Aufnahmetest Mathematik von 1869 - Dreieck rechtwinklig 

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Wenn man den Höhensatz des Euklid nicht kennt, kann man sich diesen auch selbst herleiten. Indem man drei mal den Satz des Pythagoras aufstellt und dann ineinander einsetzt. Mit den im Video gegebenen Variablennamen sieht das so aus: h² + p² = x² h² + q² = y² x² + y² = (p + q)² Einsetzen von 1. und 2. Gleichung in die 3. Gleichung: (h² + p²) + (h² + q²) = (p + q)² 2h² + p² + q² = (p + q)² |1.Binomische Formel 2h² + p² + q² = p² + 2pq + q² |-p² -q² 2h² = 2pq |:2 h² = p * q

"Höhensatz" - immer wieder spannend bei dir zu sehen, was man alles vergessen hat. 😂 Danke für das Video

Hallo, immer schöne Aufgaben Bei die Wurzel aus 9* 16 geht einfacher da 9 = 3*3 ist und 16 = 4*4 ist also ist die Wurzel 3* 4 = 12 Nur um es leichter zu machen Bei denAufgaben habe ich immer schöne Erinnerungen an die damaligen Schultage

Das geht auch mit dem Satz von Thales recht schön. Vom Mittelpunkt der Basis ((9+16)/2 = 12,5) zur oberen Spitze des Dreiecks ist die Länge ebenfalls 12,5. (Thaleskreis). Damit kann man dann die Höhe einfach berechnen. Wurzel(12,5^2 - 3,5^2) = 12.

Merci pour la vidéo, je vais donner le problème à mes élèves mais sans le théorème d'Euclide qu'ils ne connaissent pas. Ils feront tout avec le théorème de Pythagore :)

"Ist ganz gut, wenn man die Quadratzahlen im Kopf hat." Ohh ja. Das war vermutlich vor 50 Jahren oft mein Verhängnis. Susanne, Deine Bemerkungen sind immer sehr hilfreich!

Vielen Dank für die interessante Vermittlung der Mathematik. Was ich unbedingt loswerden muss: ich wurde durch die Infos in deinem RU-vid Kanal auf deine Band aufmerksam. Habe daraufhin die Alben in Spotify gehört. Hammer ! Du hast eine sehr schöne Stimme.

Ich habe das einfach mit den Zahlen 3 und 4 und 5 gelöst, indem ich die jeweils mutipliziert habe. Großes Dreieck mit 5 => 25 20 15 ; das zweite mit 4 => 20 16 12 und das dritte mit 3 => 15 12 9. Auf die se einfache Weise konnte ich das relativ schnell mit Kopfrechnen lösen. Liebe Grüße und vielen Dank dir Susanne

Ich habe mein Ergebnis graphisch überprüft. Stimmt. Test bestanden. Ich habe meine gute Mathenote vor 50 Jahren wohl verdient. Und nun schaue ich mir das Video an, ob ich den selben Lösungsweg habe oder ob es auch anders geht.

