Kannst du die rote Fläche berechnen? - Mathe Rätsel Geometrie 

Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei. ➤ www.mathematrick.de/shop _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel

Hallo, es geht auch ohne Sinus. Wenn man das rechtwinklige Dreieck (bei ca. 4 Minuten) an r spiegelt, erhält man ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 3m. Damit ist die zweite Kathete im rechtwinkligen Dreieck 1,5m lang. Mit Pythagoras bekommt man r²+1,5²=3², also r²=3²-1,5²=6,75. A=½πr²=½π•6,75=3,375π≈10,6. 🤓

Klarer Lösungsweg, jedes Detail genau erklärt -und dazu das Lächeln. Da werden sogar manche Mathe-Blockaden weich. Danke!

Hallo Susanne Meine Lösung ohne Trigo: das kleine Dreieck (r, 3, 60°) ist ein halbes gleichseitiges Dreieck, damit ist die kleine Kathete 6/2 = 3 r^2 = 3^2 - 1.5^2 =6.75 F = 6.75 * pi / 2 ≅ 10.6028...

Finde das Dreieck, wie so oft... Schöne Übung für zwischendurch im Büro, Danke dafür und die gute Laune!

Keine Chance da nie gelernt, doch es war toll Dir beim Lösungsweg über die Schulter schauen zu können 😃❤

Herzlichen Dank für diese Frage liebe Susanne 🙏 Meine Antwort ist: Wenn man vom Zentrum des Kreises den Radius an die rechte (oder linke) Seite zeichnet (wo der Kreisbogen die beiden Seiten berührt), hat man einen Dreieck: Die Basis wäre 3 m, die hälfte von 6 m, und gleich der Hypotenuse, somit einen 30°-60°-90° Dreieck, demnach: sin(60)= √3/2 = (R/3) (oder cos(30°)) R = 3(√3/2) m die rote Fläche, Arot Arot= π*R²/2 = π*[3(√3/2)]²/2 = (27/8) π Arot ≅ 10,60 m²

Sehr gute Auflösung und Erklärungen und wie immer mit dem schönen Lächeln weiter so 👍

So geht's natürlich auch. Bin mit Phytagoras über die Höhe des gleichseitigen Dreiecks gegangen. Doch schön nach 23 Jahren mit erfolgreichem Ostabi noch in der Lage zu sein solche Aufgaben zu lösen:)

Interessante geometrische Aufgabe sehr schön erklärt! Auch einige alternative Lösungen in den Kommentaren - super 😊! Mir gefällt als Ergebnis die genaue Lösung Pi*27/8 oder 3.375 Pi besser als das gerundete, nur ungefähre Taschenrechner Ergebnis von ca. 10.6 - aber das ist Geschmackssache 👻

Top erklärt, wie immer 👍

Vielen Dank. Wie immer super erklärt 👍

Ich mag solche Aufgaben . Ich habe den gleichen Lösungsweg gewählt . Man könnte statt sin ( 60° ) = r / 3 auch den cos (30°) = r /3 berechnen , was aber keine neue tiefgreifende Erkenntnis ist . Wie gesagt hat Spass gemacht .

Eine tolle Aufgabe 👍✨️

Wieder super (bes. "Sin-Ausdruck stehen lassen und quadrieren"). "m" hättest Du in der letzten Gleichung ruhig erwähnen dürfen, dann muss man sich nicht fragen, wo plötzlich das "m²" herkommt.

Super erklärt.

Danke für diese schicke Aufgabe!

Ich hoffe mal du lehrst - oder hast beruflich gelehrt. Es braucht fähige Lehrer wie dich.

Ich habe im Kopf „gesehen“, dass der Durchmesser des Innenhalbkreises gleich der Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist, damit den Pythagoras zu 6^2-3^2=27 und den Durchmesser des Halbkreises zu Wurzel aus 27 berechnet und den Radius zu dessen Hälfte. Nun hinein in die Flächenformel des Halbkreises, ((sqrt 27/2)^2/2) * pi = (27/8) * pi. Eigentlich fertig in ca. dreißig Sekunden, Taschenrechner sagt 10,6028752. - Der eigentliche Clou dafür wäre, zu beweisen, dass der Durchmesser des einbeschriebenen Halbkreises gleich der Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist. Und damit quäle ich mich morgen. Früher habe ich auch nix bewiesen bekommen… Danke für das tolle Video!

Ich liebe diese Videos :D

Ein gutes Video mach weiter so 👍

Ein Genuss!

Ich liebe deine Videos 😊

Hallo! Eine schöne Aufgabe. Das "Dreieckchen" ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 3. r ist dessen Höhe. Also r=3•sqr (3)/2.

