내적을 하면 선형변환에 의해 어떠한 수직선 내에 점으로 표시가될겁니다. 앞장에서 벡터를 점으로 표현했듯이 내적한 점에 방향성을 부여하는거죠. 내적은 스칼라값으로 벡터와 연관이 없을줄알았는데 영상에서 설명한 듯이 연관이 있죠. 내적한값에 방향성을 부여한 벡터를 정사영벡터라고합니다.
내적과 사영은 전혀 다른 개념인 줄 알았는데 깊은 연관이 있다는 이야기입니다. 어떤 의미인지 와닿기 위해서는 기본적인 선형대수학 지식이 필요합니다. 벡터들을 모아놓은 공간 벡터공간 V을 생각할 수 있습니다. 이 때 어떤 field F를 기반으로 만드는지도 중요하죠. 주로 실수나 복소수 등 field의 구조를 가진다면 이를 기반으로 벡터공간을 만들 수 있습니다. 여기서는 영상처럼 실수체 R이러고 해보죠. V에 대해 V의 쌍대공간(dual space)인 V*가 정의되는데, V*를 이루는 원소들은 V에서 R로 가는 linear map입니다. V를 R로 찌부시키는 것이 사영이기도 하고, Riesz Representation Theorem에 의해서 V*의 모든 원소는 내적으로 표현할 수 있습니다. V에서 R로 가는 linear map이 엄청나게 다양하게 있는 줄 알았지만 사실 내적이 전부였다는 놀라운 정리입니다. 영상이 말하고자 하는 바는 Riesz Representation Theorem과 서로 관련없어보이는 수학적 대상(내적과 사영)이 서로 엮이는 아름다움 Duality(쌍대성)을 말씀하시는 것 같습니다. *선형변환(linear transformation)과 linear map은 같은 말입니다.
문과생 출신, 수포자 입장에서 힘들게 이해한 것들을 부족하지만 설명하고자 합니다. 잘못된 부분이 있다면, 무시해주세요. ////// 7:30 ~ 부터 설명하는 내용은 사영 변환을 정의하기 위한 예시이다. 쉬운 예시에서 시작하여, 복잡한 예시를 설명하는 것이다. (쉬운 예시에서 사영 변환의 정의를 설명하고, 이를 일반화하여 사영 변환은 이런 것이라고 설명하고 있습니다.) 7:38 2 차원 단위 벡터 (unit vector) 는 뱡향을 가지고 있고, 크기가 1인 벡터입니다. 7:52 ~ 7:58 "2차원 벡터를 실직선 복사본에다 사영하는 행위는 2차원 벡터를 수로 변환하는 함수를 정의한 것이기도 합니다" 이 설명은 5:42 과 같습니다. 5:42 설명과 비교해서 설명하자면, "2차원 벡터를 실직선 복사본에다 사영하는 행위~" = v 벡터 (4, 3) 을 i를 1 , j를 -2 로 이동시키는 행위와 같다. "2차원 벡터를 수로 변환하는 ~" = v 벡터 (4,3) 을 i를 1 , j를 -2 로 이동시키면 -2 라는 수가 나온다. 즉, 어떤 임의의 2차원 벡터를 u 벡터에 사영한다는 것은 3장에서 말하는 선형 변환과 동일하다. 특히, 2차원에서 1차원으로 차원을 찌그러뜨리는 선형 변환과 동일하다. 이러한 선형 변환을 사영 변환으로 정의한다. 8:21 ~ 8:24 이 설명은 위의 설명은 식으로 다시 표현한 것이다. 2차원 벡터 v (2, 7) -> 사영 변환 L(v) -> 단일 좌표 [1, 8] 8:34 ~ 8:47 이후에는, 사영 변환 행렬 L(v) 을 구하는 과정이다. (2차원 벡터를 단일 좌표 [1, 8]행렬로 변화시켰기에 사영 변환은 1x2 행렬이다.) 8:48 ~ 10:06 다시 예시로 돌아가서. 임의의 2차원 벡터가 u 벡터에 사영하여 변환 했기 때문에. u 벡터에서 사영 변환 행렬를 구한다. (u 벡터의 (i, j) 가 사영 변환 행렬 각각의 열이 된다.) 이때, 우아한 대칭성을 사용한다. u 벡터 (i, j) 는 x 축의 (i, 0) 과 크기가 같다. (방향만 다를 뿐이지, 두 벡터는 같다.) 그렇기에, 두 벡터는 대칭을 이루고 있고, u 벡터의 i 는 u 벡터의 x 좌표가 된다. 같은 이유로, u 벡터의 j 는 u 벡터의 y 좌표가 된다. 10:10 ~ 10:25 사영 변환 행렬은 u 벡터 그자체가 된다. 그러므로 사영 변환 행렬 * 임의의 2차원 벡터 = 단일 좌표 u 단위 벡터 * 임의의 2차원 벡터 = 벡터 내적 결과 로 해석할 수 있다. 1034 ~ 11:16 u 벡터가 단위 벡터가 아닐 경우는 u 벡터를 얼만큼 스칼라 곱을 했는가 이다. u 벡터를 스칼라 곱을 하면, 내적의 결과도 스칼라 곱이 된다. (근거 2:57) 요약하자면, 이 영상에서 강조를 하는 것은 이것이다. 내적 결과의 의미를 두 벡터의 방향으로만 보지 말고, (0
