j'ai très rapidement conseillé à mes ados de s'abonner à cette chaine. Les vidéos sont géniaux, je les écoute avec beaucoup d'intérêt, j'apprend qlq chose à chaque écoute
Waw merci, je ne connaissais pas le coup des proportions du triangle 30°, 60°, 90° → 1n, 2n , n√3 !! 😲 Je regarde chacune de vos vidéos, et même si en général je connais déjà tout ce qui est abordé, j'adore surtout votre façon d'expliquer et la passion que vous dégagez ... Mais alors quand en plus ça m'apprend de nouvelles choses, c'est que du bonheur ! 😁👍
Toujours aussi plaisant à regarder. Toutes mes félicitations pour savoir rester aussi humble malgré tous ces commentaires positifs. C'est vraiment rare, j'apprécie beucoup
Avec le théorème d'Al-Kashi on trouve le troisième côté. Connaissant les 3 côtés on trouve l'aire du triangle avec la formule de Héron. Le théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore. Au lieu d'avoir a² + b² = c², on a : a² + b² − 2ab cos γ = c², γ étant l'angle opposé au coté c. On remarque que si γ = 90°, 2ab cos γ = 0 et on retrouve bien Pythagore. Le théorème de Héron permet de trouver l'aire d'un triangle connaissant ses 3 côtés. A = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) avec p = (a+b+c)/2
La formule de Héron n’a d’intérêt que lorsqu’on connaît les trois côtés d’un triangle (ce qui est d’ailleurs souvent le cas dans les problèmes de la vie réelle, une longueur ou une distance étant généralement beaucoup plus faciles à mesurer qu’un angle). Dans le cas présent où l’un des côtés manque, plutôt que de chercher à l’obtenir en sortant la grosse artillerie, il est infiniment plus simple d’en revenir aux formules basiques (base x hauteur / 2 et sinus = côté opposé / hypoténuse) qui donnent la solution en deux lignes et quasiment sans calcul…
@@christianf9865 Oui, j'avais bh/2 avec h=6sin60 comme tout le monde. Mais le problème demandait une méthode inédite. Et Kashi + Héron, c'est tout ce que j'ai trouvé d'autre...
@@christianf9865 Le défi serait d'essayer de trouver une formule générale simple pour l'aire à partir de deux côtés et de l'angle qu'ils forment... avec un réel et un complexe sous forme polaire par exemple. Le réel et le module du complexe représentent les 2 côtés du triangle et l'argument du complexe représente l'angle qu'ils forment...
Ça me rappelle ce que nous disait notre prof de physique de 2de : Il faut savoir raisonner juste avec une figure fausse. La longueur qui vaut 3 et qui semble plus longue que la moitié du côté qui vaut 8 m'a un peu perdu, mais merci pour la formule. Elle est très pratique. Je résume : si un triangle a des angles de 30, 60 et 90 degrés (on notera la progression), non seulement il est rectangle, mais ses côtés sont des multiples de 1, 2 et √3. Donc connaitre deux angles et un côté peut suffire à calculer tout le reste. Bravo !
la méthode est certes rapide et satisfaisante, mais dans le système scolaire français, il sera toujours demandé de démontrer le résultat de cette méthode avant d'avoir le droit de l'utiliser dans tous les exercices en lien avec le problème
@@senbonzakurakageyoshi662 « enseigné(e) », vous voulez dire tenter de faire apprendre par cœur une n-ième formule abstraite qu’on aura oubliée dans deux jours, mais qui se retrouve en dix secondes quand on sait que surface = base x hauteur / 2 et sinus = côté opposé / hypoténuse ?
@@Esperluet Le triangle qui permet de calculer la hauteur est toujours rectangle (par construction) puisque la hauteur est obtenue en traçant une ligne partant du sommet et _perpendiculaire_ à la base.
