등차수열의 일반항 ax+b를 실수->실수의 일차함수로 생각하고 0부터 n까지 정적분하면 a/2•n²+bn 이 나오죠. 이는 직선 ax+b와 x=n, 그리고 좌표축에 둘러싸인 도형의 넓이입니다. 그런데 ax+b 를 정의역이 자연수로 제한된 수열로 여기고 수열의 합을 생각해본다면 당연히 연속적인 넓이를 구한 정적분 값과 차이가 발생합니다. 수열의 합을 그래프로 생각한다면 시그마 k는 1~n까지 f(k)×1 꼴이므로 이는 오른쪽 리만합과도 같은 모양새고 ax+b를 정적분한 값과는 x가 1씩 커질때마다 밑변길이 1에 높이는 기울기(공차)인 삼각형 하나의 넓이씩 차이가 발생하는 겁니다. 즉 적분한 값에 an/2를 더해야 일차함수의 오른쪽 리만합, 수열의 합과 같아지죠. 이 과정을 거꾸로 생각해서 수열의 합이 n에 대한 2차식 꼴로 주어졌을때 그 합은 n에 대한 일차함수의 리만 오른쪽 합과 같다 생각하시면 됩니다. 그리고 그것은 n에대한 일차함수를 부정적분한 식에 an/2 이 추가로 더해져있는 꼴이므로 이를 n에대해 미분한다면 원래의 일차식에 a/2가 더해져 있는 꼴이 나올겁니다. 그리고 a/2는 바로 이차항의 계수인 A이기 때문에 (Ax² 은 ax를 적분해서 나온 항) 수열의 합을 미분한 뒤 A를 빼주는 겁니다.
또다른 강의에서 Sn= 5의 n승 - 3일때는 미분 안하고 그냥 빼서 An을 구하셨는데 Sn=2n제곱+n+1 처럼 상수항이 있을 때는 미분하는 것처럼 푸셔셔 언제 저 공식을 써야하는 건지 헷갈려요 ㅠㅠ 등차수열의 합은 상수항이 없는 n의 이차식이라고 하셨으니까 두번째 식의 An 역시 등차수열의 합이 아니지 않나요? 어쩔 때 써야하는 건가요…
