die entstehenden zahlen oszillieren durch die vor-zurück-rechnungen sozusagen wild in der gegend herum. irgendwann treffen sie dabei auf eine zweierpotenz und fallen dadurch in eine art trichter, an dessen ende die eins lauert. man muss also "nur" :-) beweisen, dass sich bei jeder ausgangszahl bei den genannten rechenschritten immer irgendwann auch einmal eine zweierpotenz ergeben wird.
Ich habe mit Excel mal die 27 durchgespielt. Es kommen am Ende der Teilungen durch 2 verdammt oft Primzahlen raus. Aber einen Trichter, wie du ihn beschreibst, also eine 2er Potenz, kam am Ende nicht vor. Es sind bei der 27 übrigens 111 Schritte und die größte Zahl der Reihe ist 9232 im 77. Schritt. Ich habe mal ein paar größere Primzahlen ausprobiert. Bei der Startzahl 31 sind es 106 Schritte und die größte Zahl ist überraschenderweise ebenfalls die 9232 und wird im 72. Schritt erreicht. Bei Startzahl 41 ist die größte Zahl ebenfalls 9232 beim 75. Schritt. Insgesamt braucht die 41 109 Schritte bis man zur Eins gelangt. Excel ist schon ein geiles tool :)
@@berndkru Bääh. RU-vid hat meine Antwort gekillt. Habe wohl etwas zu oft copy paste gemacht beim editieren. Naja ... jetzt ist die Lösung ja wieder mein Geheimnis und ich kann die Million kassieren *ggg*
@@berndkru Gerade solche Warnungen spornen erst recht an. Von derartigen Phänomenen, die auch Grundschüler verstehen, aber gestandene Mathematiker ratlos dastehen lassen, sind Laien geradezu magisch angezogen. Und es wäre mir ein Fest, wenn dieses Video einen Zehnjährigen dazu motivieren würde einen Lösungsansatz zu finden, auch wenn er nicht 100-prozentig ausgearbeitet wäre, aber trotzdem den Weg zur Lösung aufstoßen würde.
@@Jonas-h4w3q Ja, dem stimme ich auch zu. Ich finde es auch nicht schlimm, wenn sich jemand in ein solches Problem verbeißt, auch wenn eine Lösung praktisch aussichtslos ist. Man lernt durch Fehlversuche mehr als durch schnelle Lösungen. Die Warnung der Mathematiker richtete sich vor allen Dingen an andere Mathematiker.
Alle Zahlen, die durch 9 teilbar sind, haben eine Quersumme, die durch 9 teilbar ist. Das hab ich irgendwann mal in der fünften Klasse gelernt, als es darum ging, auf den ersten Blick zu erkennen, ob eine Zahl bestimmte Teiler hat. Für 2: die Zahl muss gerade sein 3: die Quersumme ist durch 3 teilbar 4: die letzten beiden Ziffern sind 00 oder durch 4 teilbar 5: endet auf 5 oder 0 6: die Quersumme ist durch 3 teilbar und die Zahl ist gerade 9: die Quersumme ist durch 9 teilbar 10: die Zahl endet auf 0 12: die Quersumme ist durch 3 teilbar und die letzten beiden Ziffern sind 00 oder durch 4 teilbar 20: die Zahl endet auf 0 und die vorletzte Ziffer ist gerade 25: die letzten beiden Ziffern sind 00 oder durch 25 teilbar 30: die Zahl endet auf 0 und die Quersumme ist durch 3 teilbar etc.
Hallo, ich hab eine Idee! Für die Zahlen 0-255 (1 Byte) wurde die Vermutung ja schon bewiesen. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit fuer die 1. Operation (:2) grösser als fuer die 2. Operation (3n+1). Stellen wir eine Zahl binaer dar, so besteht sie aus vielen 8-Bit Päckchen (Bytes). Das höchste dieser Bytes wird in endlichen Schritten zu 1, (und dann im Zyklus 4-2-1 immer wieder selbst wenn es von Bytes darunter ab und zu einen Übertrag bekommt). Ist die Gesamtzahl dann gerade, wird durch 2 geteilt, was binaer einem 1 bit shift right entspricht. Das obere Byte ist dann leer. So entleeren sich alle höheren Bytes (egal wie gross die Anfansgszahl war, im Fall von 27 im höchsten Byte kann das etwas länger dauern, aber es geschieht), bis nur noch das unterste Byte eine 1 enthält. q.e.d.
