인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 댓글에서 얘기 나오는 대로, 0에 수렴하는 무한한 점프는 곧 ‘미끄러짐’이라 봐도 무방합니다. 또한 역설을 해설하는 방법은 다양합니다. 다만 이 영상에서는 ‘무한’에 대한 조명을 목적으로 하였다는 점을 알아주셨으면 좋겠네요.
정말 좋은 말씀을 해주셨습니다. 무한, 극한을 포함해 우주의 정말 은밀한 곳은 직관에 의한 귀납적 추론을 맹신할 수 없고, 오로지 깊은 고민을 거듭한 연역적인 논증과 이성만이 빛을 발하는 건 같습니다. 이러한 직관과 현실의 괴리를 인정하고 깊은 성찰과 반성을 할 줄 아는 사람이 진정 현명한 사람이겠죠.
사람의 인식이 유한에만 머물러 있어서 무한을 다룰때 오류를 범하기가 쉽군요. 직관으로 현상을 다뤘을 때생기는 오류!! 확통시간에 기저율의 오류에 대해서 배웠는데 둘다 직관에 의존했을때 오류를 범할 수 있다는 점에서 연관성이 있네요. 간단한 도형에서부터 확장시켜 설명해주셔서 이해가 잘됐어요! 영상 잘봤습니다
@@timetree4124 기준점을 어디로 두냐에 따라 다르죠. 사실 바닥에 닿는 점들은 미끄러지지 않기 때문에 직선운동이 없다고 봐도 되지만, 무게중심을 기준으로 기술하면 직선운동은 앞으로, 회전운동은 뒤로 이루어지며 두 운동의 x성분(운동방향과 평행인 성분)이 정확히 상쇄된다고 보셔도 될 것입니다. 무게중심을 기준으론 회전축이 바퀴 중심이기 때문에 본인은 이동하지 않고 직진운동을 하는 것처럼 생각하지만, 바닥에선 전진속도와 회전으로 인한 후진속도가 정확히 일치하므로 순간 정지한것처럼 되는 것이죠. 반면 바퀴의 최상단은 전진속도와 회전 속도가 같고 같은 방향이므로, 2배의 속도로 앞으로 나아가게 됩니다. 즉 실제 운동은 바닥과의 접점에서 일어나고 있고, 최상단은 순간적으로 바퀴의 지름을 반지름으로 하는 큰 회전운동을 하는것으로 볼 수 있지요. 회전축 자체가 움직이기 때문에 전체적 움직임을 원을 그리진 않지만. 상대론에 대한 이해가 있으면 이해가 쉬울거고 아니면 정말 이해가 어려울거라 생각해요. 가운데 원이 도약점프를 한다는 것은 회전축이 움직이면서 바닥을 기준으로 회전운동을 한다 보느냐(이것이 도약점프), 무게중심을 기준으로 둬서 병진운동 요소를 없애고 오로지 회전으로만 기술해서 보느냐 차이인듯.
측도론에서의 관점. 실제로 원소의 개수는 실수와 동일하지만, 측도를 재면 안쪽 원이 바깥쪽 원보다 작습니다. 이는 원소의 개수와 우리가 재는 측도 (길이 넓이 부피)는 애초에 다른 개념이라는것을 알려줍니다. 정확한 측도를 재기위해 적분이 필수 불가결. 원의 둘레또한 어떤 함수를 적분해서 나온 결과일 뿐. 측도를 눈대중으로 비교하는 것은 말도 안되는 일입니다
측도론은 배울 필요 없고 그냥 저런 의문이 들때 수식 계산으로 값을 구하면 됩니다. 직관으로 수학을 보면 꼬이기 마련이거든요. 가령 지구둘레만큼의 밧줄에 10m만큼 늘리면 지구를 감쌌을때 아주 미세한 틈이 생길 것 같지만, 계산해보면 모든 곳에서 1.6m만큼의 틈이 생깁니다. 정의나 개념은 사람이 만든것인지라 어느정도 머릿속에 그리며 받아들여도 되지만, 실제 상황에서는 수식 계산의 결과만이 정답입니다
40대 후반 아재입니다. 대략 20년 전 쯤... 이문제를 어딘가에선가 보고 도저히 이해할수가 없어서 이문제의 답을 알고 싶었는데... 그때만 해도 어디서 답을 찾아야 하는지도 모르겠고... 암튼 답을 모른체 지내다가 가끔 친구나 회사 후배들한테 이문제를 내면서 바퀴의 바깥원과 안원의 이동이 같으니 바깥원과 안원의 길이는 같다...!!! 라며 어디가 오류인지 설명해봐라며... 물론 저역시도 설명하지 못하면서 말이죠... 썸네일보고 깜짝놀라서 바로 보고 두번 봤네요... ㅎㅎ 대충 이해는 되는데 암튼 무지 어려운 문제였군요... 감사합니다.