La formule anglo-saxonne 1-2-sqrt(3) correspond en fait aux sinus-cosinus des angles 30°-60° dans un triangle rectangle (une fois qu'on a remis l'hypothénuse à l'unité, et qu'on considère alors 1/2-1-sqrt(3)/2)... Belle formule que je ne connaissais pas... Et on obtiendrait alors une formule 1-1-sqrt(2), soit, avec hypothénuse unitaire, une formule sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 1 pour un triangle rectangle avec des angles de 45° Cool :)
Ce n'est pas un triangle équilatéral car sinon le petit côté ferait 4 de longueur. C'est le triangle rectangle qui est un demi triangle équilatéral de côté 6.
@@sebastienriss5384en abaissant la hauteur on crée un demi triangle équilatéral (60,90,30) de côtes (6,3,h). Car dans un triangle équilatéral les hauteurs sont aussi médianes et bissectrices. Puis Pythagore..... Contrairement au prof je considère que nommer les sommets est indispensable surtout avec les limitations excluant le dessin dans les réponses. A noter que l'angle de 60 est dessiné à 45 de façon évidente et trompeuse....
J'aurais, pour la première solution, pris l'exemple d'un triangle rectangle pour montrer que la formule "base x hauteur / 2" est une simplification de "sin 90° x côté adjacent 1 x côté adjacent 2 /2", parce que 90 est une valeur à retenir également et que sin 90° = 1. Que le triangle rectangle est donc un cas particulier des triangles, mais que dans le fond, tous utilisent la même formule.
Pouvez vous svp avec votre talent , montrer comment les prix augmentent , les pourcentages , il y a 6mois mois par exemple les bananes valaient 1.05 Euro le KG aujourd'hui c'est 1.47 Euros quelle est le pourcentage d'augmentation , vous pouvez multiplier les exemples ce serait utile pour beaucoup de gens c'est ce que j'ai constaté autour de moi . Merci de vôtre compréhension .
J'ai fait une prépa math et on ne m'a jamais parlé de la deuxième méthode bien joué. Si c'est 45° c'est 1,1 et racine de 2 mais celui là c'est de l'inédit !
Il faut faire beaucoup de géométrie pour connaître tous les triangles particuliers 😅 Sinon c'est toujours sympa de voir ce genre d'astuces mais on aura oublié dans 3j...
Curieux commentaire dans la mesure où le triangle présenté ici n’a absolument rien de particulier, et où le calcul de sa surface ne recourt à aucune « astuce » mais juste à des formules ultra-classiques de géométrie (surface d’un triangle = base x hauteur / 2 - CM2) et de trigonométrie basique (sinus = côté opposé / hypoténuse - 3ème).
Avant meme de commencer, On calcul la longueur du coté opposé avec les formules de trigo en considerant le triangle rectangle coupant le coté de 8 cm et après, on utilise la formule de héron qui utilise la valeur s du semi perimetre. Bon maintenant je vais la regarder
On peut se débrouiller en utilisant d'abord la formule d'Al Kashi puis celle d'Heron également : Avec Al Kashi, on trouve d'abord côté qui nous manque que l'on note 'a'. On a donc : a²=b²+c²-2*b*c*cos(bac) a²=8²+6⁶-2*8*6*cos(60) a²=52 a=√52 Maintenant qu'on a trouvé tous les côté, on peut calculer l'aire avec la formule d'Heron, donc : A=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) Ici, s=demi périmètre, soit : s=(a+b+c)/2 s=(√52+8+6)/2 s=7+√13 On peut enfin caluler l'aire A, ce qui donne : A=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) =√((7+√13)*((7+√13)-√52)*((7+√13)-8)*((7+√13)-6)) A=12√3 Donc l'aire du triangle vaut bien 12√3
J'ai eu la même idée... mais j'ai pas eu la force de calculer 😅 Bravo ! PS: Je crois qu'on peut démontrer la formule de Héron à partir de la loi des cosinus. Il doit être possible de trouver une formule générale de l'aire d'un triangle connaissant deux côtés a et b formant un angle γ...
