Liczby kardynalne | Zacznijmy od zera #7 

A matemaks???Tomasz Gwiazda?!?

do przemyślenia polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie podważam poprawność metody diagonalnej.

W tym miejscu zaczyna się przygoda studentów z matematyką, bo to przedmiot z I semestru, "Wstęp do matematyki", lub inaczej Logika z teorią mnogości. Jedni wysiadają, bo uważają to za zbyt trudne (spodziewali się rozwiązywania jakichś odjechanych pochodnych, całek, lub równań 5., czy 6. stopnia - co jak 200 lat temu paru ludzi udowodniło, jest w ogólności niemożliwe). Inni zaczynają się fascynować, bo to zupełnie inna matematyka, niż szkolna, częstokroć nudna, bo oparta o schematy. Generalnie na studiach technicznych, informatycznych, choć jest trochę poważnej matematyki, to po pierwsze chodzi głównie o tematy z XVII-XVIII i początków XIX wieku,a po drugie w technice i informatyce nikt nie chce zajmować się "filozoficznymi" rozważaniami o nieskończoności, czy obliczaniu w nieskończoność nieskończonego rozwinięcia pi. Wynik, program, wydruk, obliczenie, ma być na już, zaraz, nie musi być ścisły i dokładny matematycznie. Studenci na kierunkach technicznych uczą się (czasem) na analizie o wzorze Taylora, pozwala on w miarę szybko oszacować np. sinus 18 stopni, ale kalkulatory i inne narzędzia są szybsze. Niestety w tej szybkości zatraca się sens i piękno matematyki, zwłaszcza teoretycznej. Tak swoją drogą, pan Cantor zdaje się, że z pół życia z depresją się męczył przez tą hipotezę. Widziałem też oznaczenie na 2 do potęgi continuum, gotyckie f. Pytanie. czy ta liczba kardynalna ma swoją specjalną nazwę.

@@tomaszgrabowski4424 może chodzi o wyobraźnię. Matematyka , jest pięknym narzędziem do organizowania rzeczywistości. Jednak by mieć kontakt ze światem , niestety, należy stale uważnie odróżniać i rozkręcać konstrukcje myślowe i opierać się na źródłach pojęć. To w zastosowaniu jest dość trudnym zajęciem, bo wymaga wprawy i znajomości metafizyki.

@@tomaszgrabowski4424 "Studenci na kierunkach technicznych uczą się (czasem) na analizie o wzorze Taylora, pozwala on w miarę szybko oszacować np. sinus 18 stopni, ale kalkulatory i inne narzędzia są szybsze" - a jak na studiach technicznych konstruujemy kalkulator? ;) Ale serio, ta wiedza czasami przydaje się chociażby w informatyce. Jeśli ktoś pisze np. bibliotekę do obliczeń matematycznych do jakiegoś nowo powstającego języka programowania, to prawdopodobnie zaimplementuje funkcje sin, cos, exp przez aproksymację szeregiem Taylora.

Polecam " Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden", gdzie temat jest znacznie pogłębiony, a nieskończoność powiększona, choć Cantorowska spłycona 😀

Zgadzam się w 100%. Obok Prof. Krzysztofa Meissnera jeden z moich ulubionych wykładowców. Pozdrawiam.

Właściwie trzeba by się spierać o punkt wspólny bo 3 i -3,nie należą do części wspólnej, zgodnie z definicją liczb rzeczywistych

Liczbę 0.92... stworzyliśmy sztucznie w taki sposób, że na kolejnych miejscach po przecinku różni się od kolejnych liczb w tabeli. Oznacza to, że nawet jak znajdziemy w naszej tabeli liczbę bliźniaczo podobną do 0.92... to na co najmniej jednym miejscu po przecinku będzie się różnić. A skoro udało nam się taką liczbę znaleźć to nie wszystkie liczby rzeczywiste były w tabelce... otrzymujemy sprzeczność więc nasze założenie nie może być spełnione.