Hallo Susanne, erst mal hoffe ich, dass Du gut in die neue Woche gekommen bist. Einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe und liebe Grüße auch an Thomas. Allen anderen hier natürlich auch einen guten Start in die neue Woche. Nun zur heutigen Aufgabe: Als ich die Skizze zur Aufgabe gesehen hatte, dacht ich mir Mist, da war doch was mit Höhensatz... verdamp lang her, verdamp lang, verdamp lang her... Weil ich den im Moment nicht auf der Rille habe, hier mein Lösungsvorschlag ohne Höhensatz. Da keine Einheiten angegeben sind, unterstelle ich "Längeneinheiten" (LE). Zum Rechnen lasse ich diese jedoch weg. Die beiden Schenkel des Dreiecks bezeichne ich mit a und b, die Höhe (das Lot, der Strecke, die das Dreieck aufteilt als d. Die Eckpiunkte des großen Dreiecks seien von links nach rechts bzw oben gegen den Uhrzeigersinn A, B und C, Der Schnittpunkt des Lots durch C und der Hypothenuse (=längste Seite) des großen Dreiecks D Die Strecke AC sei a, die Strecke CB sei b und die Strecke CD (das Lot) sei d. (Ich weiß, dass die Streckenbezeichnungen meistens so gewählt werden, dass der Buchstabe der Strecke ein anderen ist, wie die Großbuchstaben der zugehörigen Punkte...) seht es mir nach 🙂 Somit gibt es die beiden kleineren Teildreiecke ADC, sowie DBC, welche jeweils die Strecke CD =d gemeinsam haben. Da hier über Strecken gesprochen wird, glit zunächst a,b,d €R>0, also alle reellen Zahlen größer 0. (Im weiteren Verlauf wird sich zeigen, dass Susanne die Aufgabe "ganz lieb" gewählt hat, also nir ganze Zahlen herauskommen.) Aus der Aufgabenstellung heraus weiß man: AD=9 DB=16 Für das linke Teildreieck ADC gilt nach Pythagoras (1) 9^2 + d^2 =a^2 Für das rechte Teildreieck DBC gilt nach Pythagoras (2) 16^2 + d^2 = b^2 Für das große Dreieck ABC gilt nach Pythagoras (3) a^2 + b^2 = (9+16)^2 Jetzt kann man statt a^2 den linken Teil aus (1) und statt b^2 den linken Teil aus (2) in Gleichung (3) einsetzen und erhält: (4) 9^2 + d^2 + ^6^2 + d^2 = (16+9)^2 Jetzt kann man alles was berechenbar ist ausrechnen. (Auch wenn das rechts wie eiene binom. Formel aussieht, braucht man diese hier nicht anwenden, da in der klammer ja nur 'richtige' Zahlen stehen 🙂 Danach bekommt man: (4.1) 81+ 2*d^2 + 256 = 625 | -81, -256 (4.2) 2*d^2 =288 | :2 (4.3) d^2=144 | Wurzel ziehen (4.4) d1/2 = +/- Wurzel(144) =+/-12 Da d eine Strecke repräsentiert, ist nur d=12 eine Lösung im Sinne der Aufgabe. jetzt das gefundene d bzw d^2 in die Ausgangsgleichungen (1) bzw. (2) einsetzen um a bzw b zu berechnen (1.1) 9^2 +144 =a^2 =81 + 144=225 =15^2 a somit 15 (auch hier wieder nur pos. Lösung relevant) (2.1) 16^2 + 144 =b^2 = 256 + 144 =400 b somit 20 (auch hier nur pos. Lösung relevant) Probe: (ich empfehle, die immer zu machen, um sicher zu gehen, dass gefundene Lösungen richtig sind.) 15^2 + 20^2 = (9+16)°2 Verglecihe Gleichung (3) 225 + 400 = 25^2 | 625 = 625 wahre Aussage LG aus dem Schwabewnland.

Ich hatte damals einen Mathelehrer, der nicht Lehramt studierte, sondern ein richtiger Mathematiker war.... Ich kann mich bis heute, an seinen Satz erinnern: "Schreibt euch die Quadratzahlen auf ein DIN A4-Blatt und hängt es im Klo auf. Wenn ihr aufs stille Örtchen müsst, dann schaut ihr drauf, ABER NICHT AUSWENDIG LERNEN!!! Das geht von alleine!" Er hatte recht...

sehr schön erklärt!

Wenn man das pytagoreische Zahlentripel (3,4,5) kennt und sieht, daß die 9 das Dreifache der 3 sowie die 16 das Vierfache der 4 jeweils innerhalb des Zahlentripels darstellt, braucht man nicht viel zu rechnen und kann quasi die anderen Werte direkt an die Seiren schreiben!