Oui, bien sûr, on peut (en se débrouillant bien, on peut aussi tuer une mouche à la kalachnikov). . Mais bon, avec base x hauteur / 2 et hauteur = hypoténuse x sin(α) on arrive à la solution de tête en moins de dix seconde 🤓
L’unité peut être tout ce qu’on veut (des centimètres, des kilomètres, des pieds, des pouces, des miles, etc.), l’aire calculée aura toujours la même valeur, exprimée dans l’unité correspondante (cm², km², sqft, etc.).
Tout à fait. Sin(60) = rac(3)/2 Dans le cas présenté, par trigonométrie : h = hypoténuse * sin(60) l’hypoténuse ayant une longueur de 2 h = 2 * rac(3)/2 h = rac(3)
Le module du produit vectoriel de deux vecteurs étant égal à l'aire du parallélogramme défini par ces deux vecteurs, un triangle dont 2 côtés a et b forment un angle θ possède une aire qui vaut (a x b x sinθ) ÷ 2 En identifiant deux côtés a et b d'un triangle à deux vecteurs formant un angle θ, le module de leur produit vectoriel vaut ‖a‖ × ‖b‖ × |sinθ| et donc l'aire du triangle vaut la moitié de l'aire du parallélogramme. Avec a=6, b=8 et θ=60° on a bien A = 6 x 8 x (√ 3)/2 ÷ 2 = 12√ 3 Méthode inédite et immédiate...
@@paolo_mrtt Normal, j'ai toujours été nul en maths et pour une fois que j'ai trouvé un prof qui sait expliquer, je m'accroche 😄. J'ai 67 ans, et malgré un bac plus 3, j'ai toujours peiné avec ces putains de maths. Le pire pour moi : les stats 😱
@@armand4226 17 bientôt pour ma part hahah. Content d'avoir youtube et internet en tous cas ça aide beaucoup parce qu'avec tous ces profs et exercices présent (notamment Hedacademy) c'est comme avoir des professeurs de soutien et d'approfondissement. En tous cas je te souhaite courage dans ta quête et surtout une bonne fin de semaine ! A la prochaine 😁
@@paolo_mrtt Merci l'ami. On a QUE 50 années d'écart 😄😄😄. Profite de ta jeunesse, mais n'oublie jamais d'être juste et jamais extrême. Certains veulent faire croire qu'il n'y a que le bien et le mal, que le noir et le blanc, mais non : c'est toujours gris et c'est plus compliqué. Et accroche toi en maths ET en français. Amitiés
Il aurait été intéressant de montrer comment on arrive au résultat de la deuxième manière. Souvent au collège/lycée on nous montre comment calculer la hauteur d'un triangle équilatéral sans pour autant nous montrer la seconde technique qui est en réalité un demi triangle équilatéral. Non ?
1:13 quelqu'un peut m'expliquer cette multiplication par le sinus de l'angle où se coupent les deux cotés ? Je suis en première mais pas encore vu cette partie de trigonometrie, je me demande comment on peut utiliser un sinus si le triangle n'est pas rectangle
si le triangle n'est pas rectangle, alors tu trace une hauteur et tu obtiendras un triangle rectangle. A défaut de la hauteur, tu peux utiliser le théorème d'Alkashi qui est un Pythagore généralisé sur tout type de triangle
Parce que l'objectif était d'utiliser une méthode "inédite sur cette chaine", et la trigo il y en a déjà eu. Avec cette formule on retombe d'ailleurs sur le premier résultat. C'est exactement votre formule qui m'est venue en premier pour obtenir la réponse.
J'ai plutôt tendance à voir 2 manières de calculer la hauteur que de calculer l'aire. Pourquoi ? Et bien (1/2) * b c sin(â) = (1/2) b (c sin(â)). Or c est l'hypothénuse du triangle rectangle formé par c et la hauteur du triangle partant du sommet opposé à b. Donc c sin(â) = h.