@@krzysztofpecyna7628 to błąd logiczny

Też nigdy nie kupowałem tego dowodu, przecież to samo można zrobić z liczbami naturalnymi wystarczy usunąć 0, i po prawej stronie będziemy mieli liczby naturalne na których teoretycznie również możemy przeprowadzić to dodawanie +1 do każdej następnej cyfry, ale czy tym sposobem stworzymy liczbę która nie będzie zawierała się w nieskończoności?

@@_halav_4777 Usunięcie zera i przecinka z lewej pozostawia nieskończony łańcuch cyfr w każdej linijce, a to nie są liczby naturalne. Ale faktycznie o egzystencji zbiorów nieprzeliczanych ma decydować metoda przekątniowa, a ta zawiera błąd potencjalnej autoreferencji, który omawiam w "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" (dostepne na e-bookowie). Tam też ciekawe inne antynomie i niejednoznaczne wyrażenia uzupełniające, jak w klasycznym paradoksie kłamcy...

​@@mysl200 "Usunięcie zera i przecinka z lewej pozostawia nieskończony łańcuch cyfr w każdej linijce, a to nie są liczby naturalne." Dlaczego? Przecież nie można zakładać skończoności liczb naturalnych, czy więc każdy nieskończony ciąg cyfr nie powinien być pełnoprawną liczbą naturalną? Tak samo jak bym wziął liczby pierwsze i utworzył zbiór z potęg liczb pierwszych: 2^2, 2^3, 2^4, ... 3^2, 3^3, 3^4, ... ... W każdym rzędzie będę miał nieskończenie wiele elementów, jednak liczba elementów ze wszystkich rzędów nadal powinna zamykać się w mocy zbioru liczb naturalnych.

Dobry żart tynfa wart. Wymyślenie problemu, w którym nie wiadomo o co chodzi, jest tym prostsze, im bardziej nie wiemy o co - w ogólności - chodzi. I tak, gdy konsekwentnie kontynuujemy myśl twórczą, dochodzimy do parakartezjańskiego twierdzenia, że im bardziej popadamy w stan bezmyślności, tym bardziej nas nie ma. W ten sposób metamatematycznie zapracowana ludzkość pragmatycznie zmierza do powszechnego stanu metafizyki docześnie stosowanej.

@@jerzymadej1256 Czyli nadal nic nie rozumiesz.

Rozumiem, że nie lubisz sam ze swego pięknego hobby żartować: "każdego myślącego porusza, przeszywa ludzki rozum; Jak pocisk - myśl Kartezjusza: Cogito - ergo Sum"; Więc STARY homo sapiens wciąż myśli, konsekwentnie rozważa dylemat: "Czy popaść w stan bezmyślności, nie byłoby tym, co najlepsze‽" Po prostu przejąłem się bólem zmysłowego istnienia rodzaju ludzkiego w matematycznym bezkresie kosmosu pojęć i relacji widmowych. Wszyscy jesteśmy chwilowo widmami w żywych ludzkich skórach. Kwaterniony "czwarki" przeszły w ustawicznie jęczące multitudiony. Pozdrawiam z doczesnego wycinka czasoprzestrzeni.

Znaczy, nie widzę problemu w tym żeby istniała ta liczba po przekątnej, ale też nie ma problemu żeby dopisać do niej kolejną naturalną

do przemyślenia polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie podważam poprawność metody diagonalnej.

@@marcinkrzyzynski5894 Clue jest takie, że żadna funkcja między N i R nie może być bijekcją. I tu nie ma miejsca na dopisywanie czegokolwiek tak naprawdę, ta różnica rozmiarów jest podobna do różnicy między liczbą naturalną a alef zero.

@@marcinkrzyzynski5894 przypuszczamy, że liczb rzeczywistych jest tyle co naturalnych. Wtedy da się je ustawić w ciąg. Stosując metodę przekątniową udaje nam się zdefiniować nową liczbę rzeczywistą, która różni się od wszystkich wypisanych. Wynika stąd, że (wbrew naszemu założeniu) nasza nieskończona lista nie zawierała nadal wszystkich liczb rzeczywistych, czyli sprzeczność. Do sprzeczności zaprowadziło nas przypuszczenie, że da się ustawić wszystkie liczby rzeczywiste w ciąg.

