Autovalori ed autovettori 

Grazie a Lei per il gradimento dei miei contenuti (in costante aggiornamento ) . Per me è un piacere e un divertimento realizzare contenuti didattici che possano essere di aiuto agli studenti o appassionati di matematica .

Mi hai fatto morire 😂😂

Polimi?

Maremma assassina 😂😓 sono sulla stessa barca

Oggi giorno studiare è gratis e alla portata di tutti. Ci vuole solo la volontà. Non spenda tutti quei soldi, signorina.

Grazie 🙂

Buonasera Marco mi ha fatto molto piacere .Complimenti .

Buonasera Mattia , a dimostrazione che questi concetti sono indispensabili anche per materia applicative . Non si tratta di argomenti fine a se stessi . Sono contento che abbia trovato utile la lezione . Buona Serata .

Buonasera , La ringrazio tantissimo per il contributo .Onorato di esserLe stato utile per superare e comprendere questa disciplina . Ancora grazie da parte mia .

Grazie Eugenio , anche se come fonte primaria devi sempre considerare i libri di testo .I canali youtube non ufficiali (come può essere il mio) sono da considerare come supporto secondario e mai prenderli come riferimento principale .

Grazie per il tuo commento .Piacere da parte mia che la piccola divulgazione di un argomento molto complesso sia stato di tuo gradimento .

Grazie a Lei per il gradimento e la fiducia verso i miei contenuti . Buona continuazione nel mio canale 🙂

Buongiorno Federico la ringrazio per l'apprezzamento e tanti auguri per il Suo imminente esame .

quello di italiano non l'hai passato vero?

@@fili5928 siete sempre col dente avvelenato eh

Buonasera , lieto di essere stato (anche parzialmente ) di aiuto . Buona permanenza nel mio canale per (eventuali ) ulteriori contenuti didattici 😊

Mi fa piacere che il video sia stato utile 🙂 .

Grazie per il riscontro gradevole riguardo la lezione .

Grazie a te per l'apprezzamento .

Lieto di sentire pareri come quello che ha scritto . Il piacere è tutto mio , e reciprocamente La ringrazio .

Grazie a Lei per il gradimento .

Buonasera Luigi , grazie anche a Lei per il gradimento dei miei contenuti. Per quanto riguarda la domanda rispondo molto volentieri. Consideri che la playlist è in costante aggiornamento (in maniera intensiva ) e fino ad oggi può seguire in maniera continuativa dalla prima (spazi vettoriali ) alla lezione dei sistemi lineari .Ciò che Le sto dicendo vale per oggi 15/11/2021 dal momento che un utente che leggerà il presente post fra 6 mesi troverà una situazione ben diversa :-) Dopo la lezione dei sistemi lineari ci sono le lezioni su autovettori e autovalori , nucleo immagine , e diagonalizzazione di matrici. Tuttavia al tempo presente tra una lezione e l'altra di queste elencate , mancano alcune lezioni che chiudono il cerchio (in altre parole mancano dei tasselli che sto riempiendo ) e Le assicuro che entro gennaio la playlist di base sarà completata . Le comunico che già il prossimo venerdì esce un 'altra lezione di algebra lineare che andrà ad arricchire la playlist . La ragione di questi vuoti fra alcune lezioni sta nel fatto che qualche anno fa o più ho aperto il canale a mo' di gioco e cominciavo a rilasciare delle lezioni in modo disordinato credendo che a nessuno potessero interessare . Grazie al vostro gradimento ho visto che molti video hanno avuto parecchie visualizzazioni e per tale ragione ho iniziato a riordinare tutto e ancora c'è molto da fare . Purtroppo o per fortuna devo anche rilasciare i contenuti di analisi matematica e matematica , geometria nello spazio e nel piano e matematica di base , pertanto mi scuso se il rilascio non è sempre costante e immediato . Scusandomi per essermi dilungato molto , Le auguro buona permanenza nel mio canale.

@@salvoromeo Grazie per avermi risposto subito La prego di continuare in questa Sua opera che serve a me, che ho 56 anni e lo faccio per dare una rispolverata a concetti studiati quasi 40 anni fa, ma sicuramente serve a molti giovani che spesso trovano dei docenti che non hanno né le capacità professionali ne quelle umane per poter fare il lavoro dell'insegnante. Tutto questo porta le famiglie a dover spendere soldi per integrare, con lezioni private, le carenze che la scuola crea nei propri figli. Grazie per il suo operato e per la passione con la quale lo fa. Buon proseguimento

Buonasera Stefano La ringrazio tanto Per adesso il canale è in fase di costruzione e mancano ancora diversi argomenti (soprattutto analisi 2 ) . Mi sto concentrando sui concetti di base e solitamente realizzo contenuti che possano essere di aiuto ai principianti .A volte ho provato a rilasciare contenuti più difficili ma non sono tanti graditi poiché più di nicchia .Comunque il canale è in espansione e a tempo indeterminato ogni settimana ci sarà sempre il video della settimana .Fino a due anni fa erano presenti 30 video e dopo più di due anni sono presenti quasi 300 video . Spero sempre di migliorare il canale e arricchirlo di contenuti 😊 . Buona serata .

