Könntet ihr vielleicht den "Satz von Cantor" in einem Video erklären? Also den Beweis erklären, warum die Potenzmenge einer Menge M mächtiger ist als M? Das hab ich jetzt stundenlang versucht zu verstehen und Videos dazu gesucht und leider nichts gefunden :(
Angenommen M und p(M) ist gleichmächtig. Dann existiert eine Abbildung f : M -> p(M) surjektiv. Wir definieren dann die Menge Z:= {x in M : x nicht in f(x) }. Da f surjektiv ist, gibt es ein Element a in M mit f(a)=Z. Das ist aber auch schon der Widerspruch. 1. Fall: a in Z. Dann ist aber nach Definition von Z a nicht in f(a). Aber Z ist ja eben f(a), also Widerspruch. 2. Fall: a nicht in Z. Da Z = f(a), ist a also nicht in f(a). Wenn wir aber die Definition von Z uns ansehen, merken wir dass daraus folgt, dass a in Z. Wieder ein Widerspruch.
Ist ja alles ganz logisch und super erklärt, aber was ich mich immer noch frage und was ich mir selbst nicht wirklich beantworten kann. Kann man nicht auch unendlich viele rationale Zahlen zwischen 1 und 2 finden? Man kann ja 1/2 nehmen, dann 1/3, dann 1/4, usw., sodass das ja am Ende auch gegen 1/unendlich strebt und somit ja auch wieder unendlich viele Elemente hat. Wäre dankbar, wenn mir das jemand nochmal erläutern könnte. Danke :)
Dein Kommentar ist zwar etwas älter, aber sollte die Frage immer noch bestehen: Schau dir das Video nochmal an, durch das Diagonalisieren werden nicht nicht nur Zahlen < 1 gebildet, du bildest jeden Bruch a/b mit a, b aus den natürlichen Zahlen. also auch z.B. die 8/7, was > 1 ist
Irgendwie versteh ich's nicht... kann ich nicht eine Folge mit allen reellen Zahlen bauen? Halt bis ins unendliche 0,00(...)01;0,00(...)02 und so jede Nachkommastelle abklappern? Natürlich sind es unendlich viele, aber das ist ja verständlich. Kann mir jemand den Haken an meiner Idee erklären?
Hallo Nur ein Name, es ist ein Paradox, man kann sie tatsächlich nicht abzählen, mit jedem weiterem Folgenglied f1, f2, f3, ..., f i, fi+1, .... kommt in der Zahl z gleichzietig ein Unterschied an der i-te Stelle nach dem Komma ; nächstes f i - nächster Unterschied in der Zahl z. Die Folge geht in die Unendlichkeit und die hier schön konstruirte Zahl z unterscheidet sich von jeder weiter kommenden Zahl f i. Somit egal wie lange wir es abzählen, treffen wir nie die Zahl z, weil die sich von allen Folgenglieder (f i ) unterscheidet. Die Zahl z, ist sozusagen eine von allen unendlichen f i eine unterschiedliche Zahl. Das kann man vielleich nicht verstehen, aber die konstruktion von solcher Zahl z ist verständlich. Wir können unendlich abzählen, und trotzdem treffen wir diese Zahl z nicht. Bei anderen Beispiellen (Rationallen Zahlen,), treffen wir jede Zahl. Hier Bei IR nicht.
Nein denn sobald du alle deine Nachkommastellen durchnummeriert hast, kannst du immer noch hergehen und sagen, ich schiebe jetzt noch eine weitere Nachkommastelle in meine Menge von durchnummerierten Zahlen, dabei hast du aber schon gesagt, dass du bereits alle durchnummeriert hast. Das ist dann ein Widerspruch. Und die neue Zahl mit der reingeschobenen Nachkommastelle entspricht dann dem z aus dem Video
aber wenn ich das mit natürlichen zahlen mache kann ich das gleiche prinzip anwenden. nur das ich die zahl dann nach "links verlängere" und nicht nach "rechts" oder ? also praktisch das gleiche machen wie ihr in dem Video und dann nur immer die 0, am anfang wegsteichen
The Scientist aber eine Zahl kann ja unendlich viele ziffern haben. also kann ich doch auch unendlich lange nach "links verlängern" oder vertue ich mich da ?