Bonne vidéo mais le coup du triangle rectangle 1, 2, racine(3) est à mon sens totalement inutile à apprendre, justement. Il suffit de connaitre cos(60°)=0,5, ce qui donne le côté adjacent de l'angle de 60° qui vaut la moitié de l'hypoténuse (donc 3 dans votre exemple) puis Pythagore ; c'est largement aussi rapide que de repérer le triangle et de trouver le coefficient multiplicateur. Je préfère pour ma part ce genre de résultat général, qu'on retrouve très facilement à partir d'une seule connaissance, plutôt que "d'apprendre" des triangles rectangles particuliers. Chacun sa méthode, mais inutile de répéter "vous ne l'avez jamais vu à l'école"... ben si, en fait :) De plus, votre 2eme méthode n'est pas foncièrement différente de la première, puisque h = sin(60°)x6, donc la formule 8*h/2 donne bien 8*6*sin(60°)/2, qui est la même que la première. Vos vidéos sont vraiment bien faites et attrayantes, surtout grâce à votre ton et votre bonne humeur, mais elles présentent trop de fois des "recettes" sans vraiment généraliser. C'est parfois dommage.
Oui mais le triplet 1,2, √3 il vient bien des lignes trigonométriques cos60=1/2, sin60=√3/2 et r=1. Or vous avez annoncé que vous alliez trouver h sans faire appel à la trigo ni utiliser l'aire déjà calculée grâce à la trigo.... en plus évoquer les triplets de Pythagore ça embrouille car leurs angles ne valent pas 30,60,90. Il aurait été plus simple de partir des lignes trigo et tout multiplier par 6 en faisant jouer à 6 le rôle du rayon.
L’exercice est très intéressant mais un brin frustrant avec la consigne des deux méthodes inédites. Quelqu'un qui a fait ses études en France a peu de chance de connaître la deuxième méthode 😅
Je n'arrive pas à retomber sur un triangle 3,4,5 à partir du racine 3, 2,1. Pour moi n vaut du coup 2.5 puisque l'hypotenus vaut 5 mais 2.5×racine 3 ca ne me donne ni 3 ni 4. Bref j'ai pas dû comprendre un truc. Edit: Ah si le 3,4,5 tu n'as pas dit que c'était un 30°60°90° donc je suppose que c'était d'autres angles et que c'était juste pour illustrer les multiples.
Je suis d'accord avec vous, l'explication embrouille car dans un triplet de Pythagore 3,4,5 les angles ne mesurent pas 30,60,90. Et le prof a bien annoncé qu'il allait trouver h sans exploiter les lignes trigo de l'angle de 60°... Et hop, au dernier moment il introduit racine de 3 dans le triplet racine de 3, 2, 1 et il multiplie tout par 3. Il aurait été plus logique d'évoquer le triplet du cercle trigo r=1, cos60=1/2, sin60=(racine de 3)/2 et tout multiplier par 6.
n⁵ - n divisible par 5? Tous les entiers n de 1 à 10 à la puissance 5 finissent par n, Donc en enlevant n ils finissent par 0 et sont donc divisibles par 5 On peut donc généraliser à tous les entiers n... non? 1⁵ = 1 − 1 = 0 2⁵ = 32 − 1 = 30 3⁵ = 243 − 3 = 240 4⁵ = 1024 − 4 = 1020 5⁵ = 3125 − 5 = 3120 6⁵ = 7776 − 6 = 7770 7⁵ = 16807 − 7 = 16800 8⁵ = 32768 − 8 = 32760 9⁵ = 59049 − 9 = 59040 10⁵ = 100000 − 10 = 99990 PS: si tu prends par exemple n=27, 27⁵ = 14 348 907, on peut enlever 27 et ça finit par 0 n sera toujours petit devant n⁵... bref il faut arriver à dire ça proprement :)
@@Ctrl_Alt_Sup c'est tordu. Pour n=0(mod 5) c'est évident Reste que : 1(mod 5) ^4 = 1(mod 5) et -1 qui font 0 2(mod 5) ^4 = 16(mod 5) = 1(mod 5) et rebelote. 3(mod 5) ^4 = 81(mod 5) = 1(mod 5) tiens, tiens ! Et enfin : 4(mod 5) ^4 = -1(mod 5) ^4 = 🤔 ... 1(mod 5) 😄. CQFD. Il y a aussi Fermat qui fonctionne mais là, on tape plus haut 😉 (Si n>0 est premier avec a alors n^(a-1)=1(mod a) en prenant a=5 et en remarquant que 4=5-1. n^4=1(mod 5) soit n^4-1=0(mod 5). Et si n=0 évident).