@@wollek4941 Genau das dachte ich auch als ich 16 8 4 2 1 sah. geteilt durch 2 bedeutet 1 bit shift right, mal 3 bedeutet 1 bit shift left und addieren zur ursprünglichen Bitfolge. Plus 1 bedeutet das nur das unterste Byte um einen erhöht wird, was kaum Auswirkung auf die Zahl hat, sondern sicherzustellen soll, das mindestens jedes 2. Mal geteilt wird (und die Bitfolge so um mind. 1 Bit verkleinert wird) . Erreichen wir irgendwann dann die Bitfolge '1(beliebig viele nullen)0' dann sind wir am Ziel. Vllt. lässt sich so auch ein Beweis mit binären Bit shifting konstruieren .
@@argi0774 Es geht hier um eine Änderung der Sichtweise, alles andere wurde ja bereits versucht und hat nichts gebracht. Wenn wir zeigen können, das die Multiplikation mit 3 (0b11) zu einem Ausdünnen der Einsen im Bitpattern und damit zum Bilden von Inseln mit viellen Nullen führt, dann sind wir schon einen grossen Schritt weiter. Dazu sollte man sich die Bitpattern Verläufe der Zahlen 1-255 (oder mehrere Bytes um die Störung durch das '+1 zu minimieren) noch einmal angucken und versuchen, eine Regelmäßigkeit zu finden. Vorher sollte man herausfinden, ob das schon jemand versucht hat und dort weitermachen.
Das Preisgeld gibt es offenbar nicht nur, wenn man beweisen kann, dass die Collatz-Vermutung richtig, sondern auch, dass sie falsch ist. In den Bedingungen steht: “Solving Method” means either, the verification of the Solution for the Problem by presenting a reasonable mathematical proof that the Collatz Conjecture is accurate; or the verification of the Solution for the Problem by presenting a reasonable mathematical proof that the Collatz Conjecture is false. Das würde bedeuten, dass auch die Nennung eines Gegenbeispiels zur Auszahlung des Preisgeldes führt.
Der Beweis durch Gegenbeispiel würde allerdings erfordern, zu beweisen, dass bei einer bestimmten Startzahl die Folge *nie* endet, man müsste also eine unendlich lange, weil nie endende Rechnung als Beweis vorlegen.
@@maximkretsch7134 oder dass die Folge in eine Schleife gerät, in der die 1 nicht vorkommt. Oder jemand kann beweisen, dass es eine obere Grenze für die Anzahl der Folgenglieder gibt bis zur 1, falls diese erreicht wird. Wenn diese dann überschritten wird, wäre die Collatz-Vermutung widerlegt.
@@maximkretsch7134 Nicht zwangsläufig, Es könnte auch passieren, dass eine Zahlenschlaufe entsteht. bei welcher sich die Zahlen in immer der selben Reihenfolge wiederholen.
Es gab vor einigen Monaten schon einmal jemanden, der ernsthaft behauptete, einen Beweis zu haben. Er wandte sich an Prof. Weitz aus Hamburg, seinen Beweis zu prüfen. Dieser lehnte allerdings ab, den Beweis zu lesen, weil er es wohl für verschwendete Zeit hielt. Du warst das nicht, oder?
Naja, bei ihrer Aufgabe x *9 lande ich bei der 9er Reihe. Also bei 9, 18, 27 usw. Bei diesen Zahlen ist die Quersumme immer 9. Also ist die Ausgangsbasis immer die Gleiche. Gerade und Ungerade dient der Verwirrung. Also ist das Ergebnis immer gleich.
