Protège tes données personnelles avec Incogni. Utilise le code "MEDEFRAUDE" et clique sur mon lien d'affiliation pour profiter de 60% de réduction sur l'abonnement annuel : 👉 incogni.com/medefraude ERRATUM : 6:35 Ils ne sont pas tous isolés (exo) 😋 26:30 Il y a une conjonction à la place de l'implication, et le schéma d'axiomes est écrit un peu dans le désordre...
J'ai commencé, si ma mémoire est bonne, à apprendre les bases de la théorie des ensembles au primaire (notions d'appartenance, opérations sur les ensembles, relations, applications, fonctions...), avec un rappel en début de collège (ordres, groupes, relations d'équivalence, maths discrètes...) puis utilisation pour construire les relatifs, les rationnels, les vecteurs comme des classes d'équivalence ("un vecteur est une classe d'équivalence dans la relation d'équipollence entre des couples de points." - je m'en souviens encore par coeur 40 ans après). En première, on a vu avec notre professeur, M. Sanchez, la construction des entiers avec l'axiomatique de Peano, des réels avec les coupures de Dedekind, etc. Moi, j'adorais. J'ai appris plus tard les controverses qui ont entouré cette réforme (inspirée par Bourbaki, mais sans que celui-ci ait participé réellement à celle-ci), et je vois, en suivant le parcours de mes enfants, qu'on a essentiellement gommé tous ces aspects des programmes actuels, jusqu'au collège au moins. Aujourd'hui, je pense que la réforme comme la contre-réforme ont été excessives. Comme l'écrivait Françoise Balibar en 2012 "Un peu de Bourbaki ne ferait pas de mal". En voici un extrait: "On se souvient de la catastrophe que fut l’introduction dès l’école primaire des mathématiques dites « modernes » dans les années soixante-dix du siècle dernier. Cette « réforme » visait à améliorer les performances scientifiques de la population des pays occidentaux - argument particulièrement sensible aux États-Unis où l’on avait tiré du lancement du spoutnik soviétique, vécu comme un Pearl Harbor scientifique, la conclusion qu’un pays technologiquement avancé est un pays où la formation mathématique de la population en général est d’un haut niveau. En France, berceau de l’école Bourbaki, dont les thèses avaient servi de caution théorique à la « réforme » de l’enseignement des mathématiques, l’introduction des « maths modernes », abondamment critiquée par le corps enseignant, les parents, les physiciens et les ingénieurs, fut abandonnée au milieu des années quatre-vingt. Aujourd’hui, trente ans après, l’évolution du monde tel qu’il va invite à se demander si le bâton n’a pas été trop tordu dans l’autre sens et si un peu de Bourbaki ne serait pas bienvenu à l’école et au collège."
Je suis bien d'accord... Quand je vois la différence de niveaux entre votre récit et la réalité d'aujourd'hui, j'ai peur. Là où en première dans les années 70, on apprenait la construction des vecteurs par des classes d'équivalence sur des produits cartésiens, aujourd'hui en première on essaye de ne pas trop brusquer les élèves en leur faisant calculer des pentes de droites. 🤯
J'ai bien eu la théorie des vecteurs avec les classes d'équivalence selon l'équipollence des bipoints. C'était bien, clair, et concis, robuste. Mes collègues parlent de "flèches"... Un vecteur c'est une flèche (un ensemble de flèches identiques pour les plus hardis). En revanche, je n'ai pas eu les axiomes de Peano en première :) "Mes élèves ils ne comprennent pas".... "ben évidemment, si tu ne leur expliques pas !"
