Deux (deux ?) minutes pour... Le théorème de Banach-Tarski 

Devinette : vous connaissez une bonne anagramme de Banach-Tarski ? Réponse : Banach-Tarski Banach-Tarski.

quel est l'anagramme de Banach-Tarski? c'est Banach-Tarski Banach-Tarski!

Ah la la. À chaque fois que j'entends parler de l'axiome du choix je me souviens de mon prof de spé grondant "On utilise le lemme de Zooooorrrrn", à la façon "C'est le noooorrddd" de Galabru. Superbe vidéo !

Ce moment ou tu apprends que El Jj est prof de maths en lycée .-. PLEASE, TEACH ME ! Tu fait vraiment de bonnes vidéos c'est génial, si seulement pouvais y'en avoir encore plus c:

Bravo pour cette explication claire et détaillée. Même si tu passes plus des deux minutes annoncées à l'expliquer, ça vaut le coup. Cela dit, il est probable que Banach et Tarsky auraient sans doute démontré qu'à partir de deux minutes on pouvait confectionner un autre ensemble de deux minutes et que Hilbert nous invitant dans son hôtel aurait facilement étendu tes deux minutes à une infinité....Conclusion, tu as réussi la prouesse inverse de réduire l'infini à 20 minutes....et ça , c'est pas rien!

J'éprouve toujours la même satisfaction en re-regardant tes vidéos.

Bon, c'est de la vulgarisation, mais il faut au moins un bon niveau de taupe pour comprendre. J'ai cette chance et merci beaucoup, j'avais entendu parler du paradoxe de Banach-Tarski mais enfin aujourd'hui je comprends de quoi il s'agit (enfin j'ai compris en gros, il faudrait que je passe un peu de temps pour les détails). Superbe boulot en tout cas. Les dessins en particulier sont top.

Les vrais se souviennent quand les vidéos faisaient vraiment 2 minutes

Excellent ! heureux de toujours découvrir de nouvelles choses avec cette chaîne !

Enfin un nouvel épisode! :) Super boulot. La présentation est plus formelle que d'habitude, continue comme ça

C'est toujours avec plaisir que je retrouve tes vidéos fascinantes qui me donnent envie de retourner en prépa. :D Continue comme ça !!!

On se sent presque intelligent, et on se prend même à croire qu'on a tout compris en regardant les VDO d'El Jj (enfin, à condition de regarder les VDO dans l'ordre). C'est vraiment ça l'art de la vulgarisation scientifique. Bravo, et merci :-)

Excellent travail, les 20 minutes sont passés à une vitesse phénoménale et j'ai adoré cette vidéo ! Vivement la prochaine !

J'adore tellement tes vidéos, à chaque fois j'ai envie de mettre un énorme cœur plutôt qu'un pouce ! Ils sont formidables ces matheux quand même 😊

Ha super j’hésitais à le faire celui la, ba maintenant je n’hésite plus c'est déjà très bien fait ici :p

Quelque chose de compliqué expliqué simplement. Géniale comme toujours :)

Ohhh j’adore les paradoxes ! Merci pour cette passionnante et excellente vidéo !

Je suis vraiment épaté par vos qualités pédagogiques ! Merci 😊

Et merci pour la FAQ sur le blog. (en particulier le dernier point !)

tjrs un vrai plaisir d'avoir une nouvelle vidéo de toi. le chemin est un peu compliqué mais la balade est belle ^^

Super vidéo, comme d'habitude !

Excellente vidéo! Peut être même une de tes meilleures! Technique mais compréhensible, bravo ;) Surtout gros pouce bleu pour avoir réussi à condenser tout ça en 20 min

Superbement expliqué ! Faut toujours faire pause assez souvent, mais moins que d'habitude. Vos vidéos sont comme le gâteau de Jupiter : on n'en mange que rarement, mais on apprécie toujours !

Waw je trouve ça passionnant de t'écouter parler de mathématiques, continue comme ça !