점프라는 개념은 처음 들었지만, 원에서도 인식하는 방법은 있을거 같습니다. 저기 그림에서 가로선을 지우고 큰원과 작은원의 일대일 대응이되는 점을 두고 원이 굴러갈때 점이 이동하는 궤적을 그려보고, 그 아래에는 작은원과 똑같은 크기의 원을 그려서 그 원이 한바퀴 굴렸을때의 점의 궤적을 그린 뒤 위쪽의 작은원과 아래쪽의 작은원에서 생긴 두 궤적의 차이를 비교하면 점프의 길이가 인지될듯 합니다. 결론적으로 저 가로선에 의해 저 점들의 이동거리가 같은거 아닌가 라는 생각으로 생긴 일종의 착시(또는 착오?)였네요
바깥 원과 안쪽 원을 연결한 뒤에 풀어 헤칠때, 안쪽 원이 쫘악 잡아당겨진 듯한 그런 느낌이네요. 대충 고무줄을 늘리면 고무줄 본래의 길이 + 늘어나면서 생긴 분자간 거리 = 회전이동 하면서 얻는 본래길이 + 점프이동 거리 고무줄은 단순히 풀어헤친 것 외에 늘어났다는 외부 요인이 있던 겁니다!
Inner circle rotate 1 turn with certain amount of drift (jump) at the same time instantaneously and continuously What a brilliant explanation!!! Respect!!!!
none of those points on the circle have the trace like that linear. every points of the outer circle has the trace called "cycloid" and the trace length is actually longer than the line(which has same length with the perimeter of the wheel). the center of the circle only maintains linear motion, so the motion of outer circle can be explained by the combination of two, "linear" and "rotating". every points on the wheel has the same overall linear movement, so the trace length of linear movement remains same regardless of the initial location. only circular(rotating) movement differs in regard of the direction toward the center of the wheel, when it's zero it has no rotation, and when it's maximized, it will draw the biggest circle equal to the wheel's shape. so inner circle will draw a half-sized circle inside. Those two circle never draws the same trace, which is pretty important in this situation.
간단한 물리적 실험으로 결과를 알수있습니다 바퀴의 축을 줄로 매달거나 고정된 위치에 올려놓고 제자리에서 축이 한바퀴 돌게 합니다. 이때 각각 작은바퀴와 큰바퀴에 롤러를 갖다 대고 그 사이에 종이 테이프를 지나가게 합니다. 그러면 실험 결과는 축이 한바퀴돌때 지난간 종이테이프의 길이는 각각 작은 바퀴와 큰바퀴의 둘레 길이와 정확히 일치합니다... 유튜브 영상들 참고하세요.. 물리적 실험으로는 당연한 결과를 수학적으로 이렇게 설명하니 되게 신기함 ... 수학은 대단한 학문임. ..... 시험결과를 보면 강사님 설명대로 실제 각 바퀴가 지면에 대하여 이동한거리는 바퀴 둘레길이 만큼임... 즉 작은바퀴는 큰 바퀴에 얹혀서 실려간거임.. 실려가는 간극과 실제로 이동하는 간극이 너무작다것임. 사람발로 치면 자전거를 타고 다리를 죽어라 땅에 댓다 들었다를 1초에 수천억번하면 우리눈에는 그냥 다리가 땅에 닿아 걸어가는 것처럼..ㅋㅋ
@@hisi5976 가서 물어보세요. 회전의 원리자체를 알아야되는건데 수학만으로 되는게 아닙니다.. 물리적 가정이 필요하고 회전에 대한 이해가 필요합니다. 다이나믹스에서 rigid와 no slip condtion 전제로 설명하는건데.. 집합론만 안다고 저걸 정확히 설명한다는점에서 웃고갑니다... 대략적으로는 수학 선생님들도 알수도 있으나 저걸 수식으로 표현해라고하면 못합니다. 오히려 물리선생님들 알겟죠.
솔직히 물리문제라고 생각하고 들어왔는데 여기서 무한에 대해서 들을지 생각조차 못해봄. 생각해보면 중심 점이 그리는 궤적도 원둘레의 접선의 길이랑 같을텐데 회전에 해대 생각할 필요도 없이 중심에 대해 고려하면 이 선은 미끄러져 생기는 것이고 이러면 한 점으로부터 무한한 점들이 대응된다는 일이 생긴다. 그럼 한 점이 한 점이 아니고 무한이 많은 점이 한 위치에 있다고 해야한다던지 아니면 말대로 점의 개수보다는 농도를 얘기하는게 그나마 나은 상황이 되는것 같다. 그러니 바깥과 안쪽원이 고정되 있을때 서로 서로 대응되는 점들이 있으니 바깥원이 한번 도는 거리랑 안쪽원이 도는 거리랑 같아진다는게 이해가 됨!
큰원도 정확히 말하면 한방향으로 이동하지 않습니다. 미끄러지지 않는 강체바퀴의 진행은 사이클로이드라는 특수한 궤적을 그립니다. 작은원은 원의 중심과 큰 원의 운동을 반씩 더한 형태를 띄고 있습니다. 그래서 실제로 두 원이 정지한 바닥을 기준으로 그리는 궤도의 길이는 같지 않으며, 바퀴 중심을 기준으로 볼때는 회전만 존재하기 때문에 정확히 2배의 궤도길이 차가 발생합니다.