Aaron Wagner Nein, wenn du das unendlich oft machen würdest und nicht mit einer Nullfolge verlängern würdest, würdest du ja unendlich rausbekommen :o Bei den reellen Zahlen ist das ja anders :o Je weiter du nach rechts gehst, desto kleiner wird ja der Betrag, den du hinzufügst.
The Scientist aber ich kann ja unendlich nie erreichen. es ist ja immer noch eine zahl. und wenn 10^100^100^100 ist. und das ist ja immer noch nicht unendlich. und wenn ich 0,1787736548464856578577 nehme und da das 0, wegnehme habe ich ja 1787736548464856578577.
Wenn man ein Haus baut und kurz danach zerstört , daraufhin aber wieder aufbaut und diese drei Schritte immer wiederholt werden. Welchen Zustand hat das Haus?
"eine unendliche Folge hat genauso viele Elemente wie die natürlichen Zahlen !" Nicht unbedingt ! u_n=1 ist ne unendliche Folge, die auch nur aus einem Element besteht, und zwar {1}. Einee Folge ist immer ZUMEIST abzählbar, aber kann auch nur ne endliche Nummer von Zahlen besitzen, auch wenn die Folge unendlich ist. (Gerade danach sagen Sie, dass die Folgen, mit denen Sie sich betroffen, sich nicht wiederholen, aber ohne diese Anforderung stimmt das nicht genau :p ) Ja, ich weiß, ich muss kein lustiger Kerl sein bei Partys, usw... :D
Sorry dich zu enttäuschen Eine Folge ist abzählbar unendlich Weil es eine eindeutige Zuordnung ist Auch Konstant 6 als Folge wäre ja (6,6,6,6,... Also unendlich viele 6 en Hoffe ich konnte dir klar machen wo dein Denkfehler ist
+ Pengin Man muss es der Vollständigkeit halber schon so machen; hätte ja sonst sein können, dass R² noch mächtiger ist als R (bloß weil zwei Mengen überabzählbar sind, heißt es ja noch nicht, dass sie auch gleich mächtig sind). Also zumindest wenn einen nicht nur interessiert, ob die Menge der Komplexen Zahlen überabzählbar unendlich groß ist, sondern wenn man noch einen Schritt weiter geht und überlegt, ob sie vielleicht sogar mächtiger als die Menge der reellen Zahlen ist. Aber da hat uns MasterBoon ja eindrucksvoll gezeigt, dass C und R tatsächlich die gleiche Mächtigkeit haben.
Ich habe mir gerade nochmal meinen Kommentar durchgelesen und weiß gar nicht mehr, was mich da geritten hat, ihr habt natürlich vollkommen recht. Der Beweis ist übrigens mit dem Beweis beim Gedankenexperiment "Hilbert's Hotel" zu vergleichen, mit deren Beweismethode man auch darauf kommt, dass alle Mengen von hyperkomplexen Zahlen gleichmächtig mit der der reellen Zahlen ist.
5:22 Das ist schlicht falsch. Ihr habt es leider nicht verstanden. Wenn es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen gibt, dann gibt es auch mehr natürliche Zahlen als beispielsweise gerade Zahlen. Was aber auch nicht der Fall ist.
+Fujibayashi Es gibt meiner Meinung nach nicht mehr reelle als natürliche Zahlen. Cantor kann natürlich behaupten, dass die reellen Zahlen eine höhere Mächtigkeit besitzen, wenn er den Begriff der "Mächtigkeit" entsprechend definiert. Dann aber bedeutet meines Erachtens eine höhere Mächtigkeit nicht automatisch mehr Zahlen.
Ahhhh das tut mir weh wenn ich Leute sehe die mit "Meiner Meinung nach" in Mathe kommen. In Mathe kann man keine eigene Meinung haben. Am Ende des Tages ist es entweder richtig oder falsch
