La suite de Fibonacci et le nombre d'or - Myriogon #2 

« J'ai déjà fait une vidéo sur Fibonacci, et vous m'avez réclamé une suite » Avoue, tu l'as fait exprès ?

On trouve des espaces vectoriels dans des endroits bien étranges...

Est que l'approximation de la suite avec phi est dû à une erreur de précision de la racine de 5

J'ai un python dans l'Phi barre

bizzar, tu ne parles pas de coronavirus

33:03 1er terme: 1= φ^0 2ème terme: φ=φ^1 3ème terme: φ^2 n-ième terme: φ^(n-1) 1000ème terme: φ^999

...donc on pourrait écrire : la "suite" de PHI-BONACCI......

49:12. je crois que le systeme qui est resolu est plutot le suivant a+b=0 phi*a+phi_*b =1 ce qui donne bien les valeurs de a et b donnees dans la video (le systeme avec a+b=1 fonctionne aussi mais les valeurs de a et b sont alors differentes). en fait, on travaille sur la suite qui commence par 0,1 et non celle qui commence par 1,1 (ce qui ne change pas grand chose puisque la suite 0,1 inclue la suite 1,1 et ceux a un terme pres) Ca reste un detail de calcul et ca change rien au raisonnement. c'est juste un coup de pouce pour ce qui veulent refaire les calculs et qui galerent ( :) ) Video et demo tres tres interesantes en tout cas .

Il est possible d'utiliser des tableaux interactifs en ligne (idroo, whiteboardfox, jamboard...) pour faire pareil, mais en plus joli 🤗🤗

59:14 Ben.... Non. Tu as oublié d'entourer "1+ V5" de parenthèses, ducoup ça a calculé "V5÷2"en premier... Ça donne, plutôt que" 1,753..." (notons la", " juste à côté du 1)," 354224848179261915073,1265076408784852..."

45:00 Je l'ai vu venir le changement de repère dès qu'il a tracé la deuxième ligne verte. Je suis content de moi.

Bonjour, Génial, merci pour cette belle découverte. Par contre je trouve a = racine de 5 x phi et b = racine de 5 x phi barré. Où est l'erreur ? merci !!!

En effet les vecteurs (1,phi) et (1,phi') sont orthogonaux, leurs produit scalaire vaut: phi*phi' + 1 = 1/4 * (1 + √5)(1 - √5) +1 = 1/4 * (1 - 5) +1 = -1 +1 = 0

Tu devrais faire une vidéo sur comment a t'on utilisé les maths pour créer des technologies.

Le coronavirus a du bon quand même... On a plus de vidéos intéressantes !

pour le système d'équation c'est a+b=0 et pas 1

Autre démonstration pour trouver la formule des suites de Fibo à la main (niveau L1). On considère l'équation différentielle y''=y'+y. Si cette équation différentielle admet une solution y, alors la suite (y(x), y'(x), y''(x), y'''(x),.....) est une suite de Fibo, pour tout x. Car déjà, il est facile de voir qu'une solution sera infiniment dérivable (y'' l'est car y et y' le sont; et en dérivant y''' l'est, et ainsi de suite....). De plus dériver l'équation différentielle n fois nous donne bien y^(n+2)(x) = y^(n+1)(x) + y^(n)(x), quel que soit x dans IR (y^(n) est la dérivée n-ième de y). Il suffira ensuite de voir si on peut trouver une fonction y telle que y(0)=u0, y'(0)=u1,....où on a u0=0, u1=1, u2=1,...la suite de Fibo classique. Si on est un élève sage et discipliné qui connaît bien son cours, on sait que cette équa diff admet des solutions de la forme λexp(φx) + μexp(φ'x), où φ et φ' sont les solutions (réelles distinctes) de l'équation x²-x-1=0. Mais c'est plus fun de retrouver ce résultat à la main 🙃. x²-x-1 = (x - φ)(x - φ'). Donc on peut réécrire l'équation différentielle (d/dx - φ*id)∘(d/dx - φ'*id)y=0, où d/dx est l'opérateur de dérivation. En posant (d/dx - φ'*id)y = f, on commence par résoudre (d/dx - φ*id)f = 0. Les solutions sont données par f = λexp(φx), λ danc IR. Pour plus de commodité, notons les solutions sous la forme (équivalente): f = λ√5exp(φx). Du coup, on cherche maintenant à résoudre (d/dx - φ'*id)y = f = λ√5exp(φx), soit y' = φ'y + f. La résolution et la méthode de variation des constantes, nous donnent (pour f = λ√5exp(φx)): y= μexp(φ'x) + λexp(φx). On vérifie que les y de cette forme sont bien solutions. Check! ✅ Maintenant on cherche, parmi ces fonctions, une (s'il en existe) telle que y(0) = u0, y'(0)= u1,.... Pour vérifier ces conditions, on doit avoir μ + λ = 0 et μφ' + λφ=1. La résolution du système nous donne λ = 1/√5 et μ = -1/√5. On vérifie que la solution nous donne bien notre suite (il suffit de vérifier les deux premières valeurs, car la suite (y^(n)(x))n est une suite de Fibo quel que soit x, et est donc déterminée uniquement par ses deux premiers termes).✅ Il est assez facile de voir (par récurrence assez immédiate) que y^(n)(x) = (1/√5)*(φ^n)*exp(φx) + (-1/√5)*(φ'^n)*exp(φ'x). Et donc que, pour tout n, un=y^(n)(0)=(1/√5)*(φ^n) + (-1/√5)*(φ'^n). ✅✅😎😎