Metod zamiany cyfr z przekątnej w rozwinięciu dziesiętnym może być bardzo dużo, ale w rozwinięciu binarnym sprawa robi się prostsza. 0->1;1->0. Co nie zmienia jednak tego, że metoda przekątniowa nie jest poprawna. Tu trzy pytania: 1. czy metoda powinna prawidłowo działać, tzn generować nowy obiekt (liczbę lub podzbiór), jeśli będzie działać na ciąg (nawet skończony)? 2. Czy liczba utworzona z cyfr po przekątnej -bez zamiany cyfr - może znaleźć się w ciągu, na jakim miejscu i jaką cyfrę będzie posiadać na miejscu indeksowanym ? 3.Z tw. Cantora wynika, że do każdej listy podzbiorów istnieje taki zbiór B, który nie może być obrazem liczby naturalnej na tej liście. A co ze zbiorem uzupełniającym? odpowiedzi znajdziecie w e-booku: NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN

I w nieskończoność NIE będzie istnieć kompletne sparowanie. W historii o nieskończonym hotelu nigdy nie zdarza się, żeby przemeldowywanie nieskończenie wielu gości następowało nieskończenie wiele razy.

"lecz gdzieś się kończy a podążanie dalej jest już nicością" - tego nie wiemy, może się kiedyś dowiemy a może nie ;)

Nope, zbiór potęgowy zbioru P zawiera także NIESKOŃCZONE podzbiory, np. taki zawierający tylko "co drugą" liczbę pierwszą. Dla takich nieskończonych podzbiorów Twoje rozumowanie się załamuje, bo wymnażając ich elementy, nie dostaniesz liczby naturalnej.

Nie mogę się niezgodzic. Dziękuję za sprostowanie i wyjaśnienie.

Dobre pytanie! Odpowiedź kryje się tuż za tym fragmentem: "i również mogę stworzyć z "przekątnej" nieistniejące rozwinięcie dziesiętne liczby Q". Sęk w tym właśnie, że nie da się wykazać (bez dodatkowych założeń na wygląd prawej kolumny), czy nowo utworzone rozwinięcie dziesiętne reprezentuje liczbę wymierną, czy niewymierną. Próba zastosowania metody przekątniowej się w tym momencie po prostu zawiesza i nie dowodzi ani tezy, ani jej zaprzeczenia. Bardziej szczegółowe popularnonaukowe wyjaśnienie można znaleźć tutaj: www.mathpages.com/home/kmath371.htm

Nie, to nie jest dobra intuicja. Zarówno prosta jak i płaszczyzna mają moc continuum. Można powiedzieć, że liczby kardynalne są "ślepe" na wymiar geometryczny. Jeśli już wyobrażać sobie alef zero, to lepszy jest nieskończony zbiór dyskretnych punktów (np. liczby naturalne na osi liczbowej), taki nieskończony ciąg "kropek". Z kolei continuum to liczba punktów w prostej (chodzi o ciągłą linię, bez przerw czy dziur). Co do innych liczb kardynalnych, to raczej nie da się ich dobrze zwizualizować geometrycznie. Jak wspomniałem, zwiększenie liczby wymiarów nic tu nie daje.

Dokonujesz skoku logicznego w zdaniu "A to by z kolei oznaczało, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z KAŻDYM zbiorem nieskończonym.". W poprzednim zdaniu piszesz o "dowolnej ilości zbiorów naturalnych", ale mowa w nim o SKOŃCZONEJ ilości, a wyciągasz wniosek na temat NIESKOŃCZONEJ ilości. A tu właśnie trzeba zachować ostrożność. Ok. 9 minuty masz omówiony argument przekątniowy. Zastosuj go do dowolnej zaproponowanej przez siebie listy przyporządkowującej liczby naturalne do rzeczywistych i dojdź do sprzeczności. Taka sprzeczność oznacza, że taka lista przyporządkowująca, która zawierałaby WSZYSTKIE liczby rzeczywiste, nie może istnieć.