A short (but quite rigorously worked out) version for professionals who don't like formulas but like "recognizing things": The two small triangles are both similar to the large triangle by the respective angle their share with it (and the right angles). Being similar to the same triangle they are similar to each other. Since they share the lot as their common side and are not equal, their similarity coefficient is not equal to 1, in particular the side corresponding to the lot in them is the respective line segment of the hypothenuse. That gives a*9=1/a*16 for an a which gives a=4/3. a=4/3 yields with the above considerations the lot L=4/3*9=12. We have now in the triangle with the 9, one leg equal to 9 and another equal to 12. We recognize that the numbers are up to the factor 3 those of the two of the side lengths of the egyptian (right-angled) triangle with sides equal to 3,4,5. Now having two legs differing from those of egyptian triangle by factor 3 (and the right angle) our triangle with the 9 is the egyptian triangle enlarged by 3. That is, its remaining side is equal to 15. Same way the triangle with 16 gives egyptian triangle enlarged by 4 which yields 20 for its remaining side. That's how the case can be computed purely in mind without writing anything down or even sketching.

Macht super Spaß 😊

Euklid war neu für mich, wieder was gelernt

Früher in der Schule, gahbs bei meinem Mathelehrer als "Strafarbeit" immer das Lernen von Quadratzahlen. Sehr hilfreich beim Lösen solcher AUugaben 😁

Ich habe es ohne den Höhensatz auch geschafft. Kam natürlich auch das gleiche raus 😂. Danke für das Video!

Grandios ! schöne Grüße nach KL 😊

Ja cool. Den Höhensatz kannte ich so noch nicht. Aber den Extraschritt nach 25^2 aufstellen und 2h^2 herausrechnen war jetzt auch nucht so umständlich. Da war ich völlig überrasch wie schnell ich h hatte. 😮 Nice Sache

Herzlichen Dank für diese Quiz Frage aus MIT 😀 Man könnte die Lot als h bezeichnen (oder auch als AO) in diesem ABC Dreieck. h²=p*k oder: AO²=BO*CO AO²=9*16 AO²=144 AO= √144 AO= 12 LE Nach dem Satz von Pythagoras, der linke Schenkel: AB²=AO²+BO² AB²=12²+9² AB²= 225 AB= √225 AB= 15 LE Für den rechten Schenkel, nach dem Satz von Pythagoras: AC²=AO²+CO² AC²=12²+16² AC²= 400 AC= √400 AC= 20 LE oder auch: AB²+AC²=BC² 15²+AC²=25² AC²= 625-225 AC²= 400 AC= 20 LE Wie sieht es heute mit den Aufnahmeprüfung Fragen von der MIT aus ?

Hi, Es ist immer wieder ein positives Erlebnis deine Bespiele vorzurechenen bzw. dies zu versuchen. Ich habe versucht drei Gleichungen fuer drei Unbekannte aufzustellen, was zum Beweis vom Hoehensatz fuehrte! Folglich landete ich dort , wo deine Loesungdansatz anfing! Echt klug ausgesuchtes Beispiel. DANKE

Nice! fast lane: q + p = c; a = √pc = 15 → b = √qc = 20 → h = √pq = 12 = ab/c

Hab die Formeln nach Pythagoras fuer die 3 Dreiecke aufgestellt und dann stumpf durchgerechnet.

Den Höhensatz nennt man auch den Satz des geometrischen Mittels. Außerdem ist er ein Spezialfall des Sehnensatzes und die doppelte Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die beiden kleinen ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke.

Mit der 3-4-5er-Regel hätte man das ganze auch deutlich schneller lösen können.

Was gelernt, den Höhensatz hatte ich nicht auf dem Schirm, geht aber auch ohne, man kann 3 Gleichungen mit dem Satz des Pythagoras formulieren, bei 3 Variablen bekommt man das gelöst. Ist natürlich etwas umständlicher.

Taschenrechner gab es zwar noch nicht, aber Rechenschieber ... Mit dem Satz von Thales geht es auch: Die Linie vom Mittelpunkt der Hypotenuse bis zum Eckpunkt ist halb so lang wie die Hypotenuse, also ergibt sich die Höhe h² =12,5² - 3,5² = (25/2)² - (7/2)² = 12² ... usw ...