Moi aussi j'adore Cantor, yeah ! Très sympa comme première vidéo En même temps que la construction des entiers de Von Neumann, tu parleras des définitions de l'addition et de la multiplication qui vont avec ? Tu peux aussi te renseigner sur la construction des entiers en tant que cardinaux finis par Bourbaki, c'est plus abstrait mais les définitions des opérations en sont simplifiées (car ensemblistes)
@@ceytixg2508 Merci ! 😁 Oui je parlerai de l'addition et de la multiplication 👍 mais je ne connais pas encore parfaitement la théorie de Bourbaki, donc j'attendrai pour en faire une vidéo... 😉
@@medematiquesc'est compliqué de mettre le nez dedans, et l'étude est fastidieuse, je ne le recommande pas à tous les matheux de ZFC, surtout ceux qui aiment le constructivisme à la Von Neumann Si tu veux je t'envoie un document qui vulgarise ces points là
6:35 par raport au troisième ensemble des exemple pour les points isolé, est ce que ça devrait pas être l'ensemble des élément qui ne peuvent pas être écrit 1/n ? car si je fixe une n et fait tendre m vers l'infini, (1/n)+(1/m) tend vers 1/n, et donc même si on exclu 1/n il fera partie de l'adhérence. 16:35 alors, oui, mais on peut les construire sans avec les ordinaux de Hartogs. Vidéo très cool, impatiens de voir la seconde!
@@simeonsurfer5868 1) Effectivement, ils ne sont pas tous isolés, bien vu 👍 je vais mettre un Erratum en commentaire épinglé. 2) Ah je ne connais pas, je vais regarder... Mais comment se construisent les ordinaux de Hartogs ?
@@medematiques Pour les ordinaux de Hartogs, c'est l'ordinal juste après ceux d'un même cardinal, en gros on le fais en faisant l'ensemble des graphes de relations de bon ordre sur les sous ensemble d'un ensemble, étant donné que tout ceux avec la même cardinalité y seront (car l'existence d'une bijection entre l'un et l'autre nous indique que l'existence de l'un implique l'existence de l'autre dedans), on a donc tout les bons ordres d'un cardinal inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble, en usant des propriété des ordinaux on peut donc associé à chaque bons ordres un ordinal de Von Neumann, en prenant cet définition on obtiens donc un ordinal sont le cardinal est obligatoirement supérieur à tout ceux précédent. Aleph n+1 est alors le cardinal de l'ordinal de Hartogs de Aleph n.
J'aime beaucoup ce qui semble être la première preuve que R est plus gros que N. On considère une suite réelle u_n. Si on arrive à construire une suite [a_n, b_n] de segments emboités telle que [a_n, b_n] ne contient aucun des réels u_0, u_1,… u_n, alors l'intersection des segments qui est non vide contient un réel qui n'est pas dans la suite u_n. On choisit a_0=u_0+1 et b_0=u_0+2. Supposons les segments sont construits jusqu'au rang n. - Si u_{n+1} n'est pas dans [a_n, b_n], on pose a_{n+1}=a_n et b_{n+1}=b_n. - Si u_{n+1} appartient à [a_n, b_n], alors u_{n+1} ne peut pas appartenir à la fois à aux segments A=[a_n, (2a_n+b_n)/3] et B=[(a_n+2b_n)/3, b_n]. Si u_{n+1} appartient à A, alors on choix [a_{n+1}, b_{n+1}]=B, sinon on choisit A. Contrairement à la preuve par diagonalisation, cette preuve ne se généralise absolument pas mais elle est plus « humaine » au sens où l'argument de diagonalisation est un peu magique.
Quand j'aurais fini d'écrire le document LaTex (oui j'ai quitté Word pour LaTex) qui fait déjà 12 pages seulement pour définir l'addition d'entiers naturels... 🫠 Sachant que l'objectif est entre autres d'expliquer la multiplication de nombres complexes...
En 66 en classe de sixième, soudain la théorie des ensembles. Nostalgie. Dire que certains prétendent aujourd'hui que la théorie des ensembles a été introduite pour mettre à égalité les enfants de riche et de pauvre ! Car les parents riches ne connaissent pas cette théorie et ne peuvent pas aider leurs enfants. Quel degré de crétinisme.
Je ne comprends toujours pas l'utilité, j'ai vu vite fait en quoi ça consiste mais je n'arrive pas à savoir si ça me serait utile et si oui comment, par exemple quel serait un exercice très simple où la seule façon de le résoudre c'est par la théorie des groupes ?