@@rigelheron9997 A czy wg Ciebie SUMA zbiorów liczna naturalnych i liczb naturalnych z minusem jest równoliczna ze zbiorem liczb całkowitych? Inaczej mówić czy N + (-N) = Z czy może 2Z ?

@@sprytnyjacek4555 Tak, ponieważ elementy zbioru Z i elementy zbioru N ∪ (−N) da się "sparować". Nawiasem mówiąc, oznaczenie 2Z rozumie się zwykle jako zbiór parzystych liczb całkowitych (który zresztą też jest równoliczny ze zbiorem N). Rozumiem zdziwienie, że zbiór może być równoliczny ze swoim podzbiorem, ale to dlatego, że nasza intuicja jest zakorzeniona raczej w zbiorach skończonych, dla których taki efekt jest niemożliwy. Tymczasem dla zbiorów nieskończonych - jest. Prosty przykład dla podzbiorów R: Funkcja f(x) = arctg x każdej liczbie rzeczywistej jednoznacznie przyporządkowuje liczbę z przedziału (−π/2, π/2), który jest wszak podzbiorem właściwym zbioru R.

Popieram!

I dlatego właśnie nie da się sensownie zdefiniować odejmowania liczb kardynalnych na bazie operacji odejmowania zbiorów ;)

Dowód zasadza się wlaśnie na tym, że JEŚLI dałoby się utworzyć listę (ponumerowaną liczbami naturalnymi) zawierającą wszystkie liczby rzeczywiste, to na bazie tej listy dałoby się wskazać liczbę rzeczywistą spoza niej. To jest oczywiście absurd i stąd logiczny wniosek, że takiej listy utworzyć się nie da.

Graficzne przedstawianie zbiorów nieskończonych jest wysoce niejednoznaczne. Weźmy zbiór liczb całkowitych Z. Zwykle przedstawia się go graficznie tak: ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,..., ale można przecież poukładać te elementy inaczej, np. tak żeby na lewo od zera już nic nie było: 0,1,-1,2,-2,3,-3,... Dlatego nie definiuje się "liczby elementów" zbioru na bazie jego graficznej reprezentacji. Co do pierwszego pytania, to nie do końca. Dwa zbiory są równoliczne, gdy ich elementy da się "połączyć w pary". Tam pokazuję właśnie przykład "połączenia w pary" kolejnych liczb naturalnych z liczbami całkowitymi. Każda liczba naturalna ma tu odpowiadającą liczbę całkowitą. I odwrotnie, każda liczba całkowita ma odpowiadającą jej liczbę naturalną. Co do drugiego pytania, tak, zbiór liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych.

Pierwsza możliwość prowadzi do bardzo ubogiej matematyki. Druga możliwość jest bliska temu, co dzieje się przy konstrukcji liczb porządkowych (następny odcinek). Natomiast podana przez Cantora definicja równoliczności prowadzi do możliwości trzeciej. Zgadzam się, że nieintuicyjnej ;)

@@tomaszmiller8030 Pewnie ma to sens. Rozumiem, że nie jestem w stanie tego objąć oglądając kilkudziesięciu minutowy film. Pewnie i Cantora by to nie przekonało kiedyś. Zawsze przekonywałem innych, że matematyka jest prosta bo jest oczywista. Sądząc po Pana podejściu chyba tak jest. Aż nie mogę zrozumieć, że tego nie rozumiem. Świetnie Pan gestykuluje. Mam wrażenie, że gesty, nawet te najmniejsze, idealnie łączą się z przekazem. Fantastyczna pasja.

@@tomaszmiller8030 Aż musiałem obejrzeć jeszcze raz. Alef 0 jest liczbą nieskończoną ale dającą się przyporządkować, a próba przyporządkowania elementów zbioru continuum jest niemożliwa, bo porządkując tworzymy nieskończenie wiele elementów do dalszego przyporządkowania?

