Probabilità e giochi coi dadi - Tabelle a doppia entrata 

Ottima estrapolazione, complimenti. Scusa se ho letto solo ora. Metto il tuo commento in evidenza e allego link al video di calcolo combinatorio di cui parli ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-eX_eFlGsQGI.htmlsi=4XYEKOslN41uXLf0

Ok, ma spiegato passo passo da lui l'ho capito persino io 🤓

Verissimo infatti se giochi a backgammon usi proprio la definizione che hai richiamato.

Corretto

L'avevo ragionata allo stesso modo. 😊👍

beh, per me è molto più facile fare direttamente la somma possibile del numero 5: 1 + 4 2 + 3 3 + 2 4 + 1 Ovviamente il tuo server per numeri più grandi, il mio per numero molto piccoli

Sì, il tuo svolgimento è corretto. Se guardi gli ultimi due video in ordine cronologico nella playlist sulle probabilità uso quell'approccio.

C'è già. Guarda la playlist sul calcolo delle probabilità

Non ricordo, forse non avevo letto bene. Il cuore non te lo tocco 😂😂

Distribuzione binomiale (o di Bernoulli) ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-8pftrZHRhi8.html

Sono probabilità soggettive. Si potrebbero parlare di gioco equo

Ci devo pensare

Dipende da cosa intendi per semplice. Non credo ci siano metodi più semplici di espandere il polinomio (x^6 + x^2/6 + x^3/6 + x^4/6 + x^5/6 + x^6/6)^n dove n è il numero di dadi, magari usando una versione generalizzata del triangolo di Pascal (che poi non è granché diverso dal triangolo, basta calcolare la somma di sei elementi della riga superiore, farlo a mano è un po' na rottura, ma basta per esempio un semplice foglio di calcolo e ci metti 20 secondi). 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 1 4 10 20 35 56 80 104 125 140 146 140 125 104 80 56 35 20 10 4 1 (1 - 2+1 - 3+2+1 - 4+3+2+1 - 5+4+3+2+1 - 6+5+4+3+2+1 - 5+6+5+4+3+2 - 4+5+6+5+4+3 - 3+4+5+6+5+4 - 2+3+4+5+6+5 - 1+2+3+4+5+6 - 1+2+3+4+5 - 1+2+3+4 - 1+2+3 - 1+2 - 1) (1 - 3 - 6 - 10 - 15 - 21 - 25 - 27 - 27 - 25 - 21 - 15 - 10 - 6 - 3 - 1) Considerando che nel caso di 3 dadi si parte da 3, troviamo il 13° elemento della terza riga (cioè il fattore del monomio di potenza 15) che è 10, quindi per calcolare il numero di combinazioni che danno somme inferiori a 15 fai 1+3+6+10+15+21+25+27+27+25+21+15 = 196 Il numero di combinazioni totali è 6^3 = 216 La probabilità di ottenere somme inferiori a 15 è 196/216 = 49/54 oppure (216-(1+3+6+10))/216 = (216-20)/216 = 196/216 Con 4 dadi, le combinazioni possibili sono 1296. Il 12° elemento della quarta riga (qui si parte da 4) è il secondo 140 . Quindi le combinazioni con somma minore di 15 sono 146+140+125+104+80+56+35+20+10+4+1 = 721 o se preferisci (1296-146)/2+146. Quindi la probabilità è 721 /1296 = 55.63% circa. Per 5 dadi siamo a 1722/7776, cioè il 22.15%, con 6 2835/46656 cioè 6.08% ecc...

Yes, anche se non credo che si possa fare un dado regolare da 11 facce

@@ValerioPattaro sì penso sia tecnicamente difficile come tutti i dadi con facce dispari, se ne potrebbe forse fare uno da 22 facce e ripetere due volte i numeri da 1 a 11 (come del resto succede nei dadi da 3 e da 5, che sono da 6 e 10 facce con i numeri ripetuti due volte). Un modo più facile è usare un dado da 12 e non considerare l'1

Se ricordo bene i solidi regolari sono solo 5: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro ed icosaedro. La regolarità è necessaria perché le facce siano equiprobabili.

@@guidoantonelli5549 ci sono anche il d10, il d20, il d30 e il d100... e credo siano tutti equiprobabili se no andrò a vendicarmi con tutti i dungeon master con cui ho giocato

Confesso la mia ignoranza in proposito

Si usa il calcolo combinatorio

calcoli la derivata s-esima in zero della serie (1/6 sommatoria con k che va da 1 a 6 di x^k) alla n.

