수능 미적분, 해설지와 다르게 풀어볼까요. 

감사합니다. 응원합니다 !

아이고 ㅠㅠ 지나친 과찬이십니다. 선생님들께서 보시면 화내실 얘기일 겁니다 ㅠㅠ..

저야말로 시청해주셔서 감사합니다!

와! 아주 정확하게 이해하셨어요. 그렇게 해서 dy/dx 를 구하면, 그게 미분값입니다. 고등학교 수학에서는 이거를 음함수의 미분법이라고 해서 배우게 되어 있구요. 제가 영상에서 이야기한 것은 라이프니츠의 미분표현법을 이용해서 정의되어 있는, '미분형식'으로의 미분이구요. 고등학교 수학에서는 기본적으로 음함수의 미분을 이용할때도 dy/dx 자체를 구하도록 되어 있어서, 이거는 음함수의 '전미분'이라고 합니다. 미분형식으로의 미분과 전미분에서의 미분은 y,x만 가지고는 차이점을 발견할 수 없는데, 다변수 함수로 넘어가게 되면 그때는 여러 이야기를 같이 할 수 있게 됩니다. 다변수 함수의 미분에 관해서도 논해둔 영상이 있는데요. ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-ct_O4tAS_cc.html 요거를 보시면 좀 더 이해가 되실 것 같습니다. 마지막으로 부디 '이런것만 미분이다!'라고는 생각지 말아주시고, 다양한 미분의 방법을 하나씩 발견해나가세요! 앞날이 창창한 중학생이시니 더 많은 것을 보고 배우실 수 있을 것 같습니다. 화이팅입니다! :)

치환적분의 모습 자체가 디퍼런셜 폼을 그대로 적용하는 것! 포인트를 딱 집어주셔서 감사합니다!

질문 감사합니다! k 를 변수로 보고 풀게 되면, 1 * dk 가 모든 경우에 들어갑니다. 예를 들어서 (tk)' = 1* dt *k + t * 1 * dk 이렇게 되는 것처럼요. 평가원 교수님들이 문제 정말 멋지게 낸다고 생각이 드는 이유는, 이렇게 디퍼런셜 폼을 통해서 미분을 전개하더라도 저 식에서 나중에 이쁘게(!!) dk 를 포함한 항이 모두 소거됩니다. 그러면 의미상 k가 변수이든 아니든 상관없이 항상 문제의 의도된 답이 도출되게 되어있습니다. 시간이 날때 간략하게라도 저 영상의 보충영상 빨리 찍어보도록 하겠습니다. 항상 영상이 늦어 죄송합니다.

아 아닙니다. 여기서 제가 쓴 da 라는 표현은 미분형식에 의거한 표현이고, 전미분에 의거한 da/dt 와는 완전히 다른 내용이 됩니다. 미분 형식에 대한 영상은 ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-B7gTECZzC3U.html 여기서 시청하실 수 있습니다! 이 영상에 대한 보충 영상으로 지금 이 킬러 문항 풀이가 있었습니다.

아 맞습니다. 좋은 지적 감사합니다. 사실 엄밀하게 말하면 t의 위치에 따라 접점 k 마저 변하기에, 그럼 a k t 모두 변수가 된다 생각할 수 있습니다. 사실 미분할때 한번 더 k 에 대해서 미분하는 한줄만 더 늘어나면 되는데, 그렇게 하면 완전한 다변수 함수의 미분 이야기가 되어버려서 수능 30번 풀이에는 맞지 않다 여겼습니다. 그래서 간편한 풀이를 위해 k를 상수로 두었는데요. 다변수 함수로 보는 미분으로 전개했을때 어떻게 되는지를 적어두는 편이 나았을까요. ㅠㅠ 그럼 그냥 다시 촬영(..) 해버릴까도 고민하게 됩니다 ㅠㅠ

@@Math_is_Dharma 안녕하세요. 영상에서 k를 변수로 여겨야 하는데 상수로 두고 풀어도 문제가 없었던 이유가 뭔가요?

@@siwonjo891 음.. 그러니까 사실 진짜 엄밀하게 바라보면 k값도 t값의 영향을 받아서 같이 움직입니다. 그런데 그렇게 되면 정말 모든 것을 다 t로 미분해야하고, 그러면 다변수함수가 되니까 이미 고등학교 범주에서 벗어나 버립니다. 이에 k값은 일종의 점이므로, 상수 취급하겠다 하고 이야기해버리면 이때는 다변수까지는 아니고, 그냥 라이프니츠의 매개변수 미분하듯이 하는 걸로 고교 교과 과정에 남게 됩니다. 어찌되었든 평가원 문제이기 때문에, 교육과정을 벗어나는 문제는 결코 나오지 않습니다. 따라서 다변수함수로 보지 않는게 더 맞는 이야기가 되는거겠죠. 실제로 저걸 다변수함수로 본다고 해도, 식이 이쁘게 만들어져 있어서 일일히 다 미분을 하다보면 서로 슥슥 지워져 나갑니다. 그래서 결국에 남는 식은, 그냥 k를 상수로 보고 미분했던 식과 완전히 같은 식이 남게 됩니다.