@@Adylase L'utilité, c'est de construire tout ce que tu utilises actuellement en mathématiques. Les nombres se construisent (usuellement) grâce à la théorie des ensembles. Pareil pour les matrices, les polynômes, les fonctions... Sans la théorie des ensembles, qu'est-ce qui te prouve que le nombre π existe ? Rien. Mais ça, ce sera une vidéo dédiée qui sortira normalement samedi sur ma chaîne 😉
@@medematiques merci pour ta réponse, je n'ai toujours pas compris ce que veut dire "construire" ou encore l'utilité de prouver l'existence de pi ça me semble trop flou, j'attendrai donc samedi
@@Adylase Pour donner une réponse quand même : "Construire X" signifie prouver l'existence de X par l'exemple. C'est-à-dire prouver que l'on peut créer X en donnant un exemple d'objet qui vérifie toutes les propriétés que l'on souhaite donner à X. Par exemple pour prouver l'existence de π, je dois prouver que l'on peut créer un nombre qui est le rapport de la circonférence d'un cercle par son diamètre. À priori, rien ne prouve que ce nombre existe 🤷♂️ grâce à la théorie des ensembles, on peut le prouver... J'espère que ça éclaire... 😅
@@medematiques merci pour cette explication je comprends mieux maintenant, très grossièrement on pourrait dire que cela permet d'avoir accès à d'autres "types" de preuve que l'on n'a pas avec les autres domaines seulement ? Si c'est le cas qu'elles autres preuves sont possibles ?
Est ce qu'on peut dire que le nombre 2 l'unique nombre premier paire est l'ensemble des nombres premiers paire qui appartient a lui-même ? Reponse si possible
Bonjour Oui 2 est l'unique nombre premier pair, comme chaque nombre premier p est le seul qui est divisible par p, par définition. Cependant l'ensemble des nombres premiers pairs est {2}, c'est l'ensemble qui contient 2, et il est différent de ce dernier. Il existe plusieurs définitions de 2 en théorie des ensembles, mais elles reviennent au même et s'accordent sur un point : 2 est un ensemble qui contient 2 éléments. On voit donc qu'il est bien différent de {2} qui ne contient qu'un seul élément, à savoir le nombre 2
Ce qui est difficile pour montrer que R est équipotent à [0;1], c'est montrer que [0:1] est équipotent à ]0;1[, non ? Parce que l'arctangente montre que R est équipotent à [0;1], directement. Ou c'est moi ? ;)
@@medematiques Ben oui, c'est ce que je dis. La difficulté est bien de prouver l'équipotence de [0;1] avec ]0;1[. Pas de R avec ]0;1[. Relis :) Donc ce n'est pas moi... mais toi ;)
@@henridegueldre1202 Tu dis "l'arctangente montre que R est équipotent à [0 ; 1]" Non 🙂↔️ Mais sur la première partie de la phrase, je suis partiellement d'accord, car on n'est pas obligé de passer par ]0 ; 1[
En quoi le paradoxe de Banach-Tarski est-il un problème ? Celui-ci s'exprime dans une conception où le "point" est un concept idéal, réduit à une chose infiniment petite. Ceci n'est à priori pas le cas en physique, donc il ne faut pas s'attendre à ce que Banach-Tarski trouve un sens dans la réalité matérielle. L'axiome du choix ne rentre-t-il pas dans le domaine de ce qui est imaginable par le mathématicien, et donc tout à fait dans son objet d'études ?
@@ceytixg2508 Je ne dis pas que ZFC n'est pas cohérent ou qu'il faut être idiot pour considérer cet axiome. Ce que je dis, c'est que quand un mathématicien choisi un système axiomatique, il ne le fait pas parce qu'il est cohérent, il le fait parce qu'il lui parait naturel. La question de la cohérence vient après. Les ensembles naïf de Cantor ou le statut de l'axiome des parallèles d'Euclide sont de parfais exemples. L'axiome du choix en est aussi un exemple. Si on a plein de sac, on peut prendre un élément dans chacun des sacs et en faire un nouveau sac. C'est intuitif. Sauf que cet axiome a des conséquences très contre intuitives et, de ce fait, je le trouve moisi.