Je vais directement commander une glace à 2 boules, ce sera plus simple !! (sinon super video :) )

J'avais beaucoup aimé la vidéo de Vsauce sur le sujet, mais j'ai apprécié d'avoir ici droit à une explication plus claire du théorème. Après c'est très sympa parce que je trouve vos deux vidéos très complémentaires. Merci pour tout ce travail !

superbe video je te remercie du fond de mon coeur, je n'avais jamais osé touché a ce théorème mais grace a vous je connais le principe, grand merci encore !!!

Merci :) Du super boulot comme d'habitude

Chapeau ! vous avez été clair, vos explications sont claires comme l'eau de roche.

Merci pour cette vidéo qui est remarquable !

Super épisode ! chapeau !

J'adore ce que tu fais c'est juste magnifique !! J'avais jamais compris ce théorème bien que maintenant ceil y ait toujours quelques petites zones d'ombre ça va beaucoup mieux :)

deux minute deux minute, la vache, j'ai du regarder la vidéo 2-3 fois pour "comprendre", en tout cas c'est super intéressant. continue comme ça !

Superbe video, merci à toi j'espère te voir ici pour longtemps :p

En fait, je t'encourage à faire des vidéos de 20 minutes et même plus. Mon niveau en maths (L2) fait que j'y passe une heure avec plaisir en faisant pause de temps en temps et j'y reviens plusieurs fois. Merci pour tout

J'adore ta manière de présenter l'action de groupe paradoxale

Regarder la vidéo au Lycée ne pas comprendre, revenir 4 ans plus tard et comprendre, quel bonheur !

Remarquablement expliqué (comme d'hab !), comme ça va vite il est sage de revoir la vidéo en s'arrêtant de temps en temps ! (comme pour Conway ou pour la triangulation des polygones)

Super vidéo!

Très bien expliqué ! Beau boulot :)

Mon problème le jour de l'agrèg...j'avais rien pipé! Merci El Jj pour cet excellent exposé!

Enooooooooooooorme ! C'est rapide, entraînant, détaillé et très compréhensible ! Un orgasme pour tout matheux boulimique comme moi

Merci ! j'comprends enfin ( un peu ) l'axiome du choix !

super vidéo, bravo !

Tiens à 10:41, voilà qu'apparait un bonbon RATTATA. Est-ce un hasard? Je ne crois pas...

Merci pour cette explication ! J'avais entendu parler de ce théorème en sup, mais je ne m'y étais jamais penché.

Très bonne vidéo. Continue ;)

Très bien foutue cette vidéo, car le sujet est vachement difficile à vulgariser. Bravo!

le jambon c'est très bon! ardu l'épisode, mais toujours bien expliqué comme toujours.

J'ai liké parce que comme d'habitude c'est vraiment super bien fait et j'attends toujours la prochaine avec avidité mais cette fois-ci j'ai pas entravé grand chose :p

Super. J'ai enfin compris la problématique de l'axiome du choix. En fait cette vidéo m’intéresse plus pour comprendre pourquoi l'axiome du choix pose problème que pour le sujet lui même.

Personnellement, je trouve cette vidéo bien plus claire que la vidéo de VSauce que plusieurs d'entre vous disent avoir appréciée. Ici au moins les difficultés sont moins éludées. Bravo pour ce super travail. Question au passage: quel logiciel utilises-tu pour tes anims?

Trop intéressant merci beaucoup !

vraiment cool, ce théorème

Très bonne vidéo, merci.

Super ! Tu es vachement plus convaincant que VSauce :)

Alors déjà super vidéo, c'est toujours un plaisir de t'écouter :) (tu félicitera aussi ta copine, sa vidéo est complémentaire et très bonne aussi :p) Pour ce qui est du fait que le découpage soit contre intuitif, si on rappelle que la réalité est composé d'atome (et non pas d'espace plein), on voit bien que ce théorème s'applique uniquement a des objets théoriques, non ?

