ITA 2020 questão 45 (Questão do Dia) - 18/6/2021 ( 

Ainda não terminei de ver o vídeo, mas por raciocínio lógico parece bem mais fácil de resolver... Se no primeiro aniversário sobram 11 velas e é possível deduzir que nos seguintes vai sobrar cada vez menos (1 a menos por ano), então em algum momento serão utilizadas as 12 velas compradas naquele ano (ou seja, com 12 anos) e a partir daí será necessário começar a utilizar as sobras do anos anteriores. Com 13 anos, será necessário 1 vela a mais (a que sobrou do aniversário de 11 anos). Com 14 anos, serão necessárias 2 velas a mais (as que sobraram do aniversário de 10 anos). Então, a pergunta a ser feita é: quando serão necessárias as 11 velas que sobraram do primeiro aniversário? Se todo ano são compradas 12 velas, logo serão 12 (compradas naquele ano) + 11 (número máximo que sobrou, pois as demais já foram utilizadas no anos anteriores) = 23 anos. Portanto, aos 23 anos terão sido utilizadas todas as velas compradas e todas as velas que tinham sobrado até então. E, a partir do próximo aniversário, 12 velas não serão suficientes e também não haverá mais estoque. Resposta: 24 anos.

Não é por acaso a resposta ser 24, o dobro de 12. A cada ano até os 12, o número de velas compradas "ganha" em cima das gastas, mas ganha cada vez menos, por 1. 12-1, depois 12-2, etc. Aos 12, o número de velas acumuladas chega a seu auge na comparação. Daí para diante as velas gastas ganham 1 por ano sobre as compradas: 13-12, 14-12, 15-12... Quando chega em 24, fica elas por elas. Não sei se expliquei bem, mas a conta é essa.

Não precisa calcular a inequação de 2⁰ grau. Basta dividir a expressão por n em ambos os lados, aí sobra (1+n)/2 > 12. Isso dá 1+n>24. Isso leva a n > 23, que é, logicamente, n >= 24. A partir do aniversário 24, as velas serão insuficientes.

Solução fantástica!

uma questão muito fácil, obrigado pela resolução, professor!!!

Essa foi no braço, mas deu certo 😍 Eu não acredito que estou gostando de matemática. E às 21 h de um domingo minha empolgação é ver essa obra prima. Obrigado professor, não tenho palavras pra agradecer.

Muito show!

Utilisei a ai ( Gemini) para resolver essa questão de math e deu ruim, por isso eu aprecio muito a math, muito obrigado

Obrigado, cara

Na resolução de um problema de Matemática é possível explorar, por meio da linha de raciocínio, vários temas. Neste vídeo vimos progressão aritmética e inequação. Mas a linha de raciocínio é, invariavelmete, o desafio maior. Por isso nas aulas dos anos curriculares do ensino médio e fundamental, os problemas de Matemática deveriam ser discutidos com os alunos. Isso provoca uma geração de ideias, entre erros e acertos. E, creio firmemente, que se aprende melhor. Caracteristicamente, um problema de Matemática exige uma linha de raciocínio e a seguir qual ferramenta a ser usada. Saber fórmulas, "macetes" (como querem alguns professores, e por outro lado a idolatria dos alunos) não garantem a aprendizagem. Quanto a a sua vídeoaula, é redudância reverenciar a qualidade didática e intelectual apresentadas. É a marca da qualidade do seu trabalho. Peço desculpas se me excedo em comentar tantos aspectos.

Excelente explicação. Gosto muito dos seus vídeos React. Principalmente aquele sobre tabuada onde você comenta "10 seg de intensa atividade cerebral". Eu ri muito. Bom, como a questão é do ITA, eu sempre vou com "pé atrás", pois questões do ITA nunca são fáceis. No início eu apanhei, pois tentei montar a tabela exatamente conforme você explicou, mas percebi que ia demorar um pouco e com grande chances de errar nas fórmulas e contas. Depois eu coloquei a cabeça para pensar e raciocinei na forma de uma PA. Ao final eu igualei soma da PA com o total de velas compradas. Não fiz a inequação. Com isso, encontrei o valor de 23. Mas o problema pedia o ano que o total de velas seria insuficiente. Como estamos falando de números inteiros positivos, então cheguei na resposta de 24. Perdi muito tempo nessa questão, talvez uns 10-15 min para resolver. E acredito que seja muito tempo perdido em um questão para uma prova do ITA. Certamente as outras poderiam ser muito mais difíceis e perderia mais tempo ainda.