Jeszcze narodziło mi się takie pytanie trochę nie na temat, a związane może raczej z odcinkiem o największych liczbach w pracach naukowych. Ilu elementowy jest największy ręcznie zapisany ciąg liczb naturalnych?

@@MietowyMisio Bardzo dziękuję! I tak, to całkiem dobre podsumowanie dowodu przekątniowego Cantora. Co do tego najdłuższego ręcznie napisanego ciągu, to nie wiem, ale nie zdziwiłbym się, gdyby rekord należał do polskiego artysty Romana Opałki, który przez dekady zapełniał kolejne płótna kolejnymi liczbami naturalnymi. Doszedł do 5 590 000.

Nie. Udowodniono, że nie da się jej udowodnić.

@@rigelheron9997 jest chyba jeszcze gorzej: CH w ogóle nie jest problemem, bo Alef 1=Alef 0= c , co wynika z błędności metody diagonalnej, co pokazuję w "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" (na e-bookowie)

Wykazano, że jest ona niezależna od przyjętych aksjomatów w teorii mocy (wliczam w to aksjomat wyboru)

Matematykom nie chodzi o to, żeby to się do czegoś przydawało. Tu chodzi raczej o Prawdę i Piękno.

@@robertpawowski2160 Pewno przydałoby się Piękno, ale bez Prawdy i Piękno staje się zakłamane. A tu są poważne wątpliwości - polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN

Tu potrzebne są podstawy filozoficzne, a te zostały przez Cantora i następców niezbadane. I został popełniony błąd uogólnienia formuł potencjalnie autoreferencyjnych na wszystkie możliwości. Omawiam to w "Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden" w posłowiu, bo wstęp to część beletrystyczna mająca wprowadzić laika w ten świat nieskończoności.

Niestety nie dowodzi to niepoliczalności liczb rzeczywistych. Powód jest prosty: analogiczne rozumowanie można przeprowadzić zastępując wszędzie słowo "niewymierne" słowem "wymierne". A jak wiadomo, liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele. Pozdrawiam!

@rigelheron9997 Jasne a jeszcze lepiej słowo niewymierne zastąpić zastąpić słowem wymierne i dodać znane w starożytnym Egipcie, to nie tylko będą policzalne, ale już policzone. A poważnie jeżeli masz listę ułamków wymiernych od 1/∞ do ∞/∞ To napisz taki którego tu nie ma,. Natomiast do dowolnej listy ułamków i niewymiernych można dodawać w nieskończoność nowe ułamki niewymierne iniepowtarzające się z żadnym będącym już na liście. Inaczej jeszcze: Ja ci napisałem najmniejszy i największy ułamek wymierny czegoś takiego nie można zrobić w zbiorze ułamków niewymiernych. Pzdr.,

@@krzysztofturski9070 Z napisami 1/∞ i ∞/∞ są poważne problemy. Ten pierwszy można zinterpretować jako 0, ale problem z nim jest taki, że następny obiekt na takiej liście, czyli 2/∞, też odnosiłby się do zera. Z kolei napis ∞/∞ nie ma sensu liczbowego. Przypominam, że liczba wymierna to liczba postaci p/q, gdzie p jest liczbą całkowitą, a q liczbą naturalną większą od zera. Ani p, ani q nie mogą być równe ∞, bo nieskończoność nie jest liczbą całkowitą. Ale z ciekawości, pomijając nawet to wszystko: gdzie na Twojej liście jest np. (2/3)/∞ ? I drugie pytanie: skoro ∞/∞ jest ostatnią liczbą na Twojej liście, to jak wygląda PRZEDostatnia?

@@rigelheron9997 Nie mam "swojej" listy. Na liście stworzonej wg. procedury G. Cantora, ułamek 2/3 jest na 7 miejscu. Za "problemy z napisami" z tego co obiło mi się o uszy, to odpowiedzialnie są często tzw. graficiarze,. Może lepiej z nimi o nich podyskutuj. Ja się nie orientuję w tym temacie zupełnie. W temacie ułamków 1/∞ i 2/∞ to no cóż masz takie o nich opinie jakie masz i w porzo a mniej sobie jakie chcesz.. Są tacy, to nie żart. Dla których jest on wart. Mniej niż zero. Mniej niż zero. Oooo Ooo Oo O. Dobra proponuje remis w naszej dyskusji ok? Pzdr.

