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Área del triángulo rectángulo en el que se inscribe el círculo de radio unitario =3(r+a)/2=r²+ar+(3-r)r→ (3+3a)/2=1+a+2=a+3→ 3+3a=2a+6→ a=3 → Su base es 1+a=1+3=4→ Sus lados son 3/4/5; y es semejante al triángulo exterior que contiene los dos círculos y el cuadrado. En la figura, no se puede afirmar si el círculo grande, de radio R, es tangente a la recta que contiene el lado izquierdo del cuadrado (Caso 1), o sólo lo toca en el vértice superior izquierdo (Caso 2). Caso 1.- Consideramos el triángulo de base o cateto largo =(R+3+4=R+7) y de cateto vertical =(R+5R/4=9R/4), expresión obtenida al considerar que el radio perpendicular a la hipotenusa del triángulo exterior corresponde al cateto largo de un triángulo 3/4/5 → El cateto largo o base valdrá (4/3)(9R/4)=3R =R+7→2R=7→ R=7/2=3,5 → Área sombreada =49π/4 =38,4845...>38,11→ El caso 2 es el que proporciona la solución correcta. Caso 2.- La distancia entre el centro del círculo y el vértice de tangencia es (R), la distancia vertical es (R-3) y la distancia horizontal es√[R²-(R-3)²] =√(6R-9)=d → Como en el caso anterior, analizamos el triángulo de catetos (9R/4) y 3R → 3R=d+3+4=d+7→ 3R=7+√(6R-9)→ R=(8+√6)/3 =3,48316.... → Área sombreada =π*3,48316² =38,11.....ud² → Solución correcta. Buen ejercicio. Gracias y un saludo cordial.
Reconozco que todavía no he dado con la solución, pero cuando empecé el ejercicio lo primero que hice fue dibujar la figura y a mi me gusta intentar hacerlo a escala. Al realizar el dibujo de forma correcta se aprecia que el radio ha de ser mayor que el lado del cuadrado (solo algunas centésimas) pero aparentemente mayor. Pero eso fue mi primera impresión y dudé al leer tu comentario. Ahora, tras revisar tu caso 1 vemos que, si la circunferencia grande fuese tangente también al lado del cuadrado, su radio sólo podría ser=3, con lo que el área sería 9pi = 28,2743338823 < As Por tanto, sólo puede ser tangente al vértice superior. Muy buena argumentación la tuya porque te has planteado los dos casos. Un saludo
El segmento de recta en rojo determina, vía la distancia perpendicular al eje x. El radio de todos los círculos inscritos, tangentes a los triángulos en sus tres lados. Por lo que, cada radio puede ponerse en función de la distancia del vértice izquierdo del triángulo en cuestión y la proyección del centro del círculo inscrito sobre el eje x. Gracias por el ejercicio.