De fato uma questão bem fácil e com raciocínio lógico a resolução é bem mais rápida.

A inequação dava pra ser resolvida de uma forma alternativa: n(n+1)>24n, como n é inteiro e n>0 (pois n é maior ou igual a 1), dividimos ambos os membros por n: n+1>24 => n>24-1 => n>23 => n=24

Da pra fazer por lógica bem rapido: 1 ano 12velas (sobram 11) 2 ano 12+11= 23 velas (sobram 21) 3 ano 12+21= 33 velas (sobram 30) Daí vc percebe que a cada ano sobra uma vela a menos, ou seja, como começa com 12, até os 12 anos vai aumentando porém com uma vela a menos, quando passar do 12 vai começar a diminuir uma vela, depois de mais 12 anos não sobrará mais vela nenhuma.

Legal a resolução. Obrigado pela resposta.

Imaginei que as velas dos anos anteriores seriam reutilizadas

Inicialmente, confesso que achei que seria bem mais difícil. Essa questão não é difícil, ela só é "complicada"; o fato dela ser do ITA faz a gente sempre entrar no vídeo com um cuidado adicional. Mas foi relativamente simples, acho resolvi nuns 2 ou 3 minutos. Não cheguei nessa linha de raciocínio da equação do vídeo, confesso que foi uma forma bem mais elegante de se resolver, mas minha lógica foi a seguinte: Se a quantidade de velas compradas é 12 por ano, e o garoto utiliza uma quantidade de velas iguais a sua idade, a partir de 1 ano, em seu bolo de aniversário anual, é possível concluir que podemos escrever quantas velas sobram, em relação a quantas ele compra e usa por ano, da seguinte forma, ó: 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Logicamente, ele usa 1 a mais a cada ano. Nisso, eu conclui que, no 12° aniversário, ele usaria todas as velas que comprou. Sendo assim, daqui em diante, ele compraria velas novamente, usaria todas as que comprou e ainda seria insuficiente. Ou seja, agora ele precisaria usar velas da quantidade guardada... mas aí, repara que a cada ano daqui em diante, ele sempre começa a usar 1 vela a mais em comparação ao ano anterior, já que ele se torna 1 ano mais velho. A beleza se encontra expressando isso, ó! 11 + 10 + 9 + 8 + ... + 1 + 0 Agora, começa a subtrair: - 1 - 2 - 3 - 4 - ... - 10 - 11, e quando chega no 11, observe que a gente zera tudo o que se somou! Após 11 anos, depois que ele completou 12 anos, você zera a quantidade de velas que restava! É muito belo quando você nota que você cai numa contagem regressiva e, uma vez que zeraram as velas reservas, não foi nem necessário somar todos aqueles números ou complicar a conta, eles se cancelam com clareza em ordem. Assim, é fácil concluir que a primeira vez em que ele precisa fazer uma compra dupla é 24 anos após seu nascimento, rs. Simplesmente muito belo. Fica aí a expressão completa: 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 = 0.

Se no estoque o maior número que ficou reservado foi 11 e o pacote tem 12, no aniversário do 23º ano ele será zerado. Assim, no 24º ano haverá insuficiência de velas.

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testando as alternativas sai em dois minutos

"Deixamos a cargo do leitor"

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Vi hoje essa questão e encontrei o resultado da seguinte forma: n12=n(1+n)n÷2

totamente contra minha intuição... imaginei um número a partir dos 40 anos, visto q continuo comprando sempre as 12 velas

Boa noite tudo bem? Eu gosto muito dos seus vídeos, mas, peço para ser um pouco rápido. Porque aqui em Moçambique internet está muito cara.

Por que compraria um pacote sendo que ainda tem vela do ano anterior.

N entendi, se as velas remanescentes são guardadas a cada ano desde o primeiro aniversário. Então vão ser guardadas 11+10+9+8+7... só aí já dá mais velas do que o suficiente para quando fizer 24 anos.

Errata: 12n=(1+n)n÷2

N é difícil, mas da uma preguiça

Complicou a resposta.....12n=n(1+an)/2==> 12= (1+an)/2. ==> 24= 1 +an ==> an = 23