Es geht auch ohne Trigonometrie.Wir können die "Höhe" des Dreiecks berechnen, welche sqrt(27) ist ( einfach sqrt(6²-3²)). Wir können die rechte Seite am Berührpunkt in die Länge "a" und "b" unterteilen, a+b = 6 "a" ist dabei das kleinere Stück, also vom Berührpunkt zur oberen rechten Ecke und "b" das längere Stück zum unteren Punkt. Jetzt haben wir 2 rechtwinklige Dreiecke und bekommen diese 2 Formeln dank der Höhe: 27 = b² + r² 9 = a² + r² Wir ziehen die zweite von der ersten ab und bekommen 27-9 = b² - a² oder 18 = b²-a² Wir können a durch "6-b" ersetzen und erhalten 18 = b² - (6-b)² ==> 18 = -36 +12b ==> 54 = 12b ==> b = 4.5 Dadurch haben wir auch a = 1.5 denn a+b=6 Jetzt einfach nochmal pythagoras 9 = 1.5² + r² ==> r² = 6.75 Die gesuchte Fläche war ja A = 0.5 * r² * PI ==> 3.375*PI ==> ~10.6 Also kann man alles im Kopf rechnen, selbst die Annäherung am Ende, wobei 3.375 * 3.14159 schon eine nervige Rechnung ist, aber machbar 3*PI = ~9.42477 0.3*PI = ~0.942477 0.07*PI = ~0.2199113 0.005*PI = ~0.01570795 9.42477 +0.942477 +0.2199113 +0.01570795 ------------------- 10.60186625

Using Cos 30 as half Sq.rt of 3, it resolves to Pi * 27/8.

Ich hatte das Dreieck in 2 gleichschenklige Dreiecke geteilt, weil danach a² + b² = c²; da a² = 9 und c² = 36 m² -> b² = 25; b = 5m; hatte damit zumindes alle Seiten und Winkel (90°+ 60°+ 30°=180°) der beiden rechtschenkligen Dreiecke. Wobei mir danach zwar sin, cos & tang einfiel, aber nicht mehr die weitere Regel im Detail mit Kathete, Gegenkathete; was wie anzuwenden war. Am Ende blieb mir nur die Halbkreisfläche auf ca. 10 m² zu schätzen. - Aber vielen Dank für den Unterricht

Schönes Rätsel 😊

Nice! cos⁡(φ) = √3/2 = r/3 → red area = 27π/8

Ich habe die Inkreisformel der Raute benutzt, die sich ergibt, wenn wir die am Durchmesser gespiegelte Figur ergänzen. Ergibt den Radius und damit die Fläche des Ganzkreises, muss man nur noch halbieren.

Sehr schön! Süß - sogar! Danke!

Sehr nett!

Yay, hatte es richtig. Bin aber umständlicher vorgegangen. Hab erst mit dem Sinussatz die Außenseite des Dreiecks bestimmt a=sin 30 * 3/ sin 90 =1,5 und dann über den Satz des Pythagoras r berechnet.

Danke für das coole Video! Ich hab mir das Dreieck inkl. Halbkreis aufgezeichnet und den Radius durch die Zirkelprobe (Zeichnung gemacht). A=π*r^2/2=10,6185m2😊

Lösung: Das Dreieck ist gleichseitig und in jeder Ecke sind 60°. Vom Mittelpunkt des Halbkreisbogens zum Berührpunkt ist der Radius des Halbkreises, der ein rechtwinkliges Dreieck bildet mit den Winkeln 90°, 60° und dann bleibt noch übrig 30°. Das ist das berühmte rechtwinklige Dreieck, dessen kurze Kathete halb so lang ist wie die Hypotenuse, die in diesem Fall die halbe Dreieckseite ist. Somit kann ich mit dem Pythagoras den Radius r des Halbkreises berechnen: r²+(6/4)² = (6/2)² ⟹ r²+(3/2)² = 3² |-(3/2)² ⟹ r² = 9-9/4 = 27/4 ⟹ Fläche des roten Halbkreises = π*r²/2 = π*27/8 ≈ 10,6029

Die Höhe des Dreiecks ist h = sqrt(27). Der kleine Dreieck (mit r) ist ähnlich der Hälfte des großen. Also r/h = 3/6. Darüber hinaus r = sqrt(27)/2. Die Fläche dann 0,5 pi*r^2

r^2 = 3^2-(3/2)^2 = 27/4, S = π/2 x r^2 = π/2 x 27/4 = 27π/8 oder (3/2)^3 x π oder ca. 10,6 ohne cosinus...