Mich würde da mal interessieren, was der Einsatz von Rechenpower (Computer) bisher erbracht hat. Bis zu welcher natürlichen Zahl ist denn die Vermutung bestätigt? Gibt es eine Zahl, für die man bisher nicht auf die 1 gekommen ist? Kann dann natürlich auch daran liegen, dass man den Algorithmus nicht lange genug laufen gelassen hat
Dann lässt sich aber leicht zeigen, dass die Zahlen in der Folge stärker schrumpfen als anwachsen und deshalb „ganz unten“ ankommen. Bsp. 21,22,11,12,6,3,4,2,1.
Bei Nummer 27 gibt es aber, wenn ich mich nicht verrechnet habe, "nur" 85 Ergebnisse, bis man wieder bei der "1" ankommt. In einer Excel-Tabelle bis Spalte "CH" = 1 Also bei "3n+1" gibt es (immer) die Zahlenfolge 4 2 1 Was ist aber bei "3n-1" ? Das habe ich mir mal angeschaut. Das ist genauso strukturiert, allerdings sind dann diese "Perioden" oder "Schleifen" anders. Da gibt es als kleinste Schleife die Folge 2 1 Bei n=10 geht es nach der 5 Operation zur 10 zurück. Bei n=11 geht es nach 3 Operationen bis zur 8 und dann bis zur 1 und dann wieder Folge 2 1 Bei n=12 geht es genauso ab. Bei n=13 geht es nach 6 Operationen bis zur 7. Dann folgen weitere 5 Operationen bis man wieder bei der 7 ist. Das hier sind nur mal ein paar kurze Beispiele. Die Größe der Schleife erhöht sich natürlich unproportional. Bei n=21 geht es nach 7 Operationen zur 34 um dann über 18 Operationen wieder bei der 34 anzukommen. Ich weiß nicht, ob das schon irgendwo jemandem aufgefallen ist. Übrigens, wenn man für n eine negative Zahl einsetzt, dann ist das genau so, nur eben anders herum. Also 3(-n)-1 hat das gleiche Ergebnis (als Betrag) wie 3n+1 und 3(-n)+1 das gleiche wie 3n-1. Ist wohl auch logisch. Übrigens ist morgen frei. Da kann man den Tag über fein rechnen. ;-) Gruß, Heiko
Ja, die Collatz-Vermutung ist ganz einfach und man kann sie ohne Mathematik lösen. Einfach nur mal aufmalen. Dann sieht man sofort, warum diese Vermtung wahr ist. Die Multiplikation mit 3 hat eine Eigenart, sie reißt die Zahl auseinander. Zusätzlich hat sie einen einen Zyklus, nämlich 1 - 3 - 9 - 7. Dieser Zyklus und eine Stellenverschiebung durch die Addition von 1 ist der Grund , warum die Eins immer erreicht wird. Banal gesagt wird aus der 9 eine 5 und die sorgt dafür, daß man durch 16 teilen kann. Der Witz ist, daß mit 3^n plus eine Ausgleichkonstante multipliziert wird, aber mit 2^(n+3/4n) dividiert wird. Beispiel: es wird mit 3^4=81 multipliziert, eine Ausgleichkonstante dazu addiert und durch 2^7=128 dividiert. Ganz so einfach ist es zwar nicht, da auch Mischformen auftreten, aber grundsätzlich wird immer durch eine größere Zahl dividiert als multipliziert. Den mathematisch "korrekten" Beweis muss ich schuldig bleiben, hab Mathe nicht studiert, aber die Struktur oder besser, das Muster, wie Prof. Weitz so gerne sagt, gefunden. Diese Problem hat kein Mathematiker jemals aufgemalt, sonst hätte er die Lösung direkt gesehen. Aber wie bei den meisten mathematischen Rätsel ist entweder etwas zu wenig oder etwas zuviel angegeben, um die Lösung sofort zu sehen. Bei diesem Problem ist etwas zu viel angegeben. Läßt man dies weg und malt mal auf, sieht man sofort die Lösung.