@@fredericmazoit1441 L'axiome du choix est un peu plus que "j'ai plein de sacs non vides, et je peux prendre un élément dans chacun de ses sacs". l'axiome du choix faible (=dénombrable), pourquoi pas, mais si on passe au continu c'est plus compliqué. Il permet de dire que quand on a enlevé toutes les fonctions régulières (mesurables !) il en reste encore plein, beaucoup, de nombreuses.
Objection, voue mêlez la théorie des ensembles avec de la topologie, en sus la topologie de R. Lorsqu’on étudie la théorie des ensembles on est loin de toute topologie, et lorsqu’on s’intéresse à cette notion, on définit une famille de parties d’un ensemble X comme étant les ensembles ouverts, une famille stable par réunions quelconques et intersections finies. Rien à voir !
La formulation que tu donnes du schéma d'axiomes de compréhension restreint n'est pas correcte. Le problème étant que, écrit de cette façon, tu ne force pas le fait que A soit un sous-ensemble de E.
Les éléments de A sont construits à partir d'éléments de E (d'où l'implication). Cependant rien n'empêche effectivement qu'il y ait des éléments extérieurs à E, sauf que l'axiome ne précise pas l'existence d'éléments extérieurs. Ainsi, le seul moyen de prouver l'existence d'un tel ensemble est d'abord que celui-ci soit un sous-ensemble de E. Ce n'est donc effectivement pas directement écrit dans l'axiome (l'axiome ne dit pas "il n'existe pas d'éléments dans A autres que ceux dans E", mais c'est une condition nécessaire pour avoir l'existence de l'ensemble A car aucun autre axiome ne permet de construire ces éléments extérieurs. Je ne sais pas si je suis clair... 😬
@@medematiques Je penses que ce que tu dis n'a pas beaucoup de sens. La formulation que tu donnes est à minima différente de celle de Wikipedia. Du coup, par exemple, comment est ce que tu montres qu'il existe des intersections en utilisant ta formulation ? C'est juste un exemple mais pour moi, il y a un problème.
@@gregoiremarc7655 Sur Wikipédia, ils font appel à n variables libres (a1, a2, ..., an). Je ne le fais pas pour alléger les notations, mais il est effectivement sous-entendu que la propriété P peut dépendre de variables supplémentaires que je n'indique pas dans ma formulation.
@@medematiques C'est pas ça le problème, la formulation de wiki est la suivante: (x appartient a A ) équivaut ( x appartient a E et P(x)). Du coup t'as bien que A est inclus dans E.
@@gregoiremarc7655 Dans ma formulation aussi, puisque je quantifie sur les x dans E (la prémisse de l'implication étant équivalente à "pour tout x dans E"). Ce qui change par rapport à la formulation de Wikipédia, c'est que dans ma formulation, rien n'empêche d'avoir d'autres éléments dans A qui ne sont pas dans E et qui ne vérifient éventuellement pas la propriété P, sauf que dans tous les cas il sera impossible avec les autres axiomes de construire et vérifier l'existence de ces éléments...
Vous subordonnez la notion de compréhension à celle d'extension. C'est pour cela que les paradoxes apparaissent. Toute l'histoire de la théorie des ensembles jusqu'à aujourd'hui (y compris à travers les catégories) en découle. C'est un biais insupportable, qui a amené la société occidentale là où elle est, c'est-à-dire, au bord du gouffre. Heureusement, il y a une manière de faire pour effacer tout ça et repartir sur des bases saines. Malheureusement, vu l'inertie du système dominant de représentation actuel (dit "scientifique"), tout ce que j'aurai à dire à ce sujet est inaudible. Mais je voulais juste vous dire que ça existe. C'est comme cela qu'il faut interpréter Grothendieck quand il disait que les mathématiques allaient disparaître. C'est vrai. Au troisième millénaire tout cela sera vu comme une aberration, comme une suite logique fatale de la méthode axiomatique, que le nouveau système aura sublimée. Gödel l'avait pressenti. Je l'ai réalisé!