@@krzysztofturski9070 Nie pytałem o 2/3, tylko o (2/3)/∞. Takiego czegoś nie ma na tamtej liście Cantora przecież, podobnie jak wspomnianych przez Ciebie obiektów "1/∞" oraz "∞/∞". Chętnie poznałbym Twoją opinię na ich temat, skoro moja Cię nie przekonuje. Ale OK, może lepiej faktycznie podyskutuję z kim innym. Pozdrawiam!

dużo

To jest o PO!!!🤓

Liczb niewymiernych jest tyle samo, co rzeczywistych. Można to uzasadnić tak: Oznaczmy zbiór liczb niewymiernych przez X. Z samej definicji wiemy, że R = suma rozłączna Q i X. Z definicji dodawania liczb kardynalnych (17:56) mamy więc, że |R| = |Q| + |X|. Wiemy też, że |Q| = ℵ_0, natomiast |R| = c, więc otrzymujemy, że c = ℵ_0 + |X|. I teraz z tego, co powiedziałem o dodawaniu liczb kardynalnych (18:37) wynika już, że |X| musi być równe c.

@@tomaszmiller8030 Panie Tomaszu, wysyłałem do Pana przed opublikowaniem tego filmu esej w którym podważałem poprawność metody diagonalnej. Do przemyślenia polecam posłowie "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie analizuję antynomie oraz ich niewłaściwe zastosowanie przez Cantora w metodzie przekątniowej. Bardzo proszę o przeanalizowanie tekstów - i oczywiście będę wdzięczny, gdy znajdzie pan jakieś luki merytoryczne, a za zaangażowanie oferuję "żywą gęś", Pozdrawiam i wesołych świąt!

@@mysl200 Przykro mi, ale nic nie dostałem... Proszę wysłać na mojego UJ-owego maila, chętnie spojrzę w wolnej chwili: tomasz[kropka]miller[małpa]uj[kropka]edu[kropka]pl

@@tomaszmiller8030 Wysłałem 16.12.2021 o 10:11 - może waga plików jest za duża, bo nie mam potwierdzenia otrzymania. Pozdrawiam. Andrzej Burkiet

To tylko skromne początki matematyki na studiach. Później dopiero się robi jazda bez trzymanki.

Tak, choć inna. Aby formalnie zdefiniować "połowę nieskończoności", trzeba wyjść poza liczby kardynalne (dla których dzielenie jest niezdefiniowane). W odcinku #9 o liczbach nadrzeczywistych taka "połowa nieskończoności" nawet się pojawia w tle ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-BFsIh08eHg4.html

@@tomaszmiller8030 Niekoniecznie. Polowa liczb naturalnych np. parzyste jest ich nieskonczenie wiele i jest to taka sama nieskonczonosc jak nieskonczonosc wszystkich liczb naturalnych.

@@krzysztofzajac7060 Taka definicja przez przykład jest niewystarczająca z matematycznego punktu widzenia. Ale fakt, w liczbach kardynalnych można zdefiniować (częściowo) dzielenie, zgodnie z którym "a/2 = a" dla każdej liczby pozaskończonej a. Tyle że takie dzielenie jest nieciekawe ;)

@@tomaszmiller8030 Oczywiscie. "Polowa nieskonczonosci" nie znaczy, ze dzielimy alef 0 na 2. Chodzilo mi tylko o pokazanie, ze intuicyjnie liczb parzystych powinno byc mniej niz naturalnych. Ale tak jak bylo powiedziane w materiale - intuicja tu zawodzi. Poza tym czy w ogole jest sens mowic o polowie nieskonczonosci? A jeszcze poza tym ja jestem tylko fizykiem a nie matematykiem :))))

Cenzura nie tylko Ciebie spotyka. MYŚL! - to pierwsza książka, w której pokazywałem na jednym przykładzie wadliwość metody przekątniowej, a ostatnio w "Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden" znajduję przyczynę leżącą u podstaw. Spotkajmy się na stronie mysl..., gdzie wszystkich zapraszam do dyskusji

na czym polega ten błąd?