Ganz einfach. Die Kombination der Formeln ist so angelegt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei nächsten Schritt eine gerade Zahl herauskommt - und damit dass der neue Wert gleich wieder halbiert wird, sprich kleiner wird und gegen 1 geht - deutlich größer ist, als dass eine ungerade Zahl herauskommt - und damit der Wert zunimmt - sprich sich von 1 entfernt. Warum? Weil beim Halbieren von geraden Zahlen die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl herauskommt, die dann gleich nochmal halbiert werden kann, zwar 50-50 ist, bei “3n (ungerade)+1” die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl herauskommt, die gleich wieder halbiert werden kann, aber 100-0 ist. Wenn man also lange genug rechnet, wird der Wert - uU auch erst nach ungeahnten Höhenflügen - früher oder später zwangsläufig so viele Male öfter geteilt als “verdreifacht +1 werden, dass er bei 1 landet.
Wenn man eine Zahl durch sich selbst teilt und 1 davon abzieht, kommt nicht immer 0 raus. Zumindest dann nicht, wenn die Zahl. an die man gedacht hat, 0 ist😂
Also... die Zahlen der Folge 1 2 4 8 16 etc acheint ja umgekehrt so "berechenbar": Man schaut ob ein (N-1)/3 eine ungrade ganze Zahl ist, falls ja, ist das die nächste Zahl falls nicht N * 2. Das funktioniert natürlich erst ab der dritten Zahl. (Schöner Beweis warum 1 gerade und ungerade zugleich sein kann, irgendwie) Die Frage ist nun warum dann irgendwann jede Zahl dort auftaucht? Hmmmm: Weil bei N= 0 ist N / 2 gleich 0 und 0 * 3 + 1 = 1 also N+1 ist jede Zahl irgendwann? Keine Ahnung^^
3x+1 okay ich habe Mal eine Doku gesehen da ging es um die Zahlen 3 6 und 9 was würde passieren wenn wir die 3 mit der 6 tauschen oder mit der 9 würde die Formel immer noch passen und irgendwann auch auf 4 2 und 1 gehen 42 mmm woher kenne ich diese zahl😅
Man weiß nicht mal ob Collatz der Urheber war, schriftlich formuliert wurde das Problem erst spät und da waren schon unzählige Anekdoten dazu geboren. Das Problem wie aus Chaos (ungelenkt!) ein Gleichgewicht entsteht, ist uralt. Darwin löste es für die Biologie mit den widerstrebenden Kräften Mutation und Selektion. Ersteres schafft reihenweise Information, die überwiegend nutzlos ist, letzteres sortiert gnadenlos heraus, was davon funktioniert. Haeckel nutzte schon früher die schönen Begriffe vis zentrifuga und vis zentripeta als widerstreitende physikalische Kräfte, die nach außen und innen gerichtet sind, wie bei einem Kettenkarussell mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Zwischendurch wackelt es etwas, aber die Gondeln kommen immer von allein wieder in ein Gleichgewicht. Die älteste Form dieses Dualismus, die mir bekannt ist, ist das Yin und Yang Prinzip aus dem Taoismus, das Wurzeln hat, die gut 3k Jahre in der Vergangenheit liegen. Ich nehme an, dieses Problem wurde in ähnlicher Form bereits in der Urzeit an den Lagerfeuern dieser Welt diskutiert.
Verständnisfrage: Wäre ein mathematischer Beweis dafür, dass die Collatz Rechenvorschrift immer und zwingend zu einer Zweierpotenz führt ein mathematischer Beweis für die Collatz-Vermutung?
@berndkru & @hasl3r775 ok, wenn also mathematisch bewiesen werden könnte, dass die Collatz Rechenvorschrift zwangsläufig (früher oder später) zu einer Zweierpotenz führt, wäre auch die Collatz Vermutung bewiesen, richtig? Es geht mir darum zu verstehen welche zumindest theoretischen Beweismöglichkeiten überhaupt bestehen.
