선생님 안녕하세요. 첫번 째 문제에 대해서 질문이 있는데요. 원의 방정식을 연립하게 되면 두 원의 교점을 지나는 직선이 y=x라고 나옵니다. y=x와 원의 방정식 다시 연립하게 되면 교점A가 (0,0)가 나오게 됩니다. 그렇게 되면 왼쪽의 원의 중심이 (1,0)인데 그림과 안 맞는거 같아서 질문드립니다.
네 질문주신 내용은 옳은 내용입니다. 영상에서도 두 원의 중심의 좌표는 각각 (1, 0)과 (-3, 4)임을 설명해두었습니다. 하지만 영상의 풀이는 영상에서도 설명하였듯 좌표평면에서의 방정식을 이용하는 해석기하적인 풀이가 아니라, 도형들의 기하학적 관계를 이용한 순수기하적 풀이입니다. 따라서 그림을 좌표평면의 좌표를 전혀 고려하지 않고, 주어진 도형 사이의 상대적인 위치관계 정도를 파악할 수 있도록 적당히 보기 좋게 그린 것입니다. 그래서 질문자님이 상상하는 좌표평면에서의 배치와는 차이가 있을 수 있습니다. 문제에서 물어본 것은 거리이고 거리는 점들 사이의 '상대적인' 위치관계 이므로 이렇게 도형의 '상대적인' 관계만을 표현해도 문제를 해석하는데는 전혀 부족함이 없습니다. 그래도 만약 좌표평면 위에 딱 맞춰 배치하고 싶다면 칠판에 그린 그림에서 원의 두 교점 중 아래의 교점을 원점, 이 교점과 오른쪽 원의 중심 (1, 0)을 연결한 직선을 x축으로 생각하여 좌표축을 약간 비스듬히 그리면 될 듯 합니다. 충분한 대답이 되었을까 모르겠네요. 또 궁금한 점 있으시면 댓 남겨주시기 바랍니다.
저는 두번째 문제 구하라는 적분식을 A(0)+ lim 인테그랄 t부터2까지 A(x) dx t➡️0+ 로 해석해서 ㅠ+8/3 이 나왔습니다. 왜냐하면 x=0일 때, 두 원이 완전히 겹쳐서 현의 대한 중심각이 정의가 안된다고 생각했습니다. 따라서 A(0)만 따로 계산해서 더해줬습니다. 제가 어떤 논리적 오류를 범했는지 피드백해주시면 감사하겠습니다,,!
먼저 그러한 예외적인 상황까지 꼼꼼히 따져보는 습관은 매우 좋습니다. 그런 태도가 많은 수리논술의 문제 풀이에서 도움을 주므로 매우 긍정적으로 생각합니다. 질문드린 사항에 대한 답은 다음과 같습니다. 첫째, x=0일 때, 중심각이 정의되지 않아도 상관 없습니다. 왜냐하면 A(x)는 '공통부분의 넓이'로 정의되었으며 이 넓이는 중심각과는 무관하게 정의되기 때문입니다. 실제로 x=0이면 공통부분의 넓이는 A(0)=ㅠ이며, 이 값은 앞에서 구한 [0, ㅠ/2)에서의 함수 A(x)에 ㅠ/2를 대입한 값과 동일합니다. 따라서 영상에서 구한 함수 A(x)를 닫힌구간 [0, ㅠ/2]에서의 함수로 생각하도 무방합니다. 둘째, 질문자님의 생각에서 오류가 발생한 이유는 '정적분은 합이 아니기 때문'입니다. 질문자님은 부분적으로 '인테그랄 0부터2까지 A(x) dx'를 '0부터2까지 A(x)를 더한 것'이라고 오해하신 듯합니다. 만약 그렇다면 이세상 대부분의 정적분은 무한이 되어야 할 것입니다. 교과서에 수록된 무한급수를 통한 정적분의 정의를 보시면 위 정적분은 0부터2까지 'A(x)를 더한 것'이 아니며 개념적으로 'A(x)와 dx의 곱을 다 더한것'에 가깝습니다. A(0)의 값이 ㅠ이긴 하지만 여기에 곱해진 미소구간의 길이 dx는 0에 수렴하므로 구간의 끝점에서의 A(0) ㆍdx 는 무시된다고 생각해야 합니다. 즉, A(0)를 따로 더하는 것은 정적분의 정의와 무관합니다. 다만 고등 교과에서는 닫힌 구간에서의 정적분만을 다루고 있으므로 그것이 문제될 수는 있으나 앞의 '첫째'에서 설명하였듯 A(x)는 닫힌구간에서 정의된 함수로 봐도 무방합니다. 백번 양보해서 A(x)가 열린구간을 포함한 [0, ㅠ/2)에서만 정의되는 함수라 쳐도 수학에서는 이 구간에서의 정적분을 질문자님이 작성하신 식처럼 lim 인테그랄 t부터2까지 A(x) dx t➡0+ 로 정의하기 때문에 그래도 결과는 변하지 않습니다. 도움이 되셨을까 모르겠네요. 홧팅입니다!
