Ein Song über die Lösung des Problems, durch 3-maliges Wiegen aus 13 Kugeln eine zu finden, die ein anderes Gewicht hat, ohne zu wissen, ob die gesuchte Kugel schwerer oder leichter als die anderen Kugeln ist.
Die Lösung im Song ist nicht die einzige Möglichkeit. Für die am Ende angesprochene Verallgemeinerung:
"Two-pan balance and generalized counterfeit coin problem" von Marcel Kołodziejczyk:
math.uni.lodz.pl/~andkom/Marce...
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Liedtext:
Du hast 13 Kugeln und eine Balkenwaage
alle Kugeln bis auf eine wiegen gleich viel. Nun die Frage:
Wie findet man mit dreimal Wiegen die Kugel, die anders ist -
auch, wenn man nicht weiß, ob sie schwerer oder leichter ist?
Nun ja, der erste Schritt ist: Vier-gegen-Vier zu wiegen
und von den 13 Kugeln bleiben dann fünf draußen liegen
und entweder die Waage sagt: Die Seiten sind gleich,
oder eben nicht, wobei du dann ja noch nicht weißt,
ob deine Kugel auf der leichteren Seite liegt, weil sie leichter ist,
oder auf der schwereren Seite, weil sie schwerer ist.
Doch du weißt genau, dass die Kugel ja irgendwo auf deiner Waage liegt,
sodass es hier daneben auch noch fünf neutrale Kugeln gibt
und drei von denen zusammen mit einer von der leichten Seite
wiegst du gegen eine von der schweren und drei von der leichten Seite.
Wenn jetzt die linke Seite leichter ist,
dann wird das für die beiden Kugeln in der Mitte irgendwie Mist,
weil die je einmal auf der leichten und der schweren Seite lagen,
weshalb wir hier und natürlich auch außerhalb der Waage neutrale Kugeln haben.
Wir wissen jetzt, das eine von drei Kugeln leichter ist,
wofür die Lösung Eins-gegen-Eins-Wiegen ist,
denn ist dann eine Seite leichter, liegt die gesuchte Kugel dort
und ansonsten ist es die Kugel, die draußen liegt. So.
Falls das zweite Mal wiegen jedoch ein Gleichgewicht ergibt,
weiß ich, dass jede Kugel neutral ist, die auf der Waage liegt.
Also eine der drei Kugeln da unten muss demnach schwerer sein
wiege ich jetzt Eins-gegen-Eins, wird das die Schwerere sein,
oder bei Gleichstand eben die Kugel, die draußen liegt,
sodass man auch in diesem Fall die Kugel rauskriegt.
Wenn beim zweiten mal Wiegen jedoch die rechte Seite leichter ist,
dann wird das für die grünen Kugeln links wiederum Mist,
doch es kommen ja nur Kugeln auf der Waage in Frage.
Da ist das eine von den beiden und bei dieser Ausgangslage
können wir eine der beiden Kugeln gegen eine neutrale Kugel wiegen
und damit direkt unsre Kugel rauskriegen,
denn entweder liegt die auf der Waage und die Waage zeigt das an,
oder es bleibt nur eine Kugel übrig, die es noch sein kann.
Du hast 13 Kugeln und eine Balkenwaage
alle Kugeln bis auf eine wiegen gleich viel. Nun die Frage:
Wie findet man mit dreimal Wiegen die Kugel, die anders ist -
ohne, dass man weiß, ob sie schwerer oder leichter ist?
Zeigt dir die Waage jedoch am Anfang an: "Die Seiten sind gleich.",
dann sind die acht Kugeln neutral und das ist alles, was du weißt.
Wiegst du nun drei neutrale Kugeln gegen drei Kugeln, die draußen lagen,
dann kann ich dir nächstes Mal die Kugel verraten,
denn ist die linke Seite leichter, dann weißt du direkt,
dass sich unter diesen drei Kugeln eine leichtere versteckt.
Dann wiegt man Eins-gegen-Eins und der Rest ist bekannt
und vielleicht hast du beim zweiten Mal wiegen ja schon erkannt,
dass es genauso funktioniert, wenn die linke Seite schwerer ist.
Die Frage ist nun nur noch, was bei Gleichgewicht ist.
Da gibt's nur zwei Kugeln, die immer außerhalb der Waage lagen
und wiegt man eine davon gegen eine neutrale, kann dir die Waage sagen,
ob die schwerer oder leichter und damit die gesuchte Kugel ist,
oder halt: Die Waage zeigt uns Gleichgewicht.
Dann bleibt nur eine Kugel und egal, ob leicht oder schwer:
Es muss diese Kugel sein und damit hätten wir alles geklärt.
Du hast 13 Kugeln und eine Balkenwaage
alle Kugeln bis auf eine wiegen gleich viel. Nun kann ich sagen:
So findet man mit dreimal Wiegen die Kugel, die anders ist -
auch, wenn man nicht weiß, ob sie schwerer oder leichter ist!
Akkorde:
| Cm | Fm | Bb | Eb Bb/D |
nur am Ende des Refrains:
| Cm | Fm | Bb | Gm | G | G7 |
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8 фев 2016