Natürlich, denn von einer Zweierpotenz aus wird die Zahl ja nur noch durch zwei geteilt, bis "1" dabei herauskommt. Zwangsläufig, weil bei einer beliebigen Zweierpotenz beim Teilen durch "2" logischerweise IMMER die nächstkleinere Zweierpotenz resultiert. "1" ist dabei 2^0.
Verstehe nicht wirklich, was daran unlogisch sein soll. Man kann nur dadurch auf 1 fallen, indem man eine Zahl 2 hoch x als Basis hat. Also 2, 4, 8, 16 usw. Im Prinzip funktioniert das wie eine Art Binärcode. Man muss auf eine Zahl 1 0 (2) oder 1 0 0 (4) usw. kommen, um von dort aus immer eine 0 zu streichen, bis man auf 1 fällt. Bedeutet auch: 3n+1 ist entsprechend der Code, um von irgendeiner beliebigen Zahl 1 x... 1 über Zwischenschritte und ein try and error auf ein 1 0 0 0... 0 zu kommen. Da ich die Unendlichkeit aller Zahlen dafür als Topf habe, ist irgendwie auch logisch, dass es irgendwann eine Lösung gibt. Das leuchtet auch ein. Wenn n keine durch zwei teilbare Zahl ist, dann brauche ich folgende Operatoren dafür: eine ungerade Zahl als Multiplikator (denn sonst führt die Bedingung n:2 immer auf den Ausgangswert zurück). Und dann eine Addition um eine ungerade Zahl kleiner als der Multiplikator (bei 3n+3 lande ich ja bei 4n und damit wieder auf dem Ausgangswert), um eine gerade Zahl zu erreichen, die aber eben größer als 2n ist. Neue Chance, neues Glück sozusagen, aber mit einer Zahl, die nur geringfügig höher ist als die vorherige. Teile ich dann nämlich durch 2, erhalte ich eine neue Ausgangszahl und das Spiel beginnt solange von vorne, bis ich endlich einen Treffer auf eine 2er-Potenz gelandet habe. 3n+1 ist dabei, wenn ich nur Natürliche Zahlen betrachte, der einfachste Code. Würde mich mal interessieren, ob das theoretisch auch mit 5n+3 funktioniert.
"Da ich die Unendlichkeit aller Zahlen dafür als Topf habe, ist irgendwie auch logisch, dass es irgendwann eine Lösung gibt." Dieser Schluss ist nicht richtig. Wenn ich z.B. durch einen Prozess immer unterschiedliche natürliche Zahlen erzeuge, bedeutet dies nicht, dass auch alle natürlichen Zahlen irgendwann einmal erreicht werden.
@@berndkru Ich muss aber gar nicht alle Zahlen erreichen. Ich muss nur eine erreichen, für die gilt: 3n+1 = 2 hoch x. Und hier kommt dann die wahre Beweispflicht, zu zeigen, dass es dafür immer eine Lösung gibt, unter den genannten Bedingungen.
@@sealka1109 Ja klar, weil ich nicht alle Zahlen erreichen kann, kann ich auch nicht schließen, dass ich eine bestimmte Zahl erreiche. Du sagtest aber, dass es logisch sei, dass durch die Unendlichkeit der Zahlen gewährleistet sei, dass es immer eine Lösung gäbe - jedenfalls habe ich das so verstanden. Und das ist eben nicht der Fall. Ein Prozess kann beliebig viele unendliche Zahlen erzeugen und trotzdem wird eine bestimmte Zahl niemals erreicht. Die Collatz Vermutung sagt aber, dass bei den Collatz-Operationen immer die 1 erreicht wird. Wenn man nachweisen könnte, dass irgendwann eine Zweierpotenz erreicht wird, wäre man auch fertig - aber dieser Nachweis dürfte genauso schwierig sein.
@@berndkru Ja gut, ich sprach von "irgendwie logisch", nicht von "mathematisch eindeutig bewiesen", sorry für die Social-Media-Sprache. Aber klar ist das schwierig.