C'était vraiment génial. Tu as un sérieux don pour le live, c'est très fluide et intéressant ! Vivement le prochain !

Un live avec I Abetkhane sur la conjecture de Syracuse? Non je déconne.

@48:46, Il y a une coquille dans le système d'équations pour déterminer a et b. Les valeurs données pour a et b sont pour F0=0 et non F0=1 (le premier terme à considérer est 0). Si on pose n=0, on obtient F0 = 1/sqrt(5)*(phi^0 - (/phi)^0) = 1/sqrt(5)*(1-1) = 0 CQFD.

Y aura t,il un live demain aussi ? Si oui, quand ? Commencera ce live ?

Je remarque que le nombre 11 intervient toujours en décomposant les termes de la suite de Fibonacci : 34 = ( 3 x 11 ) + 1 55 = ( 5 x 11 ) + 0 89 = ( 8 x 11 ) + 1 144 = ( 13 x 11 ) + 1 233 = ( 21 x 11 ) + 2 etc. Les multiplicateurs de 11 et les nombres à ajouter faisant partie de la même série.

Mettez vous au point à l'avance car le début est pénible. J'ai vite abandonné. Car j'attendais la science directe dans la nature.

17:15

Je crois qu'il doit être une des seules personnes en france a avoir une carte des fractales encadré chez lui dans son salon en guise de déco.!

Je ne retrouve plus la vidéo où vous démontrez qu e le résultat d'un calcul qui pourrait être infini, est un nombre négatif. Quel était son titre?

Bon travail , mais un peu brouillon. Plus sérieusement , très intéressant cette approche sur Fibonacci !

Une suite pour les machines à calculer, d'accord, mais de Fibonacci alors ;)

Je te l'avais déjaà dit ? Je suis fan de tes vidéos Cela rappelle certains courts mais en plus amusants !!

por que l'ardoise soit moins floue il faut que la camera soit perpendiculaire au plan de l'ardoise... ou au plus près

Super live, vivement le troisième 💕

Pour avoir rapidement " PHI " sur la calculatrice, on peut faire 2 x cos 36

45:45 Oui, le calcul montre bien qu'elles sont perpendiculaires. Car Phi*Phibarre = -1. On peut s'en convaincre en factorisant le polynôme dont phi et phibarre sont les racines. Son coefficient constant est -1 et il vaut aussi (par identification) le produit des deux racines, soit phi*phibarre...

144, le carré de 12 qui arrive en position 12. c'est admirable.

Y'a pas à dire: les maths, c'est fascinant! Est-il possible, en utilisant ce type de méthode, de trouver le Nième nombre premier ?

et la tour Eiffel ? Elle a été construite avec ce principe ?

Bravo et merci pour ces éclaircissements

J'aurais aimé t'avoir eu comme prof de math

Merci beaucoup pour cette illustration plus géométrique des suites de Fibonacci, quand on nous posait les bases des suites récurrentes linéaires d'ordre 2, on ne nous parlait de cet aspect géométrique avec le système de coordonnées dans la base (1,phi) et (1,phibarre), ce qui rend la chose plus intuitive et belle aussi, se dire que des suites apparemment compliqués suivent une règle tout de même plus "simple". Merci beaucoup pour toutes les aventures mathématiques que vous faîtes vivre!