Pythagoras: r^2 + 1,5^2 = 3^2 r^2 = 6,75 0,5*pi*r^2 = 10,6

Ich habe mir das Dreieck in 4 kleinere mit den Seitenlängen 3 zerlegt. Der Radius ist dann die Höhe eines der Dreiecke. Und da landet man viel verdaulicher beim Pythagoras. 3^2 = r^2 + 1,5^2 :)

geo- und trigonomische Aufgaben finde ich am Interessantesten! 👍

Immer wieder cool, wenn man sich die Aufgabenstellung anschaut, eine Lösung errechnet und dann zum Ende des Videos scrollt, um zu sehen, ob man das korrekte Ergebnis hat, nur um dann festzustellen: 10,6 stimmt, aber warum steht da sin60°? 😂 Einfach toll, dass man sowas auf x verschiedene Arten lösen kann. Ich hab einfach zwei mal den Pythagoras bemüht, um auf den Radius zu kommen. ✌️ Mehr Geometrie-Zeugs, bitte, Susanne! Die „Vereinfache diese Potenzrechnung soweit wie möglich“, oder alles, wo „Logarithmus“ dran steht, macht deutlich weniger Spaß. 😁

Der Durchmesser des roten Halbkreises entspricht der Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Durch die Konstruktion mit den angegebenen Maßen und Einsatz der Flächenformel bestätigt sich das Ergebnis von 6,56φ FE, oder 10,618 FE

Geht auch mit kongruenten Dreiecken. Halbiere das große dreieck in ein rechtwinkliges und ermittle die Kathete (sqrt27). Daraufhin ein kleines Dreieck konstruieren, welches eine Kathete mit der Länge des Halbkreisradius besitzt und mit Hypotenuse gleich 3 zeigt, dass das Seitenverhältnis zwischen dem großen und kleinen gleich 1/2 ist. Daraus folgt dass der Radius gleich (sqrt27)/2 ist und daraus folgt dass die Fläche gleich 27*pi/8 = 10.6.

1 Punkt Abzug, der Radius ist gleich r=3m*sin60°. Wenn man mit dimensionsbehafteten Zahlen rechnet, sollte man die Dimensionen auch immer mit in die Gleichung übernehmen, da man so schnell Fehler erkennt.

Noch etwas einfacher geht es, wenn man nicht mit dem 60-Grad-Winkel, sondern mit dem 30-Grad-Winkel rechnet, da der Sinus dann 0.5 ist. Die kurze Seite ist dann 0.5 lang . Also ist nach Pythagoras 3² = (1,5)² + r². Nach r aufgelöst: r = Wurzel aus (9 -2,25) = ( Wurzel aus 6,75) Der Halbkreis ist somit ( Wurzel aus 6,75) * ( Wurzel aus 6,75) * PI / 2 = 6,75 * PI / 2 = 10,60

Ich habs mit Pythagoras gelöst. Hypotenuse ist 3, die kürzere Kathete halb so lang wegen 30/60/90 Dreieck und der Radius die längere Kathete, also quadriert 6.75. 6.75 * pi durch 2 ergibt 10.6.

I solved it completely different x=distance between the angle on the right and the point where the radius and the tangent has an angle of 90° H=height of the triangle r=radius 3²+H²=6² --> H²=6²-3² --> H²=27=3*sqrt(3) Draw a line from the circle's centre to the lowest point of the triangle The right part of the triangle is divided by the radius Use the Pythagorean theorem for the upper part, also for the other part x²+r²=3² --> r²=9-x² (6-x)²+r²=3*sqrt(3) --> 36-12x+x²+r²=3*sqrt(3) --> r²=27-36+12x-x² --> r²=12x-x²-9 r²=9-x² and r²=12x-x²-9 --> 9-x²=12x-x²-9 --> x=18/12=3/2 x²+r²=3² --> r²=9-x² --> r²=27/4 area of the semi-circle=pi*r²/2=pi*27/8=10.60

man kann auch ohne Winkelfunktionen rechnen, zumindest bei einen gleichschenkligen Dreieck (soweit ich weiß). Zuerst mache ich mir ein rechtwinkliges Dreieck, in dem ich es halbiere (einen Schnitt oben durch die Mitte runter). Nun habe ich die Seite a = 3m und die Seite mit 6m wird zur Hypotenuse c (c=6m) Nun errechne ich die neue Seite (die gleichzeitig auch die Höhe des ursprünglichen Dreiecks ist) b² = 6² * 3² = 27. Die Einheit lasse ich erst einmal weg, würde sie Normal immer mit schreiben. Nun wie im Video erwähnt lassen wir es so stehen und stellen die Formel für A auf : A= ((die Wurzel aus 27) : 2)² * π : 2 = 10,6028 - -> 10,6 Die Doppelklammer habe ich gesetzt, damit man nicht die Wurzel aus 27 : 2 im Taschenrechner stehen hat) . Nun kann man das auch mit der Einheit berechnen und kommt wieder auf m², somit ist die Lösung 10,6m². Testet es mal aus

Es ist zum verzweifeln ! Zum Glück aber gibt es Susanne.