Sì, con la differenza che se uscisse tale combinazione, griderebbero allo scandalo, aprirebbero un'inchiesta ed annullerebbero le vincite.

I 3 dadi da 6 facce hanno 6×6×6=216 combinazioni possibili. Volendo ottenere 5 ci sono queste possibilità: o sommando 1+1+3 o sommando 2+2+1, quindi due combinazioni su tre dadi=6 combinazioni possibili su 216. 1+1+3=5 1+3+1=5 3+1+1=5 1+2+2=5 2+1+2=5 2+2+1=5 cioè 6 combinazioni su 216. È il motivo per cui tendenzialmente non si vince mai nei giochi d'azzardo, perché le quote di vincita sono molto meno proporzionate rispetto alle reali possibilità matematiche. Ad esempio un terno al lotto matematicamente lo prenderesti una volta su 11.748, ma lo stato ti riconosce una vincita di 4.250 volte la posta, ecco perché non è equo (se fosse equo giocando un euro dovresti vincerne 11.748 mentre ne vinci solo 4.250).

Ce anche un altro modo. Farò a breve un video dove lo spiego.

@@ValerioPattaro grazie! Sarebbe molto utile per me

ci sono dei metodi algebrici. In questo caso per esempio possiamo descrivere il lancio di un dado con una funzione f(x) = 1/6x + 1/6x^2 + 1/6x^3 + 1/6x^4 + 1/6x^5 + 1/6x^6 e il lancio di due dadi come la moltiplicazione di f(x)*f(x) e poi guardare il 5° grado del polinomio risultante o se preferisci la derivata quinta in zero. In questo caso moltiplicando le due funzioni otteniamo x^2/36 + x^3/18 + x^4/12 + x^5/9 + 5x^6/36 + x^7/6 + 5x^8/36 + x^9/9 + x^10/12 + x^11/18 + x^12/36 (in realtà potresti fregartene di moltiplicare anche i gradi 5 e 6, semplificando le cose) Come vediamo il monomio di 5° grado del risultato è x^5/9 o se preferisci (1/9)x^5, quindi la probabilità di ottenere 5 è 1/9. E così per tutte le altre; la probabilità di ottenere 2 o 12 é 1/36, quella di ottenere 3 o 11 è 1/18, quella di ottenere 4 o 10 è 1/12, quella di ottenere 5 o 9 è 1/9, quella di ottenere 6 o 8 è 5/36, quella di ottenere 7 è 1/6. Con 3 dadi moltiplichi la funzione 3 volte e il risultato è che hai una probabilità pari a 1/36 di ottenere 5. E tutto questo è in realtà esprimibile con una serie generale (e non so come scriverla qui), 1/f per sommatoria con k che va da 1 a f di x^k tutto alla n. Dove f è il numero di facce del dado e n il numero di dadi lanciati. Cioè nel caso di lancio di 4 dadi a 6 facce (1/6*sommatoria con k che va da 1 a 6 di x^k)^4. Si guarda il monomio di grado 5 e si ottiene che la probabilità di lanciare 4 dadi e ottenere somma 5 è pari a 1/324. Invece di sviluppare il polinomio si può fare la derivata 5° (in questo caso, in caso di somma = 18, la derivata 18esima). Tutto questo è comunque approssimabile con la gaussiana e per calcolare la probabilità di ottenere una somma, si calcola l'integrale. Più è alto il numero dei dadi e più la distribuzione gaussiana è vicina al valore reale.

Un cuore

Dato che l'ordine non conta 221 e 122 vanno contati separatamente.

@@ValerioPattaro 6 / (6*6*6) 1-1-3 1-2-2 1-3-1 2-1-2 2-2-1 3-1-1 Ciau

In certi esercizi che chiudi il video dopo 40 secondi dal tanto che sono difficili.

Sono proprio gli esercizi da "studentelli" che gli studenti sbagliano, perché li sottovalutano. Leggi: se vuoi mettere a posto uno studente presuntuoso (tipo quello che risponde prima del compagno interrogato, che magari è solo più riflessivo, non meno preparato) , fagli una domanda elementare

Direi du sì

@@ValerioPattaro era ironico ahah