Pourquoi les nombres de la suite de Fibonacci sont-ils toujours une somme ou une différence de carrés parfaits ? 21 = 25 - 4 34 = 25 + 9 55 = 64 - 9

ceux qui se posent la question google ou microsoft pour la calculatrice n'y ont jamais tapé 1+2x3 .. Celle de Krosoft réponds 9 dans son mode normal ... Il faudrait un gros message en ROUGE qui dit de passer en mode scientifique pour avoir un respect des règles élémentaires que même une calculatrice à 20 centimes en solderie connait

Encore une preuve que ce fichu Nombre d'Or a pour propriété principale d'être absolument partout xD Après c'était intéressant même si les résultats seraient tombés justes avec la partie contenant Phi barre

La vulgarisation est peut être confondue avec un enseignement light ( à la louche ) Et qui mettrait les math à la portée de nous tous ; La vulgarisation à mon sens est une façon de démystifier, mais ne peut en aucun cas dispenser de l'effort , indispensable précisément, à fournir pour accéder à la compréhension, surtout en math . Je ne veux froisser personne , je parle juste, là , de mon ressenti. Merci pour ces démonstrations qui rendent les math si étranges dans leurs résultats, mais montrent la nature plus intelligente finalement.... Même si elle le fait pas exprès d'ailleurs .... Mais si elle est intelligemment construite , c'est une chance car ça nous la rend intelligible , au moins pour ceux qui en ont les moyens ceux-là mêmes qui nous montre les résultats comme Mickaël . 👏👏👏👍👍👍👍 Je crois que c'est Einstein qui a dit ; # le plus inexplicable dans la nature , c'est que justement elle soit explicable #

Merci Mickaël, passionnant! Continue comme cela.

49:25 Comment résoudre le système ? Ici via wolfram j'ai un résultat différent www.wolframalpha.com/input/?i=a%2Bb%3D1%2C+%28%281%2B%E2%88%9A5%29%2F2%29*a+%2B+%28%281-%E2%88%9A5%29%2F2%29*b%3D1

Merci ! Magnifique démo !

Ah la suite de phi, bon assis!

Bonjour Mickaël. On a du se croiser à l'IREM de Luminy, maintenant je suis à la retraite et confiné chez moi. Lorsque j'assurais Hippocampe, un sujet qui passionnait les jeunes, c'était les ordres partiels, les treillis, les algèbres de Boole et leur représentation cubique. Peut être une idée...

Encore une autre démonstration 🙃. Cette fois, par la diagonalisation. On considère la matrice A (chaque parenthèse est une ligne) (0 1)(1 1). Si on pose Un=(un, un+1), alors on a AUn=Un+1. Il vient par récurrence, que pour tout n, Un = A^n*U0. On détermine le polynôme caractéristique de A. C'est x²-x-1 (tiens tiens 😏). On a deux racines réelles distinctes (φ et φ'), donc A est diagonalisable (sur IR), et la matrice diagonale D correspondante est (φ 0)(0 φ'). Un vecteur propre associé à φ est donné par (φ', -1). Un vecteur propre associé à φ' est donné par (φ, -1). On a donc P= (φ' φ)(-1 -1). On a A= PDP^-1, et du coup Un=A^n*U0= PD^nP^-1*U0. On calcule l'inverse de P (il vaut (1/√5)*(-1 -φ)(1 φ') ). Finalement pour (0,1), on obtient bien un=(1/√5)*(φ^n) + (-1/√5)*(φ'^n)

NB : Google connaît phi (le nombre d'or) donc tu peux l'utiliser dans les calculs, de même que pi par exemple

Bonjour, qui peut m'expliquer la résolution du système d'équations a+b= 1 aphi + bphi barre = 1 ??? merci

Merci beaucoup pour tout!!!!

Votre webcam fait le point sur l’objet le plus proche. Elle fait donc le point sur le bas du tableau weleda. Ce qui est en haut est donc flou.

9qa

Des triangles de Gouda et d'Edam (ou plutôt l'Edam d'abord)

A bientôt j'espère

Bonjour et merci pour cette nouvelle très chouette vidéo, jai dévoré ce replay... de très bonne qualité. Pourais-tu nous parler, une prochaine x des calculs dit de "magie binaires" sur base de cartes... je bleuf mes amis et collègues avec, mais jai du mal à le comprendre moi meme;-) Merci et continue bien ainsi.

