А не могли бы вы помочь по задачке. Пусть nf’(x)=f(x+n)-f(x)-n^2. n- любое натуральное, х - вещественное. Найти все дифференцируемые функции удовлетворявшие уравнению такие что f(0)=-1,f(1)=1. Можно ли тут от n - натурального перейти к n вещественному, но только очень близкого к натуральному числу? По идее все функции непрерывны и дифференцируемые , и если брать n брать близким к натуральному числу, то выражение должно выполняться.
Вот схема решения. 1. Дифференцирем обе части: nf''(x)=f'(x+n)-f'(x). 2. Если n=1, x=t+1, то f''(t+1)=f'(t+2)-f'(t+1)=[f'(t+2)-f'(t)] - [f'(t+1)-f'(t)]=2f''(t) - f''(t)=f''(t). Т.е. f''(x+1)=f''(x) для всех x. 3. Если в пункте 1 n=1, то f''(x)=f'(x+1)-f'(x). 4. Дифференцируем равенство из пункта 3: f'''(x)=f''(x+1)-f''(x)=0. Следовательно f(x) - многочлен 3-й степени: f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d. 5. Подставляем f(x) в исходное уравнение. Это дает, что a=0, b=1, c и d - произвольные. 6. Используем условия f(0)=-1 и а(1)=1. Это дает c=1, d=-1. 7. Записываем ответ: f(x)=x^2+x-1.
@@stormspirit3493 пожалуйста. Только в третьем пункте решения я глупость сморозил. Поскольку f'''=0, то это значит, что f - многочлен 2-й степени, а не 3-й. В остальном рассуждения прежние, только вычислений слегка поменьше.