@@MrMeloman14 Désolé mais je ne maîtrise pas l'opération modulo et les congruences. J'ai du énoncer une évidence sans le savoir... Mais j'imagine que vous avez une démonstration qui fait appel aux propriétés des congruences. Car cela semblait bien fonctionner pourtant... J'ai remarqué par hasard que : Tous les nombres finissant par le même chiffre x et élevés à la même puissance k finissent tous par le même chiffre y. Exemples: Tous les nombres finissant par 3 et élevés à la puissance 4 finissent tous par 1. 3^4=81, 23^4=279841, 63^4=15752961. Tous les nombres finissant par 7 et élevés à la puissance 3 finissent tous par 3. 7^3=343, 27^3=19683, 257^3=16974593 Chose étonnante (pour moi), tous les nombres finissant par le chiffre x et élevés à la puissance 5 finissent tous par le chiffre x. Et comme ça marche pour tout nombre n finissant par x entre 0 et 9 et élevé à la puissance 5. Pour tout nombre n finissant par x, on a n⁵ - n = n(n⁴ - 1) qui finit par 0. Bref, j'essaierais de m'intéresser aux congruences...
@@Ctrl_Alt_Sup non. c'est logique : Un nombre qui finit par x s'écrit (A×10 + x) où A n'est autre que le nombre de dizaines, exemple 123 = 12×10 + 3 avec A=12. Alors en développant : (A×10 + x)^3 = (A×10)^3 + 3(A×10)^2×x + 3×(A×10)×x^2 + x^3. On se concentre alors sur le tout dernier terme, le reste étant un multiple de 10. On peut faire la même constatation avec d'autres puissances p que 3 : à la fin, on a un terme de la forme x^p. Le chiffre x étant fixé ainsi que p, cela termine toujours par le même chiffre !
Merci, cette methode m'a permis de comprendre cette elegante facon de retrouver la formule du sinus d'une somme : ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-OCIHS2vmdRA.html&ab_channel=MathematicalVisualProofs
@@Esperluet votre réponse est méprisante, surtout que j'ai refait le calcul sur une application de géométrie. Je cherche à comprendre l'erreur moi au moins
Donc au final pas vraiment « deux manières » puisque la « mystérieuse formule inédite révélée après la sonnerie » qui tombe du ciel dans la première méthode n’est en fait rien d’autre que l’écriture développée du calcul de la deuxième méthode - la très classique (base x hauteur) / 2 où l’on remplace base par l’un des côtés et hauteur par l’autre côté x sinus(angle des deux côtés). À la rigueur, on peut considérer qu’il y a bien « deux manières » de faire le calcul puisqu’on peut choisir indifféremment comme base l’un des deux côtés et calculer la hauteur avec l’autre, mais c’est tout sauf inédit… 😬
Voici de l'inédit: Le module du produit vectoriel de deux vecteurs étant égal à l'aire du parallélogramme défini par ces deux vecteurs, un triangle dont 2 côtés a et b forment un angle θ possède une aire qui vaut: ‖a‖ × ‖b‖ × |sinθ| ÷ 2 = (a x b x sinθ) ÷ 2
@Hedacademy C'est dommage vous auriez à gagner à réduire votre débit de parole. Vous ne vous en rendez pas compte mais vous parlez trop et trop vite. C'est inaudible votre discours. C'est dommage le contenu est intéressant mais la forme n'y est pas. j'ai vraiment eu du mal à aller jusqu'au bout de votre vidéo.