Moi non plus... C'est le schéma de compréhension restreint et/ou le schéma de remplacement qui vous pose problème ? En réalité ces deux schémas peuvent être montrés à partir du schéma dit "de sélection et de réunion", qui n'a rien de contre intuitif Et la théorie moderne a étudié quels sont les ensembles que l'on a le droit de construire, les paradoxes de la théorie naïve sont désormais loins. Si un autre paradoxe apparaît, ce sera à priori beaucoup plus fin, et les mathématiques sauront s'adapter, comme elles l'ont d'ailleurs toujours fait Mais si vous avez une révélation, je suis sûr que tous les matheux seront ravis de l'entendre, même si ça bouscule leurs à priori
@@ceytixg2508 désolé d'être aussi cryptic, mais en réalité tout pose problème. Malheureusement je n'ai pas le temps d'écrire un livre, mais c'est ça qu'il faut. Par exemple, oui, l'axiome de compréhension restreint pose problème, comme la plupart des autres en fait. C'est parce que l'approche "philosophique" de ces mathématiciens, depuis le départ, est réductionniste. Tout est basé sur la notion d'extension. C'est pour ça qu'ils en arrivent à "restreindre" la compréhension. C'est 100% logique. Si vous voulez "voir" que tout est réductionniste/matérialiste, c'est très simple, il vous suffit de considérer les extrêmes. Prenez les deux extrêmes, soit, d'un côté, l'ensemble vide, et de l'autre, l'ensemble de tous les ensembles. Ce dernier n'est pas admis en théorie des ensembles, mais l'ensemble vide, lui, l'est. Pourquoi ce deux-poids-deux-mesures? Il n'y a aucune raison. Sauf si votre approche est à la base extensionnel! Parce que là, vous allez considérer l'ensemble vide comme fondation, et ensuite construire tous les ensembles là-dessus. Mais attendez un peu... Pourquoi ne pas avoir considéré l'ensemble de tous les ensembles comme fondation, et construit tous les ensembles sur ça? A cause des paradoxes? Non non. Ça ne tient pas. Ne voyez vous pas le "paradoxe" évident d'un ensemble qui ne contient rien? Car s'il ne contient rien, ce n'est pas un ensemble (De la même manière que s'il contient tout, ce n'est pas un ensemble non plus)! Vous voyez le vrai problème? C'est pour cela que je parlais de "biais insupportable". Parce que tous les axiomes dont vous parlez sont à la base biaisés par vos pré-supposés philosophiques. Et ils ne correspondent pas à la réalité! C'est comme si vous diez que le cerveau humain ne contient qu'un seul hémisphère : l'hémisphère gauche! (note: c'est pour cela en fait que je rechigne à parler à des "matheux", qui ont malheureusement souvent l'hémisphère gauche hypertrophié). Et un cerveau à un seul hémisphère ne peut pas se représenter la réalité correctement. Il en oublie la moitié! (c'est ce qu'on appelle un comportement "autistique"). Je ne sais pas si vous pouvez comprendre ce que je dis, parce que les institutions éducatives d'aujourd'hui ne sélectionnent les gens que sur leurs aptitudes analytiques (l'hémisphère gauche). Il n'est donc pas étonnant que l'on obtienne plein de doctorats à consonance purement matérialiste, avec l'ensemble "vide" comme base de toute réalité (c'est pourquoi les universités aiment tant les "bouddhistes"!). Plus sérieusement, il faut "refaire" tout ça. Pas besoin d'axiome de l'ensemble vide, ni d'axiome de l'infini. En fait, ces deux n'existent pas! Ou ils "existent", mais pas de la manière dont vous pensez. Il ne faut donc surtout pas les postuler! Il faut surtout les redéfinir correctement. En fait, il faut tout redéfinir, en suivant une nouvelle "méthode", similaire à celle de Descartes, mais "un niveau au-dessus"! Bonne journée!