Da der in der Zeichnung rechte Winkel derselbe ist, wie der obere Winkel im kleinen Dreieck, könnte man Einzelrechnungen mit dem cos dieses Winkels aufstellen. Wenn man diese Einzelrechnungen gleichsetzt kommt man auf: y/25 = 16/y y=20 Der Rest ergibt sich pythagoreisch.

Ich hab's mit Höhensatz und Kathetensatz gelöst. h^2=9*16, a^2=16*(9+16), b^2=9*(9+16). Wurzel ziehen und alle drei Seiten sind bestimmt.

Der HÖHENSATZ ! 🧐😬 Da war doch mal was... Danke, das Thema muss ich nacharbeiten...👍🙋‍♂️

Ich habe nicht an den Höhensatz gedacht. Habe drei Pythagoras-Gleichungen aufgestellt und über das Einsetzungsverfahren gelöst. Ging auch recht schnell. 😊

25^2=20^2 + 15^2 15^2 = 12^2 +9^2 Laut Pythagoras, sind die gekennzeichneten Dreiecksseiten 20, 15 und 12 LEn gross .

Das Lot teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere, zum ursprünglichen Dreieck ähnliche, rechtwinklige Dreiecke. Und bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse gleich. Es gilt daher: h/p = q/h. Multipliziert man auf beiden Seiten mit hp, bekommt man h² = pq. Der Höhensatz ist bewiesen. Ferner gilt: a/p = c/a und b/q = c/b. Multipliziert man auf beiden Seiten mit ap bzw. bq, erhält man a² = pc und b² = qc. Der Kathetensatz ist bewiesen. Addiert man beide Kathetensätze, bekommt man a² + b² = pc + qc = (p+q)c = c². Der Satz des Pythagoras ist bewiesen.

Schöne Aufgabe 😊 hab es ohne großes Rechnen lösen können. Dank 3/4/5, auch wenn ich nicht weiß wie man diese Regel nennt 😂 Liebe Grüße

Cool, ich kannte den Höhensatz des Euklid nicht. Ich habe es dann etwas umständlicher gelöst. Ich habe einen Kreis mit der Hypotenuse des großen Dreiecks als Durchmesser um das Dreieck gezeichnet. Dabei muss die Ecke mit dem rechten Winkel ja auf dem Kreis liegen. Dann habe ich von der Mitte der Hypotenuse den Radius zum rechten Winkel eingezeichnet und habe in kleines Dreieck erhalten mit dem Radius, dem Lot und dem Reststück aus der Hypotenuse. Das Reststück kann ich ausrechnen und den Radius weiß ich auch. Somit konnte ich dann das Lot über den Satz des Pythagoras berechnen und dann äquivalent zu dir auch die beiden Katheten des großen Dreiecks.

Ganz einfach. Höhensatz bzw. Kathetensatz des Euklid: h = √pq = √(9 m ⋅ 16 m) = 12 m a = √pc = √(9 m ⋅ 25 m) = 15 m b = √qc = √(16 m ⋅ 25 m) = 20 m

Aha, endlich. Dank Susanne denke ich auf MIT-Niveau! Auf MIT-Niveau von vor über 150 Jahren - aber wer fragt schon.

Malt man c² (= a²+b²), teilt die Verlängerung des Lotes dieses in 2 Rechtecke, die je den Flächeninhalt von a² und b² haben; folgt z.B. b² = 16 x [16+9=25] = 4x4x5x5 = 4x5x4x5 = 20x20, analog wären 3x5=15 ... Ergibt kleinere Quadrate, die einfacher zu rechnen sind.

Wer richtig rechnet, wird belohnt, weil alles prima aufgeht. Zudem erhält er eine gute Note. Zu bedauern ist der schwache Rechner. Er benötigt viel Zeit, weil er etwas falsch gemacht hat und es dann nicht mit ganzen Zahlen aufgeht.