@@Mateusz-zp2lo no udało mi się obalić dowód mający świadczyć że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych w taki sposób, że używając wcześniej przedstawionego dowodu udało mi się udowodnić że pośród wszystkich liczb naturalnych jest taka liczba naturalna której nie ma wśród liczb naturalnych. Czyli dowód jest błędny bo jest to sprzeczność. Idąc dalej udało mi się stworzyć coś na krztałt transformaty która przypisuje dokładnie 1 do 1 dowolną liczbę rzeczywistą liczbie naturalnej i odwortnie zatem udało mi się wykazać równoliczność tych zbiorów.

@@dantom7405 możesz przybliżyć dowód tego ostatniego faktu?

@@Mateusz-zp2lo to musiałbym prezentację na tablicy zrobić bo ot tak nie dam rady tego opisać, niestety potrzebna jest ilustracją która pomoże to zrozumieć

W liczbach kardynalnych nie. Dowodzi się, że alef zero to najmniejsza liczba pozaskończona.

Co ty beblosz?...

21,37

alef 2137

Nieistnienie dowodu nie jest dowodem nieistnienia.

@@rigelheron9997 Czemu? Przecież to jest jedno z podstawowych praw logicznych. Mamy implikację: "JEŚLI liczba kardynalna pomiędzy alef_0 i continuum istnieje TO dowodzi ona zaprzeczenia hipotezy continuum". I zarazem wiemy, że taki dowód nie istnieje. (p=>q) i ~q Ergo: ~p

@@przemysawkwiatkowski2674 Gdyby Twoje rozumowanie było logicznie poprawne, to analogicznie mógłbym napisać: "JEŚLI liczba kardynalna pomiędzy alef_0 i continuum NIE istnieje, to dowodzi to HC." Jednocześnie wiemy, że taki dowód nie istnieje. Ergo, właśnie wykazałem na identycznej zasadzie jak Ty, że jednak istnieje liczba kardynalna między alef_0 i continuum. Wniosek: obaj robimy coś logicznie nieuprawnionego. Podejrzewam, że szkopuł tkwi w słowie "dowód". Ściśle rzecz biorąc, gdy mówimy, że "dowody HC i ~HC nie istnieją", mamy na myśli, że nie istnieją dowody wychodzące ze standardowych aksjomatów teorii mnogości. A stwierdzenie "istnieje liczba kardynalna między alef_0 i continuum" nie jest dowodem wychodzącym ze standardowych aksjomatów teorii mnogości ;)

Wskaż go, proszę..

@@klnpdwunexorut NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN

Co jest niedobrego w metodzie diagonalnej?

@@elizabethharper9081 Nie uwzględnia możliwości definiowania skończonym tekstem obiektów: liczb rzeczywistych, podzbiorów - gdzie może pojawić się autoreferencyjność sformułowań stanowiących podstawę sprzeczności w dowodach nie wprost. Takich dowodów nie powinno się stosować, gdy nie obowiązuje prawo wyłączonego środka - gdy ani dowodzona teza nie jest poprawna ani jej zaprzeczenie, bo obie rodzą sprzeczności.

@@mysl200 Ale argument cantora jest przeprowadzony na gruncie logiki klasycznej, gdzie prawo wyłączonego środka obowiązuje, więc gdzie problem?

​@@elizabethharper9081 Jeśli formuła mająca definiować zbiór B z twierdzenia Cantora definiuje zbiór, to proszę się zastanowić, jaka formuła definiuje zbiór uzupełniający. Dalej, czy może ona być wartością funkcji f i dla jakiego argumentu oraz czy ten argument a) może należeć do wartości i b)może nie należeć do wartości dla tego samego argumentu.

@@mysl200 Na tym polega argument. Założenie istnienia funkcji z N na P(N) prowadzi do sprzeczności. Zatem takiej funkcji nie ma.