'점'을 더해서 길이가 있는 '선'을 만드는 것이 가능할까? 길이란 무엇인가? | 다수의 역설, 르벡 측도, 르베그 적분, 영집합, 무한, 길이 이론
수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue)는 리만(Reimann) 적분의 한계와 문제점을 개선하기 위해 여러 가지 시도를 하였고, 그 결과 완성된 것이 르베그 측도(Lebesgue measure)와 르베그 적분(Lebesgue integral)의 개념입다. 르베그는 측도개념을 활용하여 보다 다양한 함수를 적분하고 함수의 수렴 관계 등을 리만 적분의 경우보다 훨씬 명확하게 정의할 수 있었습니다.
르베그 적분은 리만 적분에서 성립하는 성질(선형성, 단조성) 등을 모두 만족시키고, 어떤 함수가 리만 적분 가능하면 르베그 적분도 가능하며 값도 동일합니다. 더하여 르베그 지배수렴정리(Lebesgue's dominated convergence theorem, 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리)에 따르면 어느 정도의 유한성만 보장되면 극한으로 정의될 수 있는 함수들을 적분할 수 있습니다. 이를 응용하면 L^p공간을 결정하고 함수공간에서의 완비성도 논할 수 있습니다.
교과서에서는 실수의 완비성부터 출발하여 하나 하나씩 엄밀하게 정의해가며 측도 이론까지 도달하는 맛이 있습니다. 다만 유튜브 영상으로 제작하면서 많은 내용을 담으려다보니 측도이론의 발전과 결과에 대해 전체적인 맥락만 소개해 정의, 정리, 증명이 많이 생략되었습니다. 나중에 기회가 된다면 실수의 완비성과 데데킨트 컷, 나아가 비탈리 집합의 비가측성, 바나흐-타르스키 역설도 다뤄보도록 하겠습니다.
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여름에 시작했던 시리즈를 미루고 미루다 겨울에 완성하게 되었습니다. 기다려주신 분들께 정말 감사드립니다. 영상을 제작하면서 논란의 소지가 있을 것 같은 내용이나 여러분들의 의견이 듣고 싶었던 내용이 있어 정리해보았습니다. 영상 중 수정해야하거나 잘못된 것이 있다면 알려주시기 바랍니다. 이 댓글과 더보기란을 이용해 수정하도록 하겠습니다.
1. 교육과정에서 적분 구간에 불연속인 점이 포함되어 있는 함수는 되도록 다루지 않으려합니다. 일반적으로 약분을 하는 문제를 보시면 부정적분 문제일 것입니다.
2. 디리클레 함수의 불연속성은 증명하지 않았지만 직관적으로 이해하실 것이라 생각됩니다. 개인적으로 같은 점으로 수렴하는 유리수열과 무리수열의 함숫값의 극한으로 불연속성을 증명하는데 이는 추후 영상으로 제작해보고자합니다.
3. 일반적으로 교과서에서는 유리수의 조밀성(서로 다른 두 유리수 사이에 다른 유리수가 있음)이 증명되어 있습니다. 실수의 조밀성은 유리수의 조밀성으로부터 어렵지 않게 유도할 수 있습니다. 다만 유리수의 조밀성을 설명하기 위해 실수의 완비성, 아르키메데스 원리 등을 설명해야합니다. 완비성 같은 경우에 저는 재미있는데 쉽고 이해할 수 있게 잘 설명할 자신이 없어서 일단 영상에서는 제외했습니다. 다음에 준비해보도록 하겠습니다.
4. 이번 영상에서 가장 마음에 걸리는게 르벡 적분의 정의로 시작하지 않고 '자른다'라는 일반적인 표현으로 개념을 도입한 것입니다. 가산합을 이해할 수 있게 설명하는데 일반적인 용어를 사용할까 말까 계속 고민했는데 이는 여러분들의 의견이 듣고싶습니다.
5. 외측도로 르벡 측도를 정의할 때 영상에 보시면 정의는 닫힌구간으로 하고 증명은 열린구간으로 합니다. 그렇게 큰 상관은 없다고 생각해서 둘 다 넣어보고 싶어 혼용해보았는데 어떻게 생각하시나요? T_T
6. 개인적으로 '점'을 지칭할 때 한국어로는 '거의 모든'이란 표현이 좀 더 맞아보이고 '성립한다'라는 개념은 '거의 어디서나'라는 표현이 더 매끄러워 어디서나(almost everywhere)와 거의 모든(almost all)이란 표현을 혼용해서 사용했습니다.
#측도 #수학 #점선면 #리만 #르베그 #적분
20 янв 2022