5:00 Man kann das Ergebnis auch schöner, ohne Winkelfunktionen und Wurzeln, darstellen, da sin(60°) = sqrt(3)/2 ist, und damit r = 3 * sqrt(3)/2 und A = 1/2 * pi * r^2 = 1/2 * pi * 9 * 3/4 = 27/8 * pi = 10,6 (gerundet).

Super Video. Danke dir vielmals. Ich hatte immer eine Eselsbrücke: sin cos tan cot G A G A H H A G Die GAGA Hummel-Hummel-AG

👍

Erst Mall hä und dann oh irgendwann mal im Mathe Unterricht gehabt Cool

Du bist nicht nur klug, sondern auch noch hübsch! Habe mir schon viele Aufgaben angesehen und gerechnet! Sehr schön deine Vorgehensweise!👍Liebe Grüße Wolfgang

Spontane Antwort: die Fläche ist kleiner als 4,5 mal Pi .... aber so ungenau wollen wir nichts sein.... sehr gute Aufgabe und sehr gut erklärt

Toll erklärt, an sich ist diese so schwierig aussehende Aufgabe ganz leicht

Danke. Ja, als ich rechtwinkliges Dreieck gesehen habe ich gewusst: Jetzt kommt Tan, Sin oder Cos zum Rechnen. 🤔 Uff, ein wenig kenn ich mich schon aus, habe ich gemerkt. 😂 Die GaGa HühnerHaus AG habe ich vermisst. 🙂

Ja, es gibt tatsächlich noch einen anderen Weg. Die trigonometrischen Funktionen kann man wieder rausschmeißen. Das Dreieck hat eine Länge der langen Seite c (wird Hypotenuse genannt) von 3m. Die zweite Seite hat die Länge r, und die dritte können wir mit a bezeichnen. c = 3m Und die Winkel? Nicht nur 60 Grad, sondern auch 30 Grad. Und da ist der Sinus bekannt. sin 30 Grad = 1/2 Eingesetzt: a = sin 30 * c = 1/2 c Nun erst mal etwas anderes: Die gesuchte Fläche A ist A = Pi * r^2 / 2 Nach Satz des Pythagoras gilt (c war die Hypotenuse, a und r die Katheten, also die kurzen Seiten des rechtwinkligen Dreiecks) c^2 = r^2 + a^2 r^2 = c^2 - a^2 = c^2 - 1/4 c^2 = 3/4 c^2 A = Pi * 3/8 * c^2 A = 10,6028752059 m^2 (und glücklicherweise habe ich das selbe Ergebnis, was die Wahrscheinlichkeit stark reduziert, dass ich Blödsinn erzählt habe 🙂)

Schönes Video. Allerdings eine Anmerkung: Bitte auch bei den einzelnen Rechenschritten immer die Einheiten mitnehmen, nicht erst am Ende wieder die Einheit dazu schreiben. Jeder kann sich mal vertun - und der Einheitencheck ist eine wichtige Probe, bei der ein Teil möglicher Fehler zu Tage tritt. Ich hatte es tatsächlich mehrfach, dass Studenten in einer Klausur die Einheiten während der Berechnungen weggelassen hatten und dadurch einen wesentlichen Fehler übersahen - mit den Einheiten wäre ihnen aufgefallen, dass ein Ergebnis in €² nicht wirklich sinnvoll sein kann...

Braucht man den Taschenrechner? Mit sin60° = 0,5*sqrt(3) kommt man doch sogar zu einem exakten Wert.