Pour le calcul des termes de la suite au lieu de la calculatrice vaut mieux utiliser Excel. Ca sera plus clair et plus facile. En tout les cas j'adore tes vidéos.

35:00 et à la fin on a Patrick 2phi !

je pense que c'est a+b= 0 et aphi + bphi barre = 1 comme l'a signalé Pierre Lenoir

Si phi + phi² = phi^3 et phi² = phi +1 alors phi + phi² = phi + phi +1 = 2phi + 1 donc phi^3 = 2phi +1 ?

Tu appelles "Manu" un député de la République qui voulait être Maire de Paris ?

Attention je spoïle ! Fn ≈ (1/√5) x φⁿ Merci pour la vidéo Mickaël 😊

J'aurais adoré t'avoir comme prof après le bac. J'aurais peut-être pas foiré mes études...

Super vidéo et en parlant de Fibonacci ça parle a quelqu'un ça ? : 3258 3222 3152 3038 3278 3299 3298 2838 3288 3294 3296 2472 4516 1206 708 1820

1er terme : rang 0 2ème terme : rang 1 3ème terme : rang 2 . . . 100e terme : rang 99 -> 3 x 99= 297 et non 300

Tiens j'avais fait une manip sur la suite de fibonacci si tu veux regarder : i.postimg.cc/Dzy8z1T5/test-chelou-fibonacci.png . j'étais parti sur le style de suite 1->11->21->1211->111221->312211... et j'me suis juste amusé à séparer (en cellules) quand on dépasse 2 chiffres de suite etc. J'sais pas si c'est intéressant mais j'trouve ça rigolo en tout cas et ça suit bien la suite de Fibonacci architecturé comme ça. Du coup je sait pas comment on pourrait représenter ce découpage en cellules mathématiquement...

Aya, un bon live sur les math après on gros rail de coke x'D

20:50 Si on additionne deux nombrres à la même position dans les deux premières suites, on obtient le nombre à la position suivante dans la troisième.

Merci pour cette méthode très astucieuse permettant d'avoir la formule explicite ou "fonctionnelle" de la suite de Fibonacci !! En fait quand on résout le système on trouve : a = (5+V5)/10 # 0,72 et b = (5-V5)/10 # 0,28 valeurs qui correspondent à celles repérées trivialement sur le diagramme. NB: La suite (1) (celle avec phi) correspond à la droite verte ascendante, et la suite (2) (celle avec phi-barre) à la droite verte descendante, mais ça ne change rien aux calculs ;-) NB-2: Le 100è terme (F100) vaut 354 224 848 179 261 915 075 # 3,54.10^20 (il manquait une parenthèse dans le calcul)

Une suite possible : la séquence aléatoire de Fibonacci et la découverte de la constante de Viswanath

121393 est le 25ème élément de la suite de Fibonacci et le 100ème élément n'est pas celui calculé dans la vidéo (il y a 12 chiffres en trop) , sa vrai valeur est 573147844013817084101

52:47 Il manque une racine et tu ne la vois pas, il me semble que c'est logique ;)

Je n'ai pas été attentif tout le long. Quelqu'un peut m'expliquer un truc? D'ou viennent ces partie décimales? Il me semblait que la formule n'a pas utilisé d'approximations, pourquoi on ne tombe pas sur des entiers du coup?

Enorme ! Génial ! Merci pour cette découverte !!!

