C'est parti pour la première série Isomaths 😁 ! Piliers de l'analyse (réelle) vous donnera l'intuition sur les outils fondamentaux nécessaires pour maîtriser l'analyse de prépa/licence. On commence aujourd'hui par la propriété de la borne supérieure 👇! Certains passages de la vidéo méritent des précisions, les voici : 04:36 "Forcément" des trous ? Dans ce passaged de la vidéo, je considère les nombres réels construits en tant que "droite". On admet donc leur existence. On peut alors prouver que'entre deux rationnels, il existe toujours un irrationnel (donc un trou). C'est la densité des irrationnels dans les réels. Evidemment une preuve du type tourne en rond dans le contexte de construction de R: ce qui est suggéré ici, c'est qu'intuitivement, rien ne nous empêche de tracer une longueur irrationnelle qui est strictement entre deux longueurs rationnelles. 09:17 Ici je suggère la caractérisation quantitative de la borne supérieure ! On y reviendra dans le prochain épisode. 11:10 Les définitions initiales sont bien prises dans Q, mais elles s'étendent sans problème à R une fois construit (ce qui permet d'énoncer la propriété fondamentale) 15:42 Indice pour l'exercice : Procéder par l'absurde en utilisant la caractérisation quantitative de la borne sup. Supposer un rationnel x borne sup de B, et montrer qu'il existe un rationnel y > x appartenant à B. 16:30 (1/2) Tout les irrationnels peuvent ils être vus comme des bornes supérieures ? Oui, mais prouver cela nécessite une construction rigoureuse des réels (celle utilisant les suites de Cauchy l'explicite bien). Pour une approche heuristique, si on considère un irrationnel x, une manière de le représenter est via son écriture décimale (qui est infinie non périodique). Alors, on peut construire une suite à partir des approximations décimales de x (Ex pour racine de 2 : u0=1 , u1=1.4 ,u2=1.41 ...). Cette suite converge vers x, et x est la borne supérieure de l'ensemble de ses termes. 16:30 (2/2) Les "bornes inférieures manquantes" sont incluses dans l'ensemble des "bornes supérieures manquantes" (Exercice. Indice: Preuve de la version borne inférieure de la propriété fondamentale), ce qui explique pourquoi je ne rajoute que les bornes sup manquantes pour définir R à partir de Q. 17:48 Il n'existe aucun élément de l'ensemble vide supérieur à un quelconque réel, car il n'existe aucun élément de l'ensemble vide, donc tout réel majore l'ensemble vide.
J'ai parcouru la démonstration de la construction de R. J'ai vu les deux méthodes, celle des coupures est algébrique, celle de Cauchy plus analytique. La méthode des coupures est plus simple a comprendre, la démonstration de cauchy en tout cas celle que j'ai parcouru est plus difficile et utilise des points avancées de la théorie des ensembles (dans la démonstration on utilisait des ensemble quotients !!!)
tu aurais dû mettre un titre un peu plus humble comme "L'analyse est impossible sans la propriété de la borne supérieur". Car l'Analyse est une essence qui précède ton existence lol. Continues comme cela, vivement un petit traité sur la Topologie.
Je dois l'admettre, en général, je m'octroie un peu de mou en terme de rigueur sur les titres afin de faire passer le contenu au plus grand nombre. Je n'ai évidemment en aucun cas découvert l'analyse ahah. Quand à la topologie (notamment dans les EVN) évidemment une étude approfondie viendra...mais beaucoup de bases (de sup notamment) sont requises avant cela. Merci beaucoup !
@@keasy5769 Ca tombe bien, en quelque sorte cette série pourrait tout aussi bien s'appeler "topologie de R". Avec bolzano weierstrass notamment, on va aborder les compacts (de R, les segments) et l'intuition se transpose assez bien aux EVN. Evidemment à terme il y aura une grosse série sur la topologie des EVN, avec VRAIMENT beaucoup d'intuition car c'est un sujet particulièrement bien adapté. Pour le moment, je me concentre sur les bases de sup, mais ça viendra !
Le théorème des segments emboités se situe au même niveau que la propriété de la borne supérieure : il lui est même équivalent ! Il pourrait donc lui même être pris comme axiome de R. On traitera le théorème des segments emboités en tant qu'épisode bonus entre celui sur le théorème des suites adjacentes et celui sur bolzano weierstrass (car il est requis). On montrera alors son équivalence avec la propriété de la borne sup.
@@kristouner En théorie, les deux constructions classiques (Coupures de Dedekind et Suites de Cauchy) peuvent être abordées dès la première année dans le supérieur. Pour une compréhénsion plus profonde, quelques notions de topologie dans les EVN ne font pas de mal non plus (l2/l3)...
Démontrons que B n'admet pas de borne supérieure dans Q. Supposons par l'absurde que a/b est une borne supérieure de B (a et b étant des entiers naturels non nuls). Or (2a+2b/a+2b)² est strictement compris entre (a/b)² et 2 (la démonstration consiste à distinguer les deux cas: (a/b)²2 ). Ce qui est contradictoire ( car on a trouvé un rationnel appartenant à B et supérieur à a/b; ou n'appartenant pas à B et inférieur à a/b ). Ce qui met fin la démonstration ✍️ Om'Art 😎
Tu as des bonnes idées mais : 1) Pourquoi r > sqrt2 ? Le cas r 0 et soit r + epsilon/2 < sqrt(2) soit r - epsilon/2 > sqrt(2) (selon le signe de sqrt(2) - r). (L'idée étant simplement qu'il y a de l'espace entre sqrt(2) et r, aussi petit soit il, donc on peut trouver un nombre strictement entre les deux en se placant à la moitié du segment [sqrt 2, r] / [r, sqrt 2].) Cela dit bel effort, au final tu y arrives. 3) Malheureusement, toute la preuve tombe à l'eau car sqrt(2) n'est pas défini ! Cette preuve doit être écrite sans utiliser R à aucun moment, car il n'existe pas ! Tout n'est pas à jeter cela dit. L'idée de l'absurde est bonne, essaie de réécrire une preuve du style mais en utilisant uniquement la définition de B. Arrête toi de lire là et fait un nouvel essai. Si tu bloques continue à lire pour plus d'indications. Bon courage ! Remplace les deux cas r>sqrt(2) et r 2 et r^2 < 2. Ensuite, (dans le premier cas) tu dois trouver un rationnel r1 > r tq r1 appartient à B, i.e r1^2 < 2. Pour ça, remplace l'étude de r- sqrt(2) par celle de r^2 - 2, et cherche r1 à partir de là... En rédigeant habilement, tu peux d'ailleurs t'éviter la disjonction de cas, par symétrie des rôles.