Grazie a te .Lieto di essere utile per quel poco che pubblico .

Grazie a te per la visione e l'utilità che ti ha dato il video .

Grazie

Grazie Francesco .

Buonasera .Si esattamente .L'autovettore associato all'autovalore "zero" rappresenta il vettore che genera il relativo autospazio .Gli autospazi sono normalissimi sottospazi vettoriali che vengono generati da uno o più autovettori associati a un dato autovalore .

Buongiorno Raffaele . La risposta e negativa , in quanto l'autovettore non può essere nullo .Al contrario l'autovalore nullo è possibile senza problemi .

Grazie per il commento Gabriele . Capita spesso di che un autovalore compaia più volte (ad esempio molteplicità algebrica pari a 2) e in questi casi può succedere o che allo stesso autovalore (contato due volte) si associano due autovettori "linearmente indipendenti" oppure ai due autovalori (uguali ) si associano due autovettori "linearmente dipendenti " ovvero un solo autovettore .In quest'ultimo caso l'endomorfismo non è semplice ...ovvero non esiste una base dello spazio vettoriale formata da autovettori . Se visualizzi il mio video (Matrici diagonalizzabili) riesci a capire meglio questo concetto , infatti viene visualuzzato spesso il caso in cui un autovalore ha una molteplicità algebrica pari a 2 . Se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure .Spiegare un concetto fra queste righe (parole) non è facile e potrei essere poco chiaro .

Grazie Valerio per il commento . Per rispondere alla domanda con piacere ti dico che è equivalente .Tutto dipende dalla scelta dell'incognita libera .E poi un vettore di base lo si può scegliere anche proporzionale a quello che hai trovato , quindi nel tuo caso moltiplicato per -1 . Bravo .

Buonasera Lorenzo , gli autovalori sono sempre uguali all'ordine della matrice , ovviamente con molteplicità .Considerando la matrice di ordine 3, se i tre autovalori sono distinti , certamente ci saranno tre autovettori indipendenti .Se ci fossero due autovalori uguali non è detto che i rispettivi autovettiri siano indipendenti .Tutto dipende dalla molteplicità geometrica che è uguale o minore della molteplicità algebrica .

Buonasera Riccardo ,Le rispondo con molto piacere . Ho evitato di scrivere la terza equazione poiché linearmente dipendente dalle altre .Il sistema in questione è possibile e indeterminato quindi una delle tre equazioni è superflua e per trovare le soluzioni sono necessarie solo due delle tre equazioni .Applicazione del teorema di Rouchè Capelli .

Grazie a Lei .

Solo una comodità .Può assegnare qualsiasi valore reale purché non nullo (nell'esercizio in questione )

@@salvoromeo Si può assegnare qualsiasi valore reale a una variabile libera perché se (ad esempio) gamma è un autovettore della matrice iniziale M, anche k*gamma lo è (con k scalare diverso da zero); quindi detto questo posso scegliere qualunque valore a quel punto dell'esercizio, basta che le relazioni lineari tra gli elementi degli autovettori restino quelle, giusto?

@@rmishuta1998 Buongiorno .Si può scegliere un qualsiasi vettore dell'autospazio che esso stesso genera .Ad esempio per l'applicazione identica da R³ ad R³ , il valore 1 è un autovalori e qualsiasi vettore di R³ è autovettore dal momento che l'autospazio coincide con R³ .

Avevo stoppato il video, il mio errore era stato fare (1- il primo val. di lambda ovvero 1)*x , nella seconda eq. ho messo lambda =0 e nella terza lambda =2 perché non avevo capito bene! Errore mio, ma grazie lo stesso nuovamente per questi video!! ♥

Buongiorno , poco importa non si preoccupi , ma rispondo lo stesso .Se ci fa caso per lambda =0 ci sono due equazioni proporzionali quindi una delle due la può "eliminare" e considerate solo le prime due .Scelta l'incognita libera il gioco è fatto . La ringrazio per l'apprezzamento verso la mia didattica 😊 Buona serata .

Buongjorno Andrea esattamente .È come portate tutto al primo membro ma in forma matriciale . Come dire se f(v)=k*v si ha f(v)-kv=0 con k autovalore (non riesco a fare la lambda al telefonino ) .Se lo fa in forma matriciale è una cosa analoga M*v=L *v e quindi M*v-k*v=0 (con v vetore a n componenti e 0 vettore colonna nullo a n componenti ) e quindi [M-k*I]*v=0 . La matrice I è la matrice identità che sottrae la matrice originale M e il complesso delle matrici [M-kI] è quella che io personalmente chiamo sempre H , ovvero la matrice M a cui viene sottratto k (lambda) .