Magnifique explication. A mentionner toute fois que sans l'axiome de choix les maths modernes (en particulier l'analyse) ne vaudrait pratiquement rien. Sans l'axiome de choix, on a pas le fameux théorème de Hahn-Banach, qui est le fondement même de l'analyse fonctionnelle "Banachique": Theorème de Krein-Milman, la topologie faible, l'existence de Bases Hilbertienne dans des espaces de Hilbert non séparables...etc. Par conséquent, l'applications des ces notions aux EDP serait remise en question. On aurait pas non plus le théorème de Tychonov sur le produit des compacts ce qui nous ramènerait à l'Age de pierre. Et là je parle pas des théorèmes classiques tels que le théorème de Cantor-Bernstein (sa preuve utilise l'axiome de choix), l'existence d'ensembles et de fonctions mesurables (remarquablement expliqué dans la vidéo), l'existence de supplémentaires d'un sous-espace vectoriel...

Passionnant, bravo, vraiment. J'ai peut-être même compris :-p Et j'aime bien le ton plus libre (bonbons, choix déterminant de la couleur de la sphère, côté obscur, partir en vrille). Pas de problème pour le -léger- débordement au-delà des deux minutes. Vitesse de la voix OK aussi pour moi, mais pause nécessaire pour lire les textes détaillés. C'est très bien comme ça. Merci pour ce boulot ; parce que dire sur un ton léger "j'ai deux minutes pour en parler" ne cache pas l'énorme travail de conception et de réalisation. Donc, merci !

Excellente vidéo

Super vidéo comme d'habitude 😉 j'aimerais bien savoir quelles études tu as fait 😁

Ce n'est pas vraiment un axiome qui "divise" les mathématiciens, cette discussion se limite aux logiciens car les autres l'utilisent. C'est juste qu'on préfère pouvoir exhiber l'objet mais on se contentera largement de l'existence dans les autres cas.

Un vieux numéro de "pour la science" (Avril 1991??) s'appuyait sur ce paradoxe en déclarant que des scientifiques avaient réussi à découper une vraie boule et de gagner de la matière, qu'ils l'avaient appliqué sur une boule en or et que ça marchait très bien, d'ailleurs le cours de l'or baissait régulièrement à l'époque pour cette raison ;-) . l'article était très bien fait, expliquait très bien le paradoxe et alternait sérieux et canular assez subtilement :)

Vidéo très intéressante!!

Pet--tu devenir mon prof de maths, c'est fou comment t peux expliquer clairement!

Il y a pas mal d'implications philosophiques dans cet axiome du choix. J'aime bien. Explorer Kurt Goedel et son incomplétude me semble de mise après cela ^^

"Pour cela, on va faire un petit tour de passe-passe façon hôtel de Hilbert!!!" El Jj 2016, dit le grand manie-tout!!! nah je rigole super vidéo même si j'ai décrocher sur 2 ou 3 détails.

Simplement parfait (pour autant que je sache: je ne connais pas la démonstration mathématique du théorème: oui j'ai pas fait d'étude de math après la spé en prépa intégré)

Brillant et imparable

Bien joué

Oh super ! Moi qui avait du regarder la vidéo de VSauce 3 fois pour comprendre cette histoire ...

Super vidéo ! Plus formel que Vsauce, c'est plutôt bien, bravo !!

Je comprends enfin mieux pourquoi je ne comprenais pas ce théorème. Merci pour cette explication. Après perso si ça me permet dans la vraie vie d'avoir d'avoir 2 boules de glace à partir d'une seule, je me dis que c'est la que se limite les maths.

j'adore tes vidéos, puis-je te demander quelles études as-tu faites ?

Oh que je suis si content

J'ai lu cette video en 1,5x jusqu'au bout. C'est terrifiant, moi qui fais licence géographie

3:44 un théorème vraiment cool

Super vidéo. Ces mecs ont inventés le troll mathématique :). Petit typo à 9:18 -> Parmi de qu'il reste. A bientôt !

4'23" : l'axiome du choix est non évident dès qu'il y a une infinité de tiroirs, on a pas besoin que les tiroirs contiennent eux même une infinité de tiroirs

Haha pile quand le dernier xkcd (le n°1724) parle de l'axiome du choix ! :D

dès que j'entend le mot "infini" je laisse tomber tout-de-suite. On peut dire tout ce que l'on veut en se servant de l'infini.