Ich haette sin(60°) noch mit sqrt(3)/2 ersetzt (kann man wahlweise irgendwo nachschlagen oder anhand eines gleichseitigen Dreiecks mit eingezeichneter Hoehe schnell berechnen mittels Pythagoras) Damit erhaelt an das Ergebnis moeglicherweise noch etwas genauer ... A=1/2*pi*(3*sqrt(3)/2)^2=27/8*pi, obwohl bis zur ersten Dezimalstelle gibt es noch keinen Unterschied. Nimmt man pi auf 11 Nachkkomastellen genau, erhaelt man fuer die Flaeche den Wert: a=27/8*3.14159265354=10.6028752056975. Dieser Wert enthaelt *keinen* Rundungsfehler fuer den sin (den wir bei Berechnung mit dem Taschenrechner mit hineinbekommen haetten), der einzige Rundungsfehler liegt bei dem Ergebnis in dem gerundeten Wert von pi und ist daher kleiner als 1.6875*10^ -11 (da ich fuer pi einen auf 11 Stellen genauen Wert verwendet habe, liegt der Fehler beim Wert von pi kleiner alls 1/2*10^-11, der Gesamtfehler liegt also kleiner als 27/16*10^-11). Ich haette allerdings dazu geneigt, den Ausdruck (27/8)*pi stehhen zu lassen statt ihn auszurechnen.

Hallo Susanne, guten Abend, hier meine Lösung: M sei der Mittelpunkt des Kreises. Da alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind, sind alle Winkel im Dreieck gleich groß, deshalb zwingend auch die Basiswinkel der Seite, auf der M liegt. M ist deshalb nicht nur Mittelpunkt des Kreises, sondern er halbiert auch die Basis-Seite. Der Eckpunkt gegenüber der Basis-Seite sei C A sei ein bliebiger weiterer Eckpunkt des Dreiecks. T sei der Berührpunkt des Kreises mit der Dreieckseite AC r sei der Radius des Kreises = Strecke MT Strecke AT sei x Strecke CT ist 6-x h sei die Höhe des Dreiecks auf der Basis-Seite = Strecke MC Unter diesen Rahmenbedingungen ist MAT ein rechtwinkliges Dreick mit dem rechten Winkel bei T. Strecke MA = 6/2 = 3 ist die Hypotenuse, MT = r und AT = x sind die Katheten. Somit gilt lt. Pythagoras 3^2 - r^2 = x^2 | 1) 9 - r^2 = x^2 |+r^2, -x^2 1.1) 9 - x^2 = r^2 Das Dreieck MTC ist ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Rechten Winkel bei T. Strecke MC = h ist Hypotenuse, MT = r und TC = 6-x sind die Katheten. Somit gilt lt. Pythagoras r^2 + (6-x)^2 = h^2 | 2) r^2 + 36 - 12x + x^2 = h^2 Das Dreieck MAC ist ebenfalls rechtwinklig, mit dem rechten Winkel bei M Strecke AC = 6 ist Hypotenuse, MA = 6/2 = 3 und MC = h sind die katheten Somit gilt lt. Pythagoras 6^2 - 3^2 = h^2 | 3) 36 - 9 = h^2 = 27 3) in 2) 3.1) r^2 + 36 - 12x +x^2 = 27 1.1) in 3.1) 3.2) 9 - x^2 + 36 -12x + x^2 = 27 |-27 3.3) 18 - 12x = 0 |:6 3.4) 3 - 2x = 0 |+2x 3.5) 3 = 2x |:2 und Seiten tauschen 3.6) x = 3/2 = 1,5 3.6) in 1.1) 3.7) 9 - (3/2)^2 = r^2 | 3.8) 9 - 9/4 = r^2 | 3.9) 36/4 - 9/4 = r^2 |Seiten tauschen und zusammenfassen. 3.10) r^2 =27/4 gesucht ist die Fläche des roten Halbkreises, also pi/2 * r^2 = pi * 27/4 * 1/2 = 27/8 * pi Hoffentlich habe ich mich jetzt nicht verrechnet. Dir, Thomas und allen anderen hier ein schönes Wochenende. LG auch an Thomas, Sabine und Roger aus dem Schwabenland.

Hallo, es wäre mal gut wenn jemand Erklären würde, wann mann tan, sin oder cos benutzt. Wir kommen da immer durchernander. Danke

Hey Susanne, kennst du eigentlich die Ente GAGA, die zur Hamburg AG watschelt? sin - cos - tan - cot G - A - G - A H - H - A - G sin (x) = G(egenkathete)/ H(ypothenuse) tan (x) = G(egenkathete)/ A(nkathete) ... usw. Diese Eselsbrücke war bei mir oft am Rand wiederzufinden. Grüße! p.s. Eine spannende Variation der Aufgabe wäre das Errechnen der grauen Fläche gewesen. Kannst ja die Aufgabe in 2 Monaten noch mal rauskramen und nach den grauen Flächen fragen. ;o)