머릿속에서 그림이 안그려질 때 꿀팁. 안쪽 원을 기준으로 굴려보면 바깥쪽 원이 미끄러지듯 더 돈다. 그럼 반대로 생각하면 바깥원을 기준으로 돌 땐 안쪽 원은 미끄러지면서 돌아야 하는 양보다 덜 돈다. 마치 게임에서 캐릭터가 발은 느린데 이동한 거리가 먼 현상이랑 비슷한 그림이라고 생각하면 된다. 이를 이해하기 위해 응용하자면, 미끄러지는 이미지지만 실제로는 거리를 건너뛰는 현상이고, 이는 우리 '인지' 상태로는 관측(측정)이 불가능하다. 고로 점프라는 표현을 사용. 여기서 의문. 반대입장으로 안쪽 원을 기준으로 본다면, 바깥원은 점프가 아니라 스킵을 했는데, 두 원의 둘레 차는 n값이고, 스킵이 되었으니 -n. -무한대값*무한대값=-유한대값 이라는 생각. 점프시에는 무한대값*무한대값=유한대값 이었으니, 무한대값도 음수양수가 존재한다. 라는 생각까지 접어들 수 있다. 또한 음수값을 관측했다는 기분마저 들어 신기하다.
이 강의 덕분에 무한이라는 개념에 한걸음 더 다가갈 수 있었습니다. 감사합니다. 초다각형의 점프에서는 0에 수렴하지만 일단 확실히 있는 아주 작은 굴곡들의 연속이 그려지지만, 이 무한각형이라고 불리우는 원에서는 각이 실질적으로 없거나, 무한개이기에, 직선이 되어버리는군요.. 어쨌든 앞으로 나아가는게 신기하면서도 정말 당연하게 느껴지네요.
정확하게 말하자면 기본적으로 회전이라는 것의 기준을 원의 중앙으로 두면 당연히 두 궤적은 다른 거리를 (한바퀴에 정확하게 둘레만큼) 움직일테지만 여기서 말하는 회전의 중심은 바퀴의 최외각이기 때문에 궤적이 서로 아예 다른 문제가 된다고 볼 수 있습니다. 즉 문제를 애초에 잘못 이해해서 역설이라고 여기는 것이지요.
하나 집히는게 있는게 있습니다. 원의 점은 무한하여 무한한 점프를 한다하고 한번 점프할때의 거리는 한없이 0에 수림한다고 했는데 아무리 0에 가깝다고 하더라도 결국 실수이고 실수를 무한히 더한다면 결국 무한이되어야 하는데 유리수가 되어 오류가 났다고 생각합니다. 만약 이와같으면 무한소수를 무한번 더하면 유리수가 된다는 말입니다. 끝이 없어야할 무한을 더했더니 끝이생긴 것이다. 그러면 무한은 끝없는 수가 아닌 인간이 해아릴 수 없는 수가 맞지않겠습니까?
수학보다는 물리에 가까운 질문 일 수 있는데요. 자동차의 앞바퀴와 뒷바퀴가 크기(지름)가 다른 경우에 대해 설명 부탁드려봅니다. 1. 앞,뒤바퀴가 크기가 다르지만 전륜 또는 후륜 구동일 경우 크기가 같은 두개의 바퀴만 구동을 하고 나머지 두개는 단지 마찰에 의해 회전만 함으로 문제가 없다. 2. 사륜 구동의 경우 바퀴의 크기차이에서 오는 거리의 갭을 메꾸기 위해 근사치까지의 값을 회전축에서 바퀴까지의 중간에 기어(크기가 다른 톱니바퀴들을 맞물려서)를 이용해서 만들 수는 있지만 정확히 일치하지는 않을 것이다. 그럼 4륜구동 차량은 위험한 것일까? 3. 자동차 바퀴는 고무로 만들어져서 마모가 되는데 실제로 타이어의 마모는 균등하게 일어나지 않는 이유는 무엇이고, 그래도 이것은 안전하다고 할 구 있을까?
배움의 정도가 어느정도 인지 모르겠으나 답변을 드리자면 조향에 따른 바퀴 회전수나 크기 차이는 차동기어(디퍼런셜 기어)라고 불리는 기계식 장치에 의해 자동적으로 동력을 분배함으로써 해결됩니다. 특히 4륜구동의 경우 아우디의 콰트로가 유명한데 중앙 샤프트축에 센터 디퍼런셜 기어를 통해 동력을 제어합니다. 차동기어의 원리가 궁금하시다면 유튜브에 검색해보시면 더 자세하고 좋은정보 얻으실 수 있을 겁니다.
점프가 아니라 미끄러짐이라고 보시면 편할 것 같습니다. 안쪽의 작은 원을 기준으로 한 바퀴 돌리면 바깥쪽의 큰 원은 진행 방향 뒤쪽으로 미끄러져서 헛돈다고 보시면 될 것 같아요. 마찬가지로 큰 원을 기준으로 돌렸을 때에는 작은 원이 진행 방향 앞쪽으로 미끄러져서 더 간다고 보시면 될 것 같고요.
![[지식in] 바퀴의 역설](/img/logo.svg){kind=logo}