Bonjour, est ce que vous pouvez mettre l'ensemble des théorèmes sur lesquelles vous vous appuyez en description (ou sur votre blog) pour faire vos explications ? Cordialement. PS: Très bonne chaine !

En fait, le point polémique le plus choquant de l'axiome du choix, c'est qu'il permet de lister les éléments d'un ensemble indénombrable, comme {x|0

Un théorème vraiment cool 😆

"ça tombe bien j'ai 20 minutes pour en parler"

Bonjour, merci pour cette vidéo d’une qualité sans pareil, le contenu est tout simplement excellent. Cependant, j’aurais une question par rapport à l’utilisation de l’axiome du choix sur des ensembles indénombrables : Comment dresser une « liste » (9:12) de représentants d’un ensemble indénombrable puisqu’une liste est par nature dénombrable ?

Super intéressant, à quand une vidéo sur l'epsilon de Hilbert ?

Là ca deviens un chouia trop complexe pour mon cerveau

si j'ai bien compris, on peut pas dupliquer le gateau sauf si on le coupe avec une aiguille et beaucoup de temps, c'est bien ca ?

Pour que tout ça paraisse un peu moins paradoxal on a qu'à se dire que ça marche pour des objets mathématiques ''continues'' qui ne possèdent pas réellement de briques élémentaires puisque les points n'ont pas de mesure. Ceci est donc par essence différent de notre monde physique à partir duquel nous forgeons notre intuition et, qui, jusqu'à preuve du contraire est construit à partir de particules élémentaires et non pas de points mathématiques...

Pour moi, ce que démontre vraiment ce théorème, c'est que les objets non mesurables ne sont pas un prolongement continu des objets mesurables. Et qu'il est donc nécessaire de trouver des conditions de continuité pour pouvoir utiliser des objets non mesurables dans une démonstration sur la mesure. Comme c'est le cas avec les séries qui doivent converger pour être utilisées dans des calculs sur les nombres finis.

Bonjour, @ElJj Je me posais la question de la provenance de la casquette visible au minutage 4:13. S'agit-il d'une casquette de société d'étudiant?

A 13:32, quand on fait tourner les ensembles (par exemple l'ensemble 1 dans la direction S), on voit bien qu'on arrive à former un ensemble qui contient des points de tous les ensembles sauf celui qui correspond au sens dans lequel on a tourné (1, 3, 4, 5). mais qu'est-ce qui permet d'affirmer que cet ensemble contient TOUS les points de ces 4 autres ensembles ?

Trop bien ! Ça me rappelle la fac, quand je faisais des VRAIES maths...

Un exemple d'application !!!!!

On ne peut pas simplement voir le paradoxe de l'axiome du choix comme la limitation de notre intuition (et des objets matériels) aux ensembles discrets ?

En résumé, l'infini est infini peu importe comment on lui détermine une forme ou lui assigne des mouvements, cela prend sens sur la création de l'univers à partir de rien puisque tout est en réalité composé de vide, lui même "cristallisé" par une conscience qui lui donne le sentiment d'exister (soit le quantique), on s'approche un peu de ce que les Saints ont appelé Dieu :)

L'axiome du choix permet aussi de justifier certains trucs intuitifs. Du genre l'existence d'un sur corps clos, ce qui simplifie la vie de tout le monde.

L'axiome du choix est souvent utilisé en analyse fonctionnelle qui traite d'espaces de Banach ou de Hilbert de dimension infinie, serait-il possible de faire quelque chose dans ce domaine là sans cet axiome ? Par exemple de démontrer le théorème de l'hyperplan sans l'aide du choix ? C'est surtout contre-intuitif parce que l'intervalle mathématique est découpable à l'infini, ce qui n'est pas le cas de l'espace physique ... Quand on a admis ça, ça semble moins aberrant (quoique).

@El Jj 19:21 Le nombre de commentaires possibles est-il l'infini dénombrable ou bien l'infini du continu ? ;)