Hey, eine Geometrieaufgabe. Supi. Lösung: A=27*π/8 FE Es liegt ein gleichseitiges Dreieck vor, also alle Winkel 60 Grad. Nach einzeichnen der Radien erhält man ein halbes gleichseitiges Dreieck. Hypotenuse = 3 und die kurze Kathete = 1,5 Radius r kann ich mir mit dem Pythagoras ausrechnen. r²=3²-1,5² r²=9-2,25 r²=6,75 Jetzt der Halbkreis A=r²*π/2 A=6,75*π/2 /erweitern mit 2 A=13,5*π/4 /erweitern mit 2 A=27*π/8 (diese Darstellung gefällt mir) A=10,6028752...FE (wer es genau wissen möchte) LG Gerald

Imponieren tust du mich 😂😊

Ich fand die Aufgabe ziemlich einfach und habe pi*27/8 m²≈10,6 m² rausbekommen. Trigonometrie habe ich nicht angewendet, sondern mit Pythagoras gerechnet (man kann ja das 90°-Dreieck zu einem gleichseitigen Dreieck spiegeln), aber das ist ja egal.

Wenn man das gleichseitige Dreieck horizontal spiegelt entsteht eine Raute und man sieht, dass der Durchmesser die Höhe der Raute und des Dreiecks ist. . . . 6² - 3² = 27 die Wurzel ziehen = 5,196² x 3,14 : 4 = 21,2 : 2 (Halbkreis) = 10,6

Die guten alten Formelbücher der 70er Halbkreis im gleichseitigen Dreieck. Zum Radius = (1/4)*✓3 * Seite a 0,25*✓3 * 6 = gerundet 2,6 Jetzt noch Kreisfläche berechnen halbieren. Erledigt. Nix gewusst, aber gelöst. Ergebis 10,61 m2 Die alten Griechen. 😅😅😅😅😅 Liebe Grüße. Formelbücher.

Hallo! Keine Winkelfunktionen braucht man zur Lösung dieser Aufgabe. Ich nenne die Seiten des Dreiecks mal "a" nenne, und zeichne die Höhe "h" von oben nach unten ein, die das Dreieck in zwei gespiegelte rechtwinklige Dreiecke teilt. "h" errechnet sich leicht aus "a" und "a/2" mit dem Satz des Pythagoras. Um die Fläche des Halbkreises zu bestimmen brauche ich den Radius "r". Der Radius "r" ist auch die Höhe der erhaltenen rechtwinkligen Dreiecke auf deren Hypothenuse (die die Länge "a" hat) als Basis. Weshalb ist "r" die Höhe? Weil diese schrägen Seiten mit der Länge "a" ja die Tangenten des Halbkreises sind. Mit ein bisschen geometrischer Algebra (Dreiecksfläche = Dreiecksfläche, und nach "r" umgestellt) ergibt sich: r = h/2 Die Fläche des Halbkreises ist: F = r² * Pi / 2 Mit h ... F = h² * Pi / 8 h² errechnet sich durch Pythagoras: h² = a² - (a/2)² = 3/4 * a² Also ist... F = 3/4 * a² * Pi/8 F = 3/32 * Pi *a² Eingesetzt a = 6 ergibt sich... F = 10,608 als Fläche des Halbkreises. ⚠️PS: Aber @hanspeterfaessli2776 hat das hier auch ohne Winkelfunktionen in einer *genial einfachen* 1-Schritt-Lösung geschafft. 😀

🙏👍

da sin(60°)=(√3)/2 ist, hätte man das Ergebnis noch bis auf (27/8)π vereinfachen und dann erst nach ~10,6 ausrechnen können

Erster Gedanke Dreieck halbieren und mit Pythagoras die dritte Seite finden, wie es dann weitergeht ist mir aber unklar weil der Radius des Kreises schlecht die Hälfte sein kann 1:53, Aha Winkelfunktion 5:58

Da es ein gleich Schenkliges Dreieck ist, geht es auch so r=(wurzel(6^2-3^3))/2 Trotzdem sehr gut erklärt top

Hallo @MathemaTrick, ist es möglich herauszufinden wie die Lönge und wie die Breite ist, wenn eine Diagonale bei einem Rechteck 49“ beträgt und die Länge in einem Verhältnis zur Höhe 32/9 beträgt?

Eine Frage: Wenn in der Prüfung gefragt wird "Kannst du die rote Fläche berechnen" und man als Antwort gibt "Nein" und man es wirklich nicht kann, hat man dann technisch gesehen die richtige Antwort gegeben und bekommt volle Punktzahl?