Ich habe einen ähnlichen Lösungsweg wie im Video, aber alles im Kopf gerechnet. Kopfrechnen fand ich schon immer das beste an Mathe.

Meine Lösung: geometrisches mittel von 2 werten ist "zufälligerweise" genau über ein solches rechtwinkliges dreieck definiert ((produkt von n positiven reelen werten)^(1/n)=geometriaxhes mittel) geometrisches mittel(h hier) = sqrt(9*16)=12

An den Satz von Euklid habe ich mich nicht mehr erinnert. Da insgesamt 3 rechtwinklige Dreiecke vorliegen, kann man 3 Gleichungen für x^2, y^2 und h^2 mit dem Satz des Pythagoras aufstellen. 3 Gleichungen für 3 Unbekannte -> Liefert die gleichen Ergebnisse.

Spannend! Ich habe natürlich den Satz Euklids nicht mehr gegenwärtig und habe mit dreimal Pythagoras und Substitution versucht. Offensichtlich waren diese Gleichungen voneinander abhängig, denn ich drehte mich in Kreisen... bis ich merkte, dass 9+16=25, und dass x2 + y2 = 625. Danach konnte ich die kleineren Dreiecke x2 bzw. y2 als z2 + z2 + ganze Zahlen ausdrücken und die Gleichungen nach 2x2 lösen.

Das sind lauter pythagotäische Zahlentripel. Gesamtes Dreieck: Hypotenuse = 16 + 9 = 25 = 5*5, Katheten = 3*5 und 4*5, also 15 und 20. Probe: 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 = 25^2. Mittleres Dreieck: 16^2 + 12^2 = 20^2, da 256 + 144 = 400. Kleines Dreieck: 9^2 + 12^2 = 15^2, da 81 + 144 = 225. Das Lot mißt also 12, die Schenkel 15 und 20.

Ohne Euklid mit 3x Pythagoras geht auch. Bei den kleinen Dreiecken nach h^2 auflösen und beide gleichsetzen. Dann nach x^2 oder y^2 auflösen und im Pythagoras des großen Dreiecks einsetzen. So erhält man x, dann y und schließlich h.

Auf Anhieb bestanden!! Nur mit Pythagoras und ein bisschen einsetzen. Danke!

Ich war bei der Formulierung der Aufgabenstellung überfordert. Die Formulierung, das Lot zu fällen hat mich ratlos gemacht. Speziell deswegen, weil die Seite x ja schon senkrecht war und ich mir nicht vorstellen konnte, wo ich einen weiteren rechten Winkel einzeichnen sollte. Mit deiner Erklärung hat es dann Spaß gemacht. Wer oder was ist MIT?

So geht's ohne Taschenrechner und ohne Hantieren mit dreistelligen Zahlen: h² = 9 * 16 = 3² * 4² = 12² ⇔ h = 12 x² = 9² + 12² = 3² * (3² + 4²) = 3² * 5² = 15² ⇔ x = 15 y² = 12² + 16² = 4² * (3² + 4²) = 4² * 5² = 20² ⇔ y = 20 Natürlich gilt "⇔" in allen drei Fällen nur, weil wir mit Streckenlängen hantieren und die negativen Lösungen deshalb ausscheiden.

Hallo Geht diese Aufgabe auch ohne den Höhensatz d. E.?

Also ich habe es mit Hilfe des Kathetensatzes ausgerechnet und fand das persönlich auch so leichte.

❤❤

Habs umgekehrt über den Kathetensatz des Euklid gelöst, also erst x gelöst x² = p*(p+q) = 9*(9+16) = 225 |sqrt x = 15 h² = x²-p² = 15²-9² = 225-81 = 144 |sqrt h = 12 auch alles wumbaba im Kopf ausrechenbar ...Deine Lösung ist allerdings doch wesentlicher eleganter!

