super vidéo ! Avec un peu d'intuition je pense qu'on pouvait aussi résoudre l'exercice de la sorte : Soit A, B dans Mn(K) On pose M = (A -XIn) et N = (B -XIn) (In 0. ) (In -A ) Alors M.N = (AB - XIn 0 ) et N.M = (BA - XIn * ) ( * -XIn) ( 0 -XIn) Or det(MN) = det(NM) => det(AB - XIn).det(-XIn) = det(BA - XIn).det(-XIn) => det(AB - XIn) = det(BA - XIn) Ce qui permet de conclure
Il y a une autre manière ( plus efficace à mon sens ) pour la densité de Gln(K) dans Mn(K) qui utilise la caractérisation séquentielle : Soit M c Mn(K), On note r le rang de M, Théorème : on dispose de P,Q c GLn(K) tq M = P^-1 Jr Q (Jr étant la matrice avec un bloc I_r et que des 0 ailleurs ) Ensuite, on pose (Mp)p la suite de matrice telle que Mp = P^-1 Jr* Q avec Jr* qui est Jr mais avec des 1/p pour compléter la diagonale Ainsi, (Mp)p est à valeurs dans GLn(K) et tend vers M par continuité du produit matriciel (bilinéaire en dimension finie) Et ça termine la preuve J'espère que c'est clair 😅 Sinon sympa la vidéo
problème sur la question de la densité: avec A quelconque dans Mn(K) (en particulier quand pas dans GLn(K)), on trouve 1 suite (Ap) qui converge vers A avec des elements de la suite qui sont eux dans GLn(K). Ce que tu as décrit c'est plutot la fermeture de GLn(K), pas la densité. Effectivement Ap = A - (1/p).I marche: Ap -> A et si Ap n'est pas inversible det(Ap)=0 = det(A - (1/p).I)=0 donc (1/p) est valp de A et s'il y a plus que n valeurs distinctes de p qui vérifie cela, ca veut dire que l'on a plus que n valp distinctes => contradiction. donc on est sur qu'a partir d'un certain rang p0, tous les Ap sont dans GLn(K)
Hello ! Les joies de l'algo YT m'ont reco cette vidéo. Je me permets ce commentaire que j'espère tu trouveras utile: tu fais une grosse confusion entre la caractérisation séquentielle d'un fermé et celle d'un espace dense, et ça te poursuit tout le long du raisonnement. En effet, à 4:52, tu dis vouloir montrer que si tu prends une suite de matrices inversibles qui convergent dans M_n(K), alors elle converge dans GL_n(K). Mais en fait il faut montrer que si tu prends n'importe quelle matrice dans M_n(K), alors il existe une suite dans GL_n(K) qui converge vers cette matrice (dans M_n(K)). Dans ce cas, si tu fixes A dans M_n(K), alors la suite A_p que tu introduis est la bonne idée (elle converge vers A dans M_n(K)). Mais il faut donc montrer que cette suite est composée uniquement de matrices inversibles à partir d'un certain rang. On le montre en utilisant le fait que A a un nombre fini de valeurs propres, et ça ressemble dans l'idée à ce que tu veux vouloir faire, mais vu que c'est pris dans le mauvais sens, ça bloque un peu. Dans ton raisonnement, tu as \chi_{A_p}(1/p)=0 et tu ne peux rien en dire de plus car A_p bouge avec p. En fait, le spectre de A_p est exactement le spectre de A translaté de 1/p, donc si A a 0 pour valeur propre, alors A_p a 1/p comme valeur propre pour tout p, et on a aucune contradiction (prend le cas où A est carrément nulle, tu verras très vite le problème). Et encore heureux que l'on ne puisse pas prouver que GL_n(K) est fermé, car c'est un espace ouvert de M_n(K) (image réciproque de l'ouvert K^* par une application continue qu'est le déterminant), et M_n(K) est connexe. À 8:35 il faut absolument expliquer pourquoi \phi est continue sur M_n(K)^2. Au passage, comme tu as montré que tu avais besoin que de A inversible, on pourrait fixer B dans M_n(K) et juste regarder l'application avec A qui bouge, et non un couple (A,B). Si un point ne te semble pas clair, n'hésite pas à le dire ! Bon courage !
effectivement merci beaucoup !Le fait que Mn(K) est connexe est pas au programme de PC je crois, mais oui j'ai confondu les caractérisations séquentielles pas de doute 😅
Le fait que M_n(K) soit connexe vient simplement du fait que c'est un espace vectoriel, donc carrément convexe. Je pense qu'il souhaitait exploiter le résultat suivant : dans un espace connexe, les seuls sous ensemble à la fois ouvert et fermé sont l'ensemble vide et l'espace entier. (C'est normal que tu ne connaisses pas la notion de connexité en spé). En particulier, si GL_n(K) était fermé, alors comme il est aussi ouvert, il serait ouvert et fermé et comme il est non vide, on aurait GL_n(K)=M_n(K) ce qui est faux. Sinon ta vidéo est très bien ! 😉
Génial ! Ce sont des cours de sup ou de spé ? Ça fait longtemps que je suis passé par là haha, je n'ai plus tout le programme en tête :)) En tout cas ça fait du bien de revoir les bases, merci pour cette vidéo !
titre et minia giga putaclic, mais la vidéo est à la hauteur, grand respect btw je savais pas que GLn etait dense dans Mn, donc merci d'autant plus pour ca
Pour la rédaction de la densité de Gln dans Mn, je crois que tu voulais plutôt dire que tu prends une matrice A quelconque dans Mn, puis tu construis une suite de Gln qui converge vers ce A. Fais attention parce qu’à un oral ils peuvent te tomber dessus et penser que tu confonds un sous ensemble dense et un sous ensemble fermé. Force pour la suite, je suis content d’en avoir fini avec tout ça 😅 (Je confirme que ce polynôme est un véritable golmon)
Très bon raisonnement à 5:50 mais il faut inverser A_p et A, sinon à 7:10 tu fais varier le polynôme et la racines tu ne peux donc pas conclure Attention à 7:38 le poca nul c'est imposible Ne pas oublier la continuiter de phi 8:30, c'est le cas car le det est polynomiale bonne chance pour les oraux :)
Pour le raisonnement de 5:50 à 7:50 tu t'es emmêlé les pinceaux entre Ap et A. Bonne vidéo sinon, ça me fait un peu penser à la différentielle du déterminant par densité des inversibles (même si je la trouve bien plus simple à déterminer à l'aide des dérivées partielles).
Si on n'évoque pas le fait que la fonction phi est continue en A et B, alors la densité de GLn(K) dans Mn(K) n'est pas suffisante : il manque un bout, là, nan? Ou est-ce que j'ai pas été attentif?