Puh, was ich nicht alles vergessen habe. Nicht zu fassen... 🤔🙄🥴

Der Ursprung des Koordiantensystems sei der Mittelpunkt des Halbkreises und die obere Dreiecksseite liege auf der x-Achse. Kreisgleichung: x² + y² = r² Gerade von der unteren zur rechten Ecke des Dreiecks: y = √3x − 3√3m = √3(x − 3m) Da die Gerade eine Tangente an den Kreis ist, darf das Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung nur eine Lösung für x ergeben: x² + 3(x − 3m)² = r² x² + 3(x² − (6m)x + 9m²) − r² = 0 x² + 3x² − (18m)x + 27m² − r² = 0 4x² − (18m)x + (27m² − r²) = 0 x = [(18m) ± √((18m)² − 4*4(27m² − r²))] / (2*4) Damit es exakt eine Lösung für x gibt, muss die Diskriminante 0 ergeben: (18m)² − 4*4(27m² − r²) = 0 324m² − 16(27m² − r²) = 0 324m² = 16(27m² − r²) (81/4)m² = 27m² − r² r² = (27 − 81/4)m² r² = (108/4 − 81/4)m² r² = (27/4)m² A = πr²/2 = (27π/8)m²

Die Tang-Ente wollte irgendwann nicht mehr immer nur Tang, deshalb versuchte sie auch mal eine Si-Nuß und eine Cosi-Nuß und dachte sich: "Hmmm, auch lecker 😋, zur Abwechslung!"😉😊

Für alle, die sich, so wie ich damals, nicht merken können, wie die Korrelation zw. sin, cos, Ankathete und Gegenkathete aussieht: das "A" von Ankathete kommt in alphabetischer Reihenfolge vor dem "G" von Gegenkathete, ebenso kommt das "c" von cos im Alphabet vor dem "s" von sin vor, also lautet der Zshg: cos=Ak/Hy bzw. sin=Gk/Hy. Und ist der tan=sin/cos oder gilt tan=cos/sin? Nun der "co"t="co"s/sin, also muß der tan=sin/cos richtig sein… So habe ich mir das gemerkt. Muß man selbstmurmelnd nicht machen.

Geht das nicht viel einfacher mit Pythagoras. Radius = wurzel aus (3quadrat-1,5quadrat)

Es ändert zwar nichts am Ergebnis, aber wieso nimmst du für (sin60)² nicht 0,75 und löst es ein wenig mehr auf? Meine Lösung wäre 3,375π, ohne Rundung.

Der Radius entspricht der Höhe des halbierten Dreiecks. die Fläche des großen Dreiecks ins Verhältnis zum halbierten Dreieck ergibt 0,5 * g * h = g * r mit h als Höhe des großen Dreiecks. Umgestellt nach r ergibt das r= 0,5 * h Die Fläche des Halbkreises ist A = r² * π * 0,5 umgestellt auf h ergibt das A = (0,5 * h) ² * π * 0,5 h lässt sich durch Satz des Pythagoras als √ [g² - (0,5*g)²] darstellen das durch einsetzen in die formel ergibt das als Gleichung A = ( 0,5 * √ [g² - (0,5*g)²] )² * π * 0,5 = A = ( 0,5 * √ [6² - (0,5*6)²] )² * π * 0,5 = A = ( 0,5 * √ [36 -9] )² * π * 0,5 = A = ( 0,5 * √27 )² * π * 0,5 = A = ( 0,5 * 5,2 )² * π * 0,5 = A = 6,76 * π * 0,5 = 10,6

Hier gab es eine verpasste Chance: wenn man weiß, dass sin(60°) = sqrt(3)/2 ist, dann vereinfacht sich der Schluss zu A=27/8 * pi, das ist viel schöner als die 10,6 aus dem Taschenrechner.

Vielen Dank für dir Videos. Für mich ist es als Rentnerin Gehirnjogging😅 Sabine

Wieder mal ein sehr gutes Video, aber kann es sein, dass bei der Skizze etwas nicht stimmt? 😉

Ohne das Video gesehen zu haben: Ich mache aus dem gleichseitigem Dreieck mal ein gleichmäßiges Hexagon. Der Außenkreis dieses Hexagons ist somit 6m und der Innenradius (gleich der Durchmesser des Kreises der gesuchten Fläche - ein Umstand, den man sich merken kann) Wurzel(3)*6m/2 also etwa 0,866*6m. Da dieser Wert für die Flächenformel des Kreises zum Quardrat benötigt wird, wird daraus 3*36m²/4=3*9m²=27m². Von dem Kreis braucht man nur die halbe Fläche also folgt die Flächenformel 27m²*PI/(2*4) und das wären in etwa 10,6m². Ich denke, wer das schon mal gesehen hat und somit auf Anhieb weiß, wie groß der Durchmesser des gesuchten Kreises ist, macht es in Zukunft nur noch so. Und jetzt bin ich gespannt, wie Susanne das macht (Okay... Susanne kannte das wohl nicht).

