아닙니다 내적이던 외적이던 벡터는 크기와 방향을 의미합니다. 그리고 수학, 특히 기하학에서 점은 크기를 갖지 않습니다. 그래서 크기를 갖지 않는 점은 벡터가 될수가 없는 것이죠. 하지만 벡터를 (3,4)와 같이 좌표평면의 점으로 나타내서 표현하기에 많은 분들이 헛갈려 하시는데 만약 벡터 a=(3,4)라고 하면 이 벡터는 원점에서 이 점까지의 거리 즉 5가 벡터의 크기이고 원점과 이 점 (3,4)를 연결하고 x 축으로 수선의 발을 내려 삼각형을 만들어 나오는 직각 삼각형의 왼쪽 아래 코너에 있는 각이 이 벡터의 방향이 됩니다. 이것은 arctangent(4/3)로 구할 수 있습니다. 아무쪼록 도움이 되셨으면 합니다!
완전 왕초보 질문 드립니다. 4의 힘으로 상자를 움직이는데 다른 사람이 4의 힘으로 완전히 같은 방향으로 돕는다면… 합해진 힘은 4 + 4 = 8인지요 4 * 4 = 16인지요? 8이라면 dot product의 곱하기와는 다른 공식이므로 dot product는 어떤 경우에 쓰이는 것인지요? 16이라면 두 힘이 합쳐졌을 때 단순히 더해지는 것이 아닌 곱해지는 물리적 작용이 있는 것인지요? 너무 기초적 질문드려 죄송합닉다.
좋은 질문 감사합니다. 우선 제 설명에 오해를 드릴 수 있는 부분이 있음에 사과를 드립니다. 내적은 어떤 방향과 힘이 있는 값(벡터)에 세터의 각 만큼 벌어져 있는 또 다른 벡터가 얼마남큼의 영향을 월례의 벡터에 주는지에 대한 값입니다. 월례의 벡터의 방향과 크기가 주어지고 거기에 내적을 통해 구한 값을 월례의 벡터의 크기로 나누면 영향을 준 벡터의 크기만 순수하게 나오죠. 그런데 벡터의 내적은 그 값만을 제공하는 것이 아니라 그 값과 원례 벡터의 크기를 곱한 값을 우리에게 주는 것입니다. 마치 이자만 계산한 것이 아니라 이자와 원금을 함께 계산했다고 볼 수 있죠. 그리고 벡터의 합은 방향이 완전히 같은 경우를 제외하고는 월례의 벡터와 방향이 달라집니다. 그리고 그 값은 스칼러(크기)가 아니고 벡터(방향과 크기)이죠. 하지만 내적은 그렇지 않습니다. 내적은 원례 벡터의 방향을 유지하면서 도움을 주는 벡터의 크기에 의해 달라진 크기(스칼러) 값을 보여 줍니다. 그리고 아주 중요한 곱의 성질은 합은 아무리 작은 값이라도 계속 더하면 값이 조금씩이라도 계속 커집니다. 그 값이 1보다 작은 값이라도 말이죠. 하지만 곱은 다릅니다. 곱하는 값이 1보다 작은 경우는 곱하면 오히려 그 값이 작아집니다. 영상에서 공부를 잘하는 경우를 1 못하는 경우를 0이라고 했을때 각각의 요소들이 어느정도의 % 값(가중치)으로 1이 되는 결과값에 영향을 미치는지의 예가 있습니다. 이 경우도 공부를 잘하는 방향은 변함이 없이 그 각각의 요소 요소들이 어는 정도의 비율 혹은 효율로 최종 결과에 영향을 미치는 지를 구한 값이죠. 결론적으로 벡터의 내적은 도움을 주는 값의 크기가 원례의 벡터의 크기에 스칼러 곱으로 곱해진 경우를 말하는 것입니다. 도움이 되었으면 좋겠습니다...
![벡터의 내적과 외적이 뭐지???[나의하버드수학시간_저자 정광근]](/img/logo.svg){kind=logo}