Landvermessern und verwandten Berufen kostet eine solche Aufgabe wohl nur ein müdes Lächeln, denn wenn ich das aus dem Schulunterricht richtig in Erinnerung habe, werden mit den Sätzen von Euklid und Pythagoras bereits seit Jahrhunderten Gelände, Berge und Täler vermessen. :) Kleiner Tip zum Kopfrechnen: 9x = 10x - 1x. D.h.: 9*14 ist gleich 10*14 minus 1*14, also 14 weniger als 140. Dazu muss man nichts schriftlich rechnen. ;)

Ich habe alles mit der satz des Pythagoras aufgelöst. x²+y²=25² h²+9²=x², h²+16²=y² --> h²=x²-9² und h²=y²-16² --> x²-9²=y²-16² x²-81=y²-256 --> y²=x²-81+256 --> y²=x²+175 x²+y²=625 --> x²+x²+175=625 --> 2x²=625-175=450 --> x²=225 --> x=15 Hieraus folgt das y=20 h²=y²-16²=400-256=144 --> h=12

Hallo Susanne, zu dem Thema habe ich eine weiterführende Frage. Wenn die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ganzzahlig sind, bekommt man ein pythagoräisches Tripel. Gibt es einen Namen dafür, wenn auch die Höhe über der Hypotenuse ganzzahlig ist, wie in diesem Fall? Und, wo wir gerade dabei sind 😄, gibt es beliebig viele davon und wie kann man sie ggf. konstruieren?

5:00 ich bin gerade etwas am grübeln. Kann ich bei 12²+9²=x² nicht als erstes die Wurzel ziehen? Dann wäre die Rechnung 12+9=x. Aber so komme ich nicht auf 15. Liegt es daran, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt?

Da ich schon ein paar mal mit einer "Zwölfknotenschnur" gearbeitet habe, sind mir die 9 und die 16 natürlich gleich in's Auge gestochen, das sind die Quadratzahlen von 3 und 4. Also sind das alles 3:4:5 Dreiecke! Der Rest ist ein Bisschen Kopfrechnen. (Quadratzahlen bis 25 hat man zu meiner Zeit in der Mittelschule auswendig gelernt.) Die Zwölfknotenschnur kennen wahrscheinlich nur noch wenige. Schade, ist eine höchst interessante Sache: Uralt, simpel und genial! Damit kann man rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Es gilt nämlich nicht nur mathematisch 3 + 4 + 5 = 12, sondern auch auch geometrisch 3^2 + 4^2 = 5^2 😉 Die Zwölfknotenschnur, die man heutzutage noch in der Landwirtschaft verwendet (z.B. zum Anlegen von Rebbergen) hat zwischen den Knoten etwa 1-2m Abstand. Wie viel genau ist eigentlich egal, Hauptsache alle Abstände sind exakt gleich.

Kann man das nicht schneller lösen, indem man bedenkt, dass laut dem Satz des Pytagoras die Seiten proportional 3 zu 4 zu 5 sind? In dem Fall sind 25(5), 20(4), 15(3). Wenn man nun die neue Hypotenuse von 15 nimmt, was dann die 5 entspricht, ist dann die Strecke von 9=3, weil 9 zu 15 3/5 sind. Und somit ist das Lot 12, weil es eben 4/5 entspricht.

Schön die Vielfachen vom Pytagoreischen Tripel 3,4,5,

Die Höhe habe ich im Kopf berechnet indem ich erst die Wurzeln gezogen habe. Also drei mal vier ist gleich 12. Das geht natürlich nicht bei Summen.

Das geht deutlich schneller und im Kopf. Der Ansatz mit dem Höhensatz ist gut. Aber dann sieht man doch, dass 9 und 16 Quadrat zahlen sind. Ich kann einzelnen aus denen die Wurzel ziehen und dann multiplizieren und laande sofort bei 3 * 4 = 12 Grosses Teildreieck für lange Kathete. Dies ist ein pytthagräisches Dreieck mit den Verhältnissen 3 : 4 :5. Eine Kathete ist 4 * 3, die andere 4 * 4 . Also ist die Hypotenuse 4 * 5 = 20 Kleines Teildreieck. Gleicher Trick. Eine Seite ist 3 * 3, die andere 3 * 4. Also ist die dritte Seite 3 * 5 = 15. Ich habe habe nicht ein einziges Mal quadriert oder Wurzel gezogen. 😎