우측상단에 (k-t)*ln(k-t)=1 이란 식을 그래프상에서 확인해보면 lnx= 1/x 의 교점이 생길때 그 값이 k-t라는 소리고, 그 교점이란 항상 변하지않으므로 비록 k도 변수, t도 변수지만 k-t는 상수가 된단소리로 알고있는데 이렇게 풀어보면어떨까요

감사합니다! :)

시간만 충분히 있으시다면 다들 잘 풀어내실 겁니다! 다만 귀차니즘의 압박이 많으셨던 거겠지요.. ㅠㅠ

어.... 음..... 어.......

라이프니츠 미분법이라는게 현우진 선생님의 멘트때문에 만들어진 거라구요..? 여러모로 참 난감한 댓글을 주셨습니다....

@@Math_is_Dharma 그러니까 그 라이프니츠미분법 이라는 워딩 말씀입니다. 그 미분하는 자체 말고요. 내가 모르는 미분법이 있나 싶었는데 그냥 현우진님이 라이프니츠의 위엄이죠 라고 말한 게 고유명사처럼 된 거로 알고 있습니다만.. 학생들이 라이프니츠미분법이 뭐냐길래 라이프니츠정리 말하는 건가 싶었는데 그게 고유명사처럼 굳어졌더라고요. 물론 미분형식으로 푸는 걸 라이프니츠미분법이라고 하는 게 통용되는 거라면 제가 틀린 거고요.

라이프니츠의 미분형식, Differential form은 단순히 '미분을 하는 방식'이 아닙니다. 대학교 저학년에서는 전미분, 편미분등을 배웁니다만 제가 앞선 영상과 이 영상에서 언급하는 '미분형식'이라는 내용은, 사실 '다변수 벡터 함수'를 엄밀하게 미분하기 위해 존재하는 내용이고 그렇기에 편미분을 이해하고 벡터필드를 다뤄본 후에 언급할 수 있는 미분의 상위 개념입니다. 따라서 제대로 이야기하려면, 벡터의 미분법과 행렬의 미분법까지도 언급해야합니다. 해석학이나 미분기하학, 혹은 벡터 미적분학에서 전개가 되는 내용이 되어 일반적으로는 다루지 않고, 수학과, 물리학과의 고학년에서부터 엄밀하게 정의합니다. 또한 공대에서는 Stoke's 와 Del 을 통해 간단히 적용법을 배우고 넘어가기도 합니다. 이 미분의 틀을 제대로 전개하려면, 라이프니츠가 주창한 미분의 표기법(notation)을 따르지 않으면 안되기에, 라이프니츠의 미분이라 통칭할 수 있습니다. 그러니 일반적인 고등학교 수준의 문제를 풀경우에는, 일반적인 미분과 사실상 다를바 없는 이야기로 보이게 되는 것도 맞는 말이 될겁니다. 애초에 전혀 쓸모가 없기 때문입니다! 가장 핵심인 벡터와 행렬의 미분에 대한 전개는 전혀 언급한 적이 없게 되어버리니까요. 요청이 들어와서 굳이 적용을 해보았을 뿐입니다. 저도 공부가 깊은 사람은 아닌지라, 제가 아는 내용이 많다고는 결코 말씀드릴 수 없습니다. 그저 제가 아는 선에서 주절거릴 뿐입니다. 그래도 미분이 고등학교에서 배우는 내용만 있는 것이 아니라, 직접적인 현실로의 적용도 가능하게 만들어져 있다는 것을 직접 보여드리기 위해 라이프니츠의 미분에 관하여 이야기드려본 내용이며, 그 연장선상에 있었던 이야기입니다. 따라서 제 영상에서 이야기한 내용과 현우진선생님이 말씀하신 라이프니츠의 위엄에 관한 이야기는 사실 접점이 없습니다. 이 점을 숙고해주시면 좋을 것 같습니다.

​​​​​​​​​​​​@@Math_is_Dharma 애초에 미분의 표기법이 라이프니츠, 뉴턴, 라그랑주 표기법 등으로 나뉩니다. y'는 라그랑주, dy/dx는 라이프니츠, y위에 점을 찍으면 뉴턴 표기법입니다. 용어는 제외하고, 표기법의 차이는 이미 교과서에서 다루고 있습니다. 쉽게 얘기해서 dy/dx 꼴로 식을 적고 푸는 것이 라이프니츠의 표기법입니다. 결국 현우진 때문에 "라이프니츠 표기법"이라는 워딩이 유명해진 것일뿐 새로운 스킬이나 개념은 아니죠. 삼차함수 비율 관계도 예전부터 있던건데 현우진 때문에 유명해진 거랑 같아요🙂