@@THE_GHOST_o Pour l'hérédité, j'ai majoré le terme de gauche par un "truc" et j'ai démontré par équivalences que ce "truc" était plus petit que le membre de droite et la récurrence était terminée. Mais avant ça j'ai un peu manipulé l'inégalité en faisant apparaître les termes qui m'intéressaient (technique du +1-1). Après je m en souviens plus trop
@@THE_GHOST_o Êxtremmement difficile à te l'expliquer en commentaire car le clavier n'est pas adapté. Le principe de l'hérédité est de montrer que l'inégalité est vrai au rang (n+1) : La première étape de l'hérédité consiste à composer cette inégalité par la fonction racine carrée (de sorte que le carré du membre de gauche disparaisse). Ensuite tu appliques la technique du "+1-1" en ajoutant [x_(n+1)] × [y_(n+1)] de chaque côté et tu réduis membre de gauche qui devient la somme pour i allant de 1 à (n+1) des [(x_i) × (y_i)]. Il te reste à montrer que le terme de droite est inférieur ou égal à la racine carrée de la somme pour i allant de 1 à (n+1) des (x_i)² multipliée par la racine carrée de la somme pour i allant de 1 à (n+1) des (y_i)². En composant cette nouvelle inégalité par la fonction carrée, plusieurs termes se simplifient. Tu obtiens ensuite une identité remarquable de la forme a²-2ab+b² >= 0 que tu factorise en (a-b)² >= 0. Un carré étant tjrs positif, l'équivalence est démontrée. En récapitulant, tu conclus que l'inégalité de cauchy schwarz est vraie au rang (n+1). Fin de l'hérédité et de la démonstration.
Je me suis posé la même question, et c'est le seul endroit où la démonstration est un peu escamotée (même si je la trouve très élégante...). Alors en fait delta n'est pas négatif, il est négatif ou nul. T(lambda) est une somme de carré dans R, donc ne peut être que positif ou nul, mais comme c'est une parabole en fonction de lambda, alors si T(lambda) est nul cette parabole ne peut être nulle qu'en un seul point (cas de la racine double). Si on écrit T(lambda)=a lambda^2+b^lambda+c, étant donné que T(lambda) est positif ou nul, et nul en un seul point, alors delta doit être négatif ou nul. Donc delta