Ich bin offenbar 103 Jahre zu spät geboren für diese Aufgabe... LG, Bunti

3:51 ...deswegen nehmen wir nur die positive Lösung... Man merkt, wir sind optimistisch! 😉

❤🌷

kann mir eine oder einer bitte erklären wie ich das mit dem Katheter satz lösen kann!! Satz von Pytagoras habe ich ja so weit verstanden. Und Satz des euglid ist dann das mit der Höhe? Nur habe ich dann ja mehrere hyperthenusen in dem dreieck . Auf welche beziht sich das immer ?

Die Höhe hätte ich ebenfalls mit dem Höhensatz des Euklid berechnet. Dann lässt sich bei den Kathenlängen 9 und 12 sowie 12 und 16 mit etwas Übung erkennen, dass es sich um sogenannte pythagoräische Tripel handelt, wenn man als kleinstes pythagoräisches Tripel 3, 4 und 5 im Kopf hat. So sind die hier auftretenden Zahlen Vielfache davon. Somit lassen sich die fehlenden Seiten im Kopf berechnen.

hmmmm, da 9 und 16 selber Quadratzahlen sind und es demnach einfach wäre: gilt dann auch immer h= (Wurzel aus p) * (Wurzel aus q) ? man muss halt nur das Wurzelziehen konsequent *vor* der Multiplikation ausführen; in unserem Fall ist es h= 3*4 =12

Die Aufgabenstellung "roch" schon verdächtig nach Seitenverhältnissen 3:4:5.

Mein Lösungsweg war auch einfach, ich sah, dass 16+9=25 ist und ist die gesamte Hypothenuse des Dreiecks. Nebenbei weiß man, wenn eine Hypothenuse gleich 5 beträgt, so muss die Seitenlängen immer 3 und 4 betragen... Das Dreieck mit der Hypothenuse von 5 Längeneinheiten ist im Seitenlängen-Verhältnis von 1:5 mit das Dreieck im Video... Das heißt ich musste nur die 4 und die 3 Mal 5 nehmen, so hatte ich dann also die Seitenlängen

Mich würde mal interessieren, wie viel Zeit die damals hatten und wie viele Aufgaben es insgesamt waren. Ich kann mir nicht vorstellen, dass die mehr als 3 Minuten für die Aufgabe hatten.

Das übliche rechtwinklige Dreieck ist meist mit Seitenlängen 3,4,5. wenn man nun das erste Dreieck mit 3 streckt (Seiten 9,12,15) das 2. dann mit 4 -> (12,16,20) Denke das erkennt man durch einfache Beobachtung !

Bei Höhensatz des Euklid (und Kathetensatz) klingelt es gaaaaaaaanz leise. Ja, dürfte ich in der Schule gehabt haben. 😉 Aber nach gut 40 Jahren ist da nichts mehr mit Abrufbarkeit. Aber schön daran erinnert zu werden, was man mal konnte.

Vielen Dank für die Tolle Aufgabe 😊👍 Ich habe da eine Dumme Frage Sind die Winkel nicht alle 90° zu 2*45°? Wenn ja könnte man doch auch mit der Sinus Formel sin(Alpha°)=Gegenkathete/Hypotenuse Arbeiten und alles Ausrechnen Die Frage die mir noch in den Sinn kommt gab es Sinus Cosinus Tangens 1869😅

ich habe auch wieder was gelernt, 1869 hatten die USA das metrische System und haben zurück auf Imperial bzw. Freedom Units gewechselt... ;-) SCNR

9 * 16 ... oder auch 3* 3 * 2 * 2 * 2 * 2 = 12 * 12 .. 144 ^^ wobei .. ich habe den "äußeren" Pythagoras gebaut .. 625 = x^2 + y^2 und dann mal geraten auf 15 und 20 für x bzw. y .. damit ergeben sich dann 2 Pythagoras-Gleichungen für die beiden Teilflächen 20^2=16^2+h^2 und 15^2=9^2+h^2 .. beide ergeben ebenfalls h^2=144 und damit als Lotlänge 12 Leicht erstaunlich, dass du für die Generation Taschenrechner oder Computer selbst sehr einfache Additionen und Multiplikationen so auswalzt.. Kopfrechnen wird wohl gar nicht mehr unterrichtet?