Eigentlich so einfach! 😅

Da fehlt der Beweis, das die Verbindung vom Mittelpunkt des Halbkreises zum Berührpunkt in einem rechten Winkel endet.

Schade, wieso wurde das nicht zu 27/8 * Pi vereinfacht??? Sin(60) ist ein zu wissender Standardwert von 1/2* sqrt(3), was sich beim Quadrieren auch noch völlig in Luft auflöst...

(Das exakte Ergebnis lautet (27/8)*pi 😅

das ist mein lieblingskanal❤️ sag mal, kann man dir auch eine aufgabe schreiben und du machst (wenn es genügend anspruchsvoll ist) ein video? 🙏

Ich mag Mathematik, und erst recht Geometrie, sehr! Aber als ich die Aufgabenstellung sah, fragte ich mich spontan, wozu die Lösung der Aufgabe eigentlich gut sein soll? Ja, es gibt sog. Optimierungsaufgaben (vorwiegend mit Hilfe Diff.- und Integralrechnung), und vielleicht auch Tischler im praktischen Leben, die hier so etwas aussägen müssen. Aber wozu - zum Teufel - soll das hier gut zu gebrauchen sein? Also in der Praxis. Ich kann mir nicht mal NASA-Ingenieure in der Weltraumtechnik vorstellen, die wissen wollen, wie groß dieser Flächeninhalt ist. Es ist also eine Nonsens-Berechnung. Da finde ich ja sogar das Finden der "Einsteinkachel" vor kurzem besser. Das hat 1. die Geometrie (und das Verständnis dafür) ein wenig revolutioniert und 2. kann der Fliesenleger immer sagen, dieses Muster findet ihr bei all den tausenden Fliesen, die ich verlegte, nie wieder ein zweites Mal.

ich hätte noch für sin 60° = (wurzel 3)/2 eingesetzt.

Ich habe es mit GeoGebra gemacht bin auf einen Kreis Radius von 2.6 gekommen. Geht sogar am Handy GeoGebra.

Eleganter wäre gewesen über Pythagoras auf 3,375 pi zu kommen, was ganz gut auch im Kopf zu bewerkstelligen ist. (Die verkorkste Zeichnung ist dabei ganz schön irritierend.)

immer diese Taschenrechner-Abkürzungen am Ende 😞 sin(60°) = ½ · √3, damit ist A = ½ · π · (½ · √3 · 3 )² = ½ · π · ¼ · 3 · 9 = 27/8 · π Und *das* wäre zu meiner Schulzeit die einzig korrekte Angabe gewesen, da *nicht* "ungefähr" oder "gerundet" in der Aufgabenstellung stand. Und zudem ohne Taschenrechner lösbar..

Lösung: Zuerst zeichnen wir eine vertikale Hilfslinie vom Kreismittelpunkt zur unteren Ecke. Da wir ein gleichseitiges Dreieck haben, ist diese Hilfslinie als h = √3/2 * a = √3/2 * 6 = 3√3 = √27 gegeben. Wenn eine Gerade einen Kreis berührt, ist dies automatisch eine Tangente und steht immer im rechten Winkel zum Radius an diesem Punkt. Daher wissen wir, dass die Höhe der zwei neu gebildeten rechtwinkligen Dreiecke genau dem Radius entsprechen, da diese Höhe auch genau rechtwinklig zur Grundseite steht und auch (wie der Radius) bis zum Kreismittelpunkt geht. Es gibt jetzt mehrere Wege diese Höhe zu berechnen. Da wir bereits eine andere Grundseite und Höhe der Dreiecke haben, ist es meiner Meinung am einfachsten, die Flächeninhalte gleichzusetzen: A = 1/2 * √27 * (6/2) = 1/2 * 6 * h |:1/2 :6 √27 * 1/2 = h h = √27/2 = r Damit ist die gesuchte rote Fläche: A = 1/2 * π * r² A = 1/2 * π * (√27/2)² A = 1/2 * π * 27/4 A = 27/8 * π [m²] A ≅ 10,6 [m²]

Super erklärt, sogar immer die dazugesagt, aber leider nicht dazugeschrieben. Also das nächste Mal auch die Einheiten immer dazuschreiben (und nicht nur dazusagen), dann ist es perfekt! 👍