Salut! J'avais déjà vu une démonstration similaire sur une vidéo de Mathologer et la "Suite de Tribonnacci". Mais elle était à l'envers, il était parti du fait que phi^n si on l'arrondissait, donnait la suite 1 3 4 7 ... et ensuite utilisait ça pour avoir une formule. Le live était très intéressant (bien que malheureusement je n'ai pu le voir qu'en différé) :) Je trouve passionnant d'utiliser des vecteurs avec ces suites pour les additionner et les multiplier,, avec des cordonnées qui pourtant représentent seulement les deux termes du début d'une suite, ça donne un caractère très géométrique à des choses qui semblent arithmétiques/calculatoires. Sinon, à partir du moment où on a considéré la somme des suites phi et phibarre, je me disais qu'on aurait pu peut-être se concentrer sur la somme des deux vecteurs (1;phi) et (1;phibarre), qui donne un vecteur dont l'extrémité semble être (2;1) sur le schéma. Pour cela on peut utiliser la propriété qu'on utilise pour sommer les vecteurs (qui en fait consiste simple à additionner les abscisses et les ordonnées, on arrive donc bien au point lorsqu'on emprunte le "chemin" des deux vecteurs), (1;phi) + (1;phibarre) = (2; S) avec S = phi + phibarre = (1+sqrt(5))/2 + (1-sqrt(5))/2 = (1 + sqrt(5) + 1 - sqrt(5))/2 = 2/2 = 1. On a donc bien (1;phi) + (1;phibarre) = (2; 1). Étudions la suite du point (2;1), on a: 2 1 3 4 7 ... On retombe sur cette fameuse suite au début du live! Le premier terme, seulement est 2, si on nomme cette suite L, on a Ln = phi^n + phibarre^n et donc L0 = 2 Reprenons la propriété de la somme du début du live (~20 minutes) qui a donc été démontré (en faisant rejoindre deux à deux les termes de l'addition, et donc en montrant bien que la somme qu'on obtient a ses termes égaux aux deux précédents mais qui commence par 3,5): 1 3 4 7 11 18 + 2 2 4 6 10 16 = 3 5 8 13 ... Avec la suite au milieu qui est 2*Fn, la suite au début qui est L(n+1) (en effet là elle commence à 1 et non à 2) et enfin la suite à la fin qui est F(n+3) (elle commence au quatrième terme). Ce qui nous donne: F(n+3) = 2Fn + L(n+1) Or on a aussi F(n+3) = F(n+2) + F(n+1) (par la définition de la suite de Fibonacci) et F(n+2) = F(n) + F(n+1) F(n+3) = 2F(n+1) + F(n) 2F(n+1) - F(n) = L(n+1) F(n+1) = (L(n+1)+F(n))/2 F(n+1) = (phi^(n+1) + phibarre^(n+1) + F(n))/2 Fn = (phi^n + phibarre^n + F(n-1))/2 On a une formule qui donne, à partir d'un terme de la suite de Fibonacci, son terme suivant, ce qui est pas mal je trouve! Je sais que ce genre de suites sont plus simples à traiter pour avoir une formule générale, d'ailleurs j'aimerais bien essayer pour celle-ci. Je voulais juste tester si ce chemin aurait pu être pris, bien qu'il semble très laborieux. Le fait d'utiliser les coefficients a,b pour tomber pile sur la suite de Fibonacci et je trouve très intelligent! Je trouve ça aussi passionnant, avec le fait de regarder les propriétés de la suite phi^n. Vous êtes la personne qui m'a fait me passionner de mathématiques depuis ma sixième, vos vidéos sont géniales Mickaël! Avoir des lives sur cette chaîne qui vont plus loin que les vidéos habituelle me rend heureux. A tous ceux qui lisent ce commentaire portez vous bien :)

Pourquoi est-ce que 1,324718*.... N'aurait-il pas autant de propriété mathématique, ça paraît arbitraire le +1 et le carré. x³=x+1

Super vidéo, j'ai pas pu regarder en direct hier soir mais je me suis régalé ce matin ! Il y avait une erreur dans le calcul du 100ème terme avec la formule trouvée et la calculatrice, des parenthèses étaient mal placées. Avec Excel je trouve 3,54225E+20 (différent de 10^32 ;-)

Franchement chapeau c'est très intéressant et instructif

phi + phi barre est déjà égal à 1 comment peut on avoir également a+b=1??

J'aime trop tes séries !!

Pour un non-matheux ce fut un plaisir. Et pour finir, on croirait presque comprendre les maths ... Après avoir essayé d'expliquer à ma femme, je me suis vite rendu compte de la réalité et lui ai donné le lien de la vidéo :D Merci beaucoup Mickael pour tes vidéos. De vraies pralines !

Super format, continue comme ça, merci beaucoup !!!

Excellent ! Merci Mickaël

Vraiment cool

SUPER !!! Merci.

Wow

Génial 👍

salut maître ,j'ai appliqué cette méthode jusqu’à 21 terme exacte bravo

genial, un peu long , mais top !

Jacques Grimault et les Atlantes n'approuvent pas cette vidéo