Ich hab mal wieder gemerkt "Kopfrechnen ist Klasse".

Frage; wie haben sie überhaupt die Wurzel gezogen, gab es schon einen Rechenschieber ?

Wenn man die Höhenformel kennt (war mir absolut unbekannt) ist es ganz einfach.

Ich habe es nur über den Satz des Pythagoras gelöst. Man erhält 3 Gleichungen mit 3 Ungleichungen und kann das durch Einsetzen lösen.

9 * 16 rechne ich so im Kopf: 9 * 10 + 9 * 6 = 90 + 54 = 144

[Immer wenn bekannte Formeln herangezogen werden, finde/fände ich es sehr sinnvoll deren Grundlagen (hier, beim Höhensatz: Thaleskreis, ähnliche rechtwinkelige Dreiecke usw.) am vorliegenden Problem nochmal aufzuzeigen.]

Kannst du mal eine Aufgabe machen mit einer Gleichung?

(cosa=An/25) = (cosa=9/An); An=15;

Ich hätte die Aufgabe ganz anders gelöst 🥰

3-4-5 Dreiecks. :-D

Das war'n noch Zeiten, als die Aufgaben beim MIT auf Deutsch gestellt wurden! 😛

ich hatte direkt mit tangens gerechnet aber das geht ja nur mit Taschenrechner

pythargoräische dreiecke 5 sek im kopf h=12 x=15 y=20 9 und 16 sind vielfaches von 3 und 4 3,4,5 Dreieck hochskalieren, fertig

9:x = x:(9+16) x=15

Damals hat man noch Wert auf verständliche Fragestellungen gelegt !! (9 + 16 sind beides zahlen aus denen sich bequem die wurzel ziehen lässt vor dem zusammenrechnen !)

Ich kann mich mit dem Höhen-und Kathetensatz nicht wirklich anfreunden. Habe drei Gleichungen mit Pythagoras aufgestellt und dann als Gleichungssysteme gelöst.

Wäre ein Asylannahmetest für "Facharbeiter".

x² + y² =(16+9)²; x² = h² + 9²; y² = h² +16²; 2h² + 16² + 9² = 16² + 2*16*9 + 9² h² = 16*9 = 4*4*3*3 = 12² => h = 12 x² = 12² + 9² = 225 => x = 15 y² = 12² + 16² = 400 => y = 20 geht also auch ohne vorwissen

A = 20 B = 15 C = 12 ❤❤

so hätte ich das gelöst 16+9=25 .. 25 :5= 5 ... 5*4= 20 .... 5*3=15 ..... Fläche vom dreieck( musste zur meiner schande nachgucken) ...lautet A = 1/2 ⋅ g ⋅ h ... nach h umgestellt ........ A= 15*20/0,5 A=150m^2 somit lautet die formel um hrauszufinden h=150m^2/(0,5*25m) ..... m wird weggekürzt... lautet die formel h=150m/12,5 .... h=12

Drehen wir die Geschichte noch etwas mehr zurück. Es gibt die beiden Herren Euklid und Pythagoras noch nicht, kann man diese Aufgabe auch ohne deren geniales Wissen berechnen? Also ich bin da raus, meine mathematischen Kenntnisse beschränken sich auf das kleine 1x1 🙂

1869 hätte Sheldon Cooper also mit seiner Einschätzung des MIT durchaus recht gehabt ;-)

Das schwierigeste war 16*16 im Kopf zu rechnen...