@@salvoromeo grazie mille e buona giornata

Con piacere da parte mia .Grazie per la scelta del contenuto .

pezzo di plexiglass tra il professore e la telecamera, la scrittura risulterà specchiata, ma basta invertire il video in post. Questo è quello che mi è venuto in mente

Buonasera se si riferisce allo spazio vettoriale delle matrici , nella presente playlist (quasi alla fine delle ultime lezioni presente ) c'è un esercizio di compito d'esame in cui tratto anche questo aspetto .Se non riesce a trovare il video Le invio il link .

La ringrazio per l'apprezzamento .Ottimo docente il professor Tauraso .Un vero professionista della matematica .

Grazie 🙂🙂🙂 .

Buongiorno Luca è la procedura per determinare gli autovettori . L'applicazione f(x,y,z) - lamda (x,y,z) va posta uguale a zero proprio per definizione di autovalore/autovettore .Ecco perché si pose sempre al vettore nullo .

Arbitrario purché non sia zero .

Buonasera , se considera che 2 è un autovalore associato all 'autovettore (1,1,1) vuol dire che la trasformazione raddoppia il modulo del vettore , facendo mantenere la sua direzione originaria . Dal punto di vista fisico non lo so .Non sono un fisico , ma si sicuro ingegneri e fisici utilizzano questi concetti in diverse discipline .

Ringrazio per la risposta anche molto sollecita. Tuttavia non riesco ancora a capire il suo utilizzo pratico. Per esempio in geometria dire che trovo il modo di raddoppiare un autovettore senza cambiarne la direzione. Quale potrebbe essere un problema pratico? Ecco non mi si è accesa ancora la lampadina. Ho un momento di ottusità ❤

Buongiorno stasera appena rientro rivedró il punto indicato della videolezione e Le darò con piacere una risposta

Ciao Dino , infatti se togli il valore lamda si ottiene una nuova matrice diversa da quella associata , poiché è la differenza di due matrici .

Buon pomeriggio Fabio , la prima notazione somiglia alla rappresentazione di un sottospazio vettoriale sebbene l'equazione scritta non rappresenta quella di un sottospazio . La seconda invece rappresenta una rappresentazione di una applicazione lineare da R²->R² .

@@salvoromeo okok ho confuso alla grande l'equazione cartesiana che definisce lo spazio vettoriale con la legge della funzione lineare che manda da uno spazio all'altro.

Buonasera , si alla fine basta considerare solo due equazioni (delle tre disponibili ) purché linearmente indipendenti Si tratta sempre della solita applicazione del teorema di Rouchè Capelli e nel determinare gli autospazi almeno una delle incognite sarà sempre libera .Sta all'utente decidete quale (o quali ) incognite libere scegliere e soprattutto quali incognite libere evitare .Ad esempio nel caso in esame mai scegliere come incognite libera la x dal momento che il suo valore è vincolato ad essere rigorosamente uguale a zero .

Buonasera , certamente che è possibile , in questo caso siamo su spazi vettoriali si C .Un domani (entro il 2023 ) realizzerò anche un video in questione .

@@salvoromeo Grazie mille! Deduco quindi che se fossimo nel campo R e troviamo degli autovalori in C, abbiamo sbagliato i calcoli?

@@anitamuggianu1102 buon pomeriggio Anita è appena stata rilasciata una lezione sugli autovalori e autovettori nel campo complesso .

Buonasera Elena .Si in alcuni giorni e fasce orari in cui sono a casa impartisco lezioni individuali (anche on line) . Mi può contattare alla mail che compare nella descrizione del canale o via Instagram (icona nell'immagine di copertina del canale )

Buon pomeriggio , per adesso non è prevista una lezione sul "metodo delle potenze" poiché si tratta di un metodo poco utilizzato e non rientra tra le priorità . Mi dispiace non poter accogliere la richiesta nell'immediato . Ha fatto bene comunque a postare la richiesta . Le auguro un buon fine settimana 😊

Se i vettori sono indipendenti è una base (ovvero endomorfismo semplice)

Comunque la risposta è affermativa .I tre vettori costituiscono una base di autovettori .

@@salvoromeo la ringrazio! Grazie anche ai suoi video ho passato lo scritto di geometria e algebra lineare 😊

Grazie a te ...questo mi fa molto piacere .

Buongiorno Marco , non proprio .Solitamente io la indico con H ,ma ognuno può indicarla come vuole . H è la differenza tra M - t I , dove M è la matrice associata ad un endomorfismo o in generale una matrice quadrata , t è il generico autovalore appartenente ad un campo K , mentre I la matrice identità di ordine n .

Certamente altrimenti non avrebbe senso .

Devi studiare le equazioni nel campo dei numeri complessi (quelle di base) . Ho una playlist che riguarda i numeri complessi e ti invito a visionare tutti i video presenti nella stessa .

Buonasera Pino .Ottima domanda .Puoi scegliere gli autovalori a tua discrezione , ma l'ordine degli autovalori cambia in accordo della scelta dell'ordine degli autovalori .

Mi riferisco all'ordine di una eventuale matrice del cambio di base qualora (come i questo caso ) la matrice sia diagonalizzabile.Sibriferivs a questo ?

@@salvoromeo sì, grazie

